Modélisation des structures élancées et non-linéarités géométriques

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Réponse des structures raidies en post-flambement

Les structures élémentaires sont assemblées pour former ce que l’on appelle les structures raidies. Ces structures se retrouvent dans le génie civil et dans le transport, notamment aérien, et dans le spatial, pour leur haute résistance et leur faible masse. La plupart des structures raidies dans le secteur du transport sont en eﬀet constituées d’une peau et d’un système de raidisseurs. Ce type d’assemblage permet de concevoir des structures à forts moments quadratiques pour un minimum de masse. L’étude de la sensibilité de ces structures au flambement, et de leur réponse en post-flambement fait l’objet de nombreux travaux.
Le système de raidisseurs des fuselages est formé par des cadres dans le plan perpendi-culaire à l’axe du fuselage et par des lisses entre les cadres comme illustré par la Figure 1.8. Il existe d’autres systèmes de raidisseur, comme ceux des structures géodésiques [Vasiliev et al., 2001 ; Meyer et Gaudin, 2011], qui ne sont pas détaillés ici.
Dans un cadre aéronautique, ces structures sont conçues avant tout pour travailler sous des chargements macroscopiques de flexion et torsion (éventuellement combinés) [Perrais et Finance, 2001], qui se traduisent au niveau des composants (panneaux raidis) par du cisaillement, de la compression, de la traction et leurs combinaisons.
Par opposition au flambement d’ensemble des structures élancées en général, les struc-tures raidies présentent essentiellement des instabilités locales dans les zones en compression et cisaillement. Le flambement local se produit lorsqu’un composant de la structure est tra-versé par un flux d’eﬀort supérieur à sa propre charge critique (avec des conditions limites particulières qui dépendent des liaisons avec le reste de la structure). L’échelle intermédiaire de la longueur d’onde de flambement est alors introduite entre celle d’un détail structural et celle d’une maille structurale élémentaire (peau entourée de raidisseurs). Le caractère multi-échelle du phénomène de flambement des structures raidies en ressort, notamment celui des fuselages.
Le flambement de la peau entre les raidisseurs se distingue des autres modes de flambe-ment pour deux raisons. La première raison est liée à la charge critique généralement plus faible de ce mode de déformation (voir Figure 1.9), qui en fait le premier mode de flambe-ment observé dans les structures raidies aéronautiques (voir Figure 2). La seconde raison est liée à son admissibilité. Les flambements locaux non-admissibles conduisent soit à un endommagement immédiat de la structure, soit à la ruine si l’équilibre post-flambement est instable. Dans ce dernier cas, la charge supportée avant flambement par les zones flambées n’est pas repris par le reste de la structure. Le flambement des parties d’un raidisseur (talon, âme, semelle) conduit à des modes de rupture qui seront détaillés dans la section suivante.
Les flambements locaux admissibles entraînent en revanche une modification de la raideur locale et une re-répartition des eﬀorts dans la structure qui doit continuer de résister à la charge appliquée dans un premier temps. L’autorisation, dans un certain domaine de chargement, du flambement local de la peau des structures raidies aéronautiques conduit par ailleurs à un gain de masse significatif. L’équilibre de la structure reste stable mais le niveau des déformations et des contraintes augmentant, des flambements secondaires non-admissibles ou des endommagements peuvent apparaître.
C’est l’objet de la sous-section suivante d’aborder les endommagements et ruptures in-duits par les flambement locaux.

Endommagements et ruptures induits

Les déformations dues au flambement local de la peau dans les structures raidies sont parfois très éloignées de celles observées dans leur mode de déformation fondamental. Des modes d’endommagement et de rupture sont donc induits, qui ne se rencontreraient pas autrement qu’en post-flambement.
Les flambements locaux non-admissibles concernent avant tout les raidisseurs. La Fi-gure 1.10 représente quelques modes de rupture induits rencontrés en aéronautique.
Dans le flambement admissible de la peau d’une structure raidie, le couplage membrane-flexion dans les plaques modifie la distribution des eﬀorts de cohésions (donc des contraintes). Notamment, les moments fléchissant sont les plus importants aux points stationnaires de la déflexion, tandis que les moments de torsion sont maximum aux points d’inflexion [Meeks et al., 2005]. Ces moments étaient a priori nuls avant flambement. En ce qui concerne les eﬀorts de membrane, certaines zones sont déchargées et d’autres assurent la résistance de la structure face aux eﬀorts extérieurs.
Cette distribution d’eﬀorts non-homogène induit une localisation des endommagements et de la plasticité. Des modes de ruptures tels que le décollement de la peau et des rai-disseurs pour les structures composites apparaissent et font l’objet de nombreuses études (voir Figure 1.11 et Figure 1.26) [Bertolini et al., 2009 ; Orifici et al., 2008a ; Orifici et al., 2008b ; Perret et al., 2011]. Ces modes de ruptures sont également sensibles à des sollicita-tions en fatigue, par flambement répété [Krueger et al., 2002].
Il est donc finalement important de pouvoir prédire l’initiation de ces dommages pour vérifier l’intégrité de la structure avant la charge ultime. Ensuite, l’étude de leur évolution permet de définir des niveaux de criticité et des procédures spécifiques à mettre en œuvre. Dans le cadre de cette thèse, nous nous limitons donc au cadre du comportement réversible des structures en post-flambement local (ou post-flambement élastique).

Modélisation des structures élancées et non-linéarités géométriques

La modélisation du post-flambement des structures raidies repose sur celle des éléments constitutifs que sont les poutres, les plaques et les coques. Dans les applications aéronau-tiques, la modélisation des structures se limite souvent à des plaques planes et des poutres droites, les courbures étant représentées par la juxtaposition de plusieurs plaques planes (facétisation). Ce sont les modélisations qui sont retenues dans ces travaux de thèse et pré-sentées dans cette section. Les équations d’équilibre sous leur forme faible, ou Principe des Puissances Virtuelles (PPV), sont ensuite formulées.

Méthodes de résolution semi-analytiques

Les méthodes purement analytiques de résolution des équations d’équilibre ont montré leurs limites lorsqu’il s’agit de résoudre des problèmes linéaires complexes ou non-linéaires [Timošenko et Gere, 1963]. Leur avantage est cependant de proposer des solutions exactes sous forme d’expressions analytiques, précieuses pour l’optimisation, l’analyse de sensibilité, et dont le calcul pour un jeu de paramètres donné est très peu coûteux. Le terme semi-analytique désigne des méthodes qui proposent :
– l’expression de solutions approchées sous forme analytique d’un problème linéaire.
– ou l’expression des équations d’équilibre non-linéaires intégrées analytiquement à ré-soudre par un schéma numérique itératif.
Ces méthodes permettent de résoudre de nombreux problèmes, notamment ceux du flam-bement et post-flambement des structures élancées [Bloom et Coﬃn, 2001]. Elles sont li-mitées sur la représentation de géométries complexes autres que des plaques rectangulaires ou circulaires et des coques cylindriques ou sphériques, mais les solutions approchées sont obtenues sous forme analytique et leur évaluation reste d’un coût très faible. Les méthodes semi-analytiques sont donc particulièrement attractives en phase de pré-dimensionnement. Ces dernières constituent d’ailleurs un champ de recherche actif malgré l’avènement de mé-thodes numériques telles que celle des éléments-finis (voir Résolution par la méthode des éléments-finis ) plus versatiles mais aussi plus coûteuses.
Quelques approches sont présentées ici dans leur application à l’étude du post-flambement des plaques et des structures raidies.

Approche par développement asymptotique en post-flambement initial

La théorie générale de la phase initiale de post-flambement [Koiter, 1945] repose sur l’hypothèse que pour un chargement au voisinage de la charge critique de flambement, l’état d’équilibre est obtenu par une petite variation autour de l’état d’équilibre fondamental. Cette phase se traduit par une faible non-linéarité de la réponse, des rotations modérées et petites déformations, soit le domaine de validité des hypothèses de Von Karman. Dans le cas des plaques et coques raidies cette phase se termine souvent par l’apparition d’endommagement, ce qui signifie que l’ensemble du post-flambement élastique peut être considéré comme post-flambement initial.
L’approche consiste à tirer profit de l’hypothèse de proximité des états d’équilibre par un développement asymptotique du champ de déplacement en post-flambement upost aupre est le champ de déplacement avant le flambement, sur la branche fondamentale. u1 est le mode de flambement correspondant à la bifurcation, calculé par analyse de flambement linéaire, et a1 son amplitude. δu regroupe les termes d’ordres supérieurs, qui représentent l’eﬀet des redistributions de contraintes, dont une expression est calculée [Koiter, 1956] sous la forme d’un développement en série trigonométrique. L’amplitude des premiers termes de cette série est proportionnelle à a21. δu est donc petit devant la contribution du mode de flambement.
Cette théorie a par exemple permis de calculer la réponse initiale en post-flambement d’enveloppe cylindrique [Hutchinson, 1967]. [Hui, 1988] a comparé cette approche à la mé-thode de Ritz-Galerkin et montré son domaine d’application (niveau de chargement) pour un problème de poutre en compression sur support élastique.
Plus récemment, [Vescovini et Bisagni, 2012] ont développé une approche intéressante par rapport à la théorie de Koiter, pour une plaque rectangulaire en compression longitudinale, simplement supportée et retenue de manière élastique sur ses bords longitudinaux par des ressorts de torsion (voir Figure 1.17).

Résolution par la méthode des éléments-finis

La méthode d’approximation et de résolution par éléments finis est très utilisée en calcul de structure pour sa polyvalence notamment. Elle permet de modéliser une grande variété de structures et de résoudre les équations d’équilibre en prenant en compte plusieurs physiques si nécessaire. C’est une méthode utilisée pour résoudre de nombreux problèmes physiques basés sur des équations diﬀérentielles (thermo-mécanique, mécanique des fluides, magnétique).

Discrétisation du PPV

La résolution des équations d’équilibre par élément finis passe par la discrétisation. La formulation intégrale faible, ou principe des puissances virtuelles, s’y prête parfaitement. Le domaine d’intégration est ainsi décomposé à l’aide de formes géométriques simples appe-lées “éléments” qui forment un maillage. Aux nœuds des éléments sont définis les fonctions d’interpolation qui constituent une base de l’espace d’approximation de la géométrie et des inconnues du problème (approche iso-paramétrique). Les valeurs des inconnues aux nœuds sont ses degrés de liberté. Dans la forme la plus courante de la méthode des éléments finis en calcul de structure , ces inconnues sont les 3 translations (u1, u2, u3) et 3 rotations (θ1, θ2, θ3) de l’espace 3D (formulation en déplacement). Ces trois inconnues peuvent être complétées ou remplacées par des inconnues de contraintes et donner lieu à une formulation en contraintes ou mixte à 2 champ par exemple [Reissner, 1950].
Chaque élément représente un domaine Ωe, tel que e Ωe = Ω, Ω étant le domaine d’étude complet. Il existe un grand nombre d’éléments qui diﬀèrent par leur dimension (1D, 2D ou 3D), leur interpolation, leurs nœuds, dont certains sont représentés Figure 1.23. Les éléments surfaces et linéaires, contrairement aux éléments volumes, intègrent de façon spécifique (analytique ou numérique) le PPV dans l’épaisseur ou la section (voir l’équation (1.22)). Il existe cependant des éléments volumes dédiés à la modélisation de structures élancées qui permettent le collage de maillage entre des structures minces (cinématique de coque) et des structures épaisses modélisées par éléments volumiques [Trinh, 2009].

Maîtrise d’erreur et base réduite adaptative

Rappelons que la solution du problème complet q appartient à l’espace des vecteurs de RN . Soit le sous-espace I m(C) générée par la base réduite, il existe alors un sous-espace supplémentaire I m(C)⊥ tel que : RN = I m(C) ⊕ I m(C)⊥ (2.10)

où ⊥ défini une condition d’orthogonalité. Le vecteur q peut donc s’écrire comme la somme de deux vecteurs : q = qC + qC⊥ tel que qC ∈ I m( C ) et qC⊥ ∈ I m( C )⊥ (2.11)

La première composante est calculée par la résolution du problème réduit tandis que la seconde composante, inconnue, est directement liée à l’erreur d’approximation : q⊥ = erom (2.12)

Pour un problème linéaire, l’erreur d’approximation découle directement du choix de la base réduite initiale. La représentation d’états intermédiaires le long d’une branche d’équi-libre non-linéaire augmente la complexité puisqu’il s’agit de représenter une famille de vec-teurs incréments {∆q1, ∆q2, ∆qn} qui ne sont pas tous colinéaires.

Afin de maîtriser l’erreur d’approximation par réduction de modèle par projection, dans le cadre d’une résolution incrémentale-itérative, plusieurs solutions sont proposées dans la littérature. Ce sont des procédures adaptatives qui mettent à jour ou complètent, en phase online, la base réduite initiale par des vecteurs additionnels. Nous proposons de classer ces solutions en deux catégories : les procédures a posteriori et les procédures à la volée. Leurs fonctionnements sont illustrés Figure 2.5.

– Procédure d’adaptation a posteriori (à l’échelle des incréments) :

Ce type de procédure repose sur l’évaluation de l’erreur d’approximation après conver-gence d’un incrément réduit. Si le critère de précision (2.8) n’est pas vérifié, une action de correction est enclenchée. [Almroth et al., 1978] ont proposé d’utiliser la solution approchée comme un prédicteur et d’ajouter à la base réduite initiale le vecteur solu-tion orthonormalisé de la correction (par Newton-Raphson) sur le problème complet. La solution de la correction, ∆qcorr , est orthonormalisée et ajoutée à la base réduite C. Au lieu d’ajouter le vecteur solution orthonormalisé de la correction, la base réduite peut être mise à jour, surtout lorsqu’il s’agit d’une base modale tronquée ou obtenue par perturbation statique [Noor et Peters, 1980 ; Kling et al., 2006].

Par ailleurs, l’utilisation d’un paramètre de raideur courante (current stiﬀness parame-ter ) permet de rationaliser les complétions dans les zones de faible non-linéarité [Kling et al., 2006].

Réduction de modèle a priori

La constitution d’une base réduite initiale peut être un handicap pour les méthodes de réduction de modèle par projection présentée ci-avant. Leur robustesse face à un changement de paramètre est diﬃcilement acquise. Surtout, les opérateurs du problème tangent doivent être évalués à chaque itération (au moins le vecteur résidu). Deux approches sont présentées, qui constituent des alternatives à la réduction de modèle par projection reposant sur une base réduite constituée oﬄine.
Hyper-Réduction A Priori :
Une alternative aux procédures adaptatives de base réduite et à l’évaluation des opéra-teurs sur tout le domaine est proposée par [Ryckelynck, 2005] sous le nom d’Hyper-Réduction A Priori (APHR). La méthode APHR repose sur trois principes :
• Une base réduite a priori :
Une base réduite est constituée sans besoin d’une compréhension mécanique du pro-blème. Il s’agit de la base d’un sous-espace de Krylov généré à partir du résidu des eﬀorts intérieurs et extérieurs Kr (KT , Rn). Les espaces de Krylov permettent de construire, par de simples opérations de type produit matrice-vecteur, des sous-espaces aﬃnes très pertinents pour chercher des approximations de la solution d’un système linéaire. Dans [Ryckelynck, 2005], une base de trois vecteur est ainsi formée.
• Adaptivité par intervalle :
La méthode APHR est incrémentale. À la fin de l’incrément n, résolu par le modèle ré-duit avec la kième base Ck , l’erreur d’approximation est estimée par le calcul du résidu complet Rn. Si le critère d’erreur n’est pas satisfait, l’incrément est recalculé avec une base réduite adaptée Ck+1. L’adaptation de la base réduite se fait en deux étapes. La première étape consiste à réaliser une POD sur les solutions réduites des incréments précédents ([α1 α2 α n], n le dernier incrément calculé) pour obtenir une matrice de sélection V . Dans la seconde étape, la base réduite adaptée Ck+1 est constituée de Ck V et de la base de Krylov calculée avec le résidu Rn. C k+1 = C k V K r ( KT , R n) (2.16)

Newton-Krylov-Schur et localisation non-linéaire

Les méthodes de décomposition de domaine s’appliquent à la résolution des systèmes d’équations linéaires de grande taille. Y compris ceux des problèmes tangents obtenus par linéarisation de Newton dans le cas d’un problème non-linéaire. Dans ce cas on parle de mé-thode Newton-Krylov-Schur (NKS), pour exprimer la combinaison entre le schéma de New-ton, la condensation de Schur par sous-domaine pour obtenir un problème d’interface et des problèmes locaux indépendants, et les solveurs itératifs parallèles de Krylov. L’Algorithme 2 montre les diﬀérentes étapes de la résolution par des méthodes NKS à travers l’approche primale. Les méthodes NKS ont été notamment utilisées dans [Rey, 1994] sur un problème non-linéaire élastique hétérogène et dans [Farhat et al., 2000] pour traiter des non-linéarités géométriques.
Les techniques GIRKS et SRKS ont été développées en partie pour les problèmes d’in-terfaces en non-linéaire qui sont résolus à chaque itération (ligne 1 de l’Algorithme 2). Néanmoins des changements trop important des matrices de raideur peuvent rendre les sous-espaces de Krylov des itérations précédentes obsolètes. Cela se produit par exemple en post-flambement [Cresta, 2008].
Au delà du préconditionnement du solveur itératif du problème d’interface, les méthodes NKS ne sont pas bien adaptées aux non-linéarités localisées. De fait, la présence d’une non-linéarité au sein d’un sous-domaine pénalise l’ensemble de la procédure aussi bien au niveau de l’interface que des autres problèmes locaux. Le processus itératif qui permet de faire converger le problème non-linéaire englobe eﬀectivement la méthode de décomposition de domaine, comme cela est représenté sur le schéma Figure 2.10.

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Table des matières

Introduction générale
I Etat de l’art en simulation du post-flambement des structures et stratégies de calcul avancées
1 Post-flambement des structures raidies et méthodes classiques de résolution
1.1 Introduction
1.2 Phénomène de post-flambement
1.2.1 Flambement général des structures élancées
1.2.2 Réponse des structures raidies en post-flambement
1.2.3 Endommagements et ruptures induits
1.3 Modélisation des structures élancées et non-linéarités géométriques
1.3.1 Cinématiques des structures élancées
1.3.2 Équation d’équilibre : principe des puissances virtuelles
1.3.3 Problème de flambement
1.4 Méthodes de résolution semi-analytiques
1.4.1 Méthode de Ritz-Galerkin
1.4.2 Approche par développement asymptotique en post-flambement initial
1.4.3 Pré-dimensionnement de panneaux raidis
1.5 Résolution par la méthode des éléments-finis
1.5.1 Discrétisation du PPV
1.5.2 Problème tangent et méthode de Newton-Raphson
1.5.3 Approche global/local
1.5.4 Méthodes alternatives
1.6 Bilan du chapitre
2 Stratégies de calcul avancées
2.1 Introduction
2.2 Réduction de modèle
2.2.1 Réduction de modèle par projection
2.2.2 Réduction de modèle a priori
2.3 Calcul parallèle par décomposition de domaine
2.3.1 Décomposition de domaine sans recouvrement
2.3.2 Formulation du problème d’interface
2.3.3 Résolution itérative du problème d’interface
2.3.4 Newton-Krylov-Schur et localisation non-linéaire
2.4 Approches combinées
2.4.1 Méthode LaTIn micro/macro
2.4.2 Autour des éléments finis généralisés
2.4.3 Méthode asymptotique numérique et POD
2.4.4 Partition de la réduction de modèle
2.5 Bilan du chapitre
II Contribution au calcul haute performance pour le post-flambement local des structures raidies
3 Réduction de modèle adaptative en post-flambement
3.1 Introduction
3.2 Stratégie PBAMR (Post-Buckling Adaptive Model Reduction)
3.2.1 Une base réduite initiale minimale
3.2.2 Une procédure d’adaptation à la volée
3.2.3 Algorithme général
3.3 Implémentation et validation du code de recherche
3.4 Comportement de la stratégie et étude paramétrique sur un cas simple
3.5 Étude des performances numériques : application à un panneau raidi
3.6 Bilan du chapitre
4 Réduction de modèle adaptative et décomposition de domaine pour le post-flambement local
4.1 Introduction
4.2 Stratégie PBAMR et décomposition de domaine
4.2.1 Partition de la réduction de modèle par projection
4.2.2 Partition de la complétion à la volée
4.2.3 Considérations pour le post-flambement local
4.2.4 Algorithme général d’une stratégie de résolution pour le post-flambement local : PBAMR-DD
4.3 Validation
4.4 Bilan du chapitre
5 Une bibliothèque Python pour le développement de stratégies de calcul avancées
5.1 Introduction
5.2 Programmation orientée objet pour les éléments finis et les méthodes de ré- solution associées
5.3 Conception de la bibliothèque ICAFE
5.3.1 Les méthodes et leurs contraintes
5.3.2 Organisation générale
5.3.3 Zoom sur le package domain
5.3.4 Zoom sur le package mesh
5.3.5 Implémentation pour le calcul parallèle
5.4 Bilan du chapitre
Conclusion
Bibliographie