MODÉLISATION DES RÉSEAUX ÉLECTRIQUES

MODÉLISATION DES RÉSEAUX ÉLECTRIQUES

Stabilité de l’angle du rotor

Dans un réseau électrique à courant alternatif, la stabilité de l’angle du rotor est définie comme la capacité, que possède un générateur, de rester en synchronisme après une perturbation. Autrement dit, un système est instable si la différence d’angle entre deux générateurs interconnectés augmente indéfiniment ou si l’oscillation transitoire, provoquée par une perturbation, n’est pas suffisamment amortie dans le temps d’évaluation (Kundur, Paserba et al., 2004, p. 1-4). La stabilité de l’angle du rotor peut être traitée selon deux approches différentes. La première approche analyse la stabilité quand la perturbation est petite. Dans ce cas, l’ensemble des équations qui décrivent le comportement du réseau est linéarisé et la solution est obtenue par des méthodes de valeurs propres (Pai, Sen Gupta et al., 2005, p. 223-224). Normalement, les temps d’évaluation pour ce type d’analyse vont de 10 à 20 secondes.

La deuxième approche est connue sous le nom de ST et elle analyse la stabilité quand la perturbation est grande ou sévère, comme un défaut triphasé sur une ligne. Dans ce cas, le système d’équations qui décrit le comportement dynamique est traité par des méthodes numériques dans le domaine du temps, énergétiques ou hybrides. Méthodes dans le domaine du temps SDT: Ces méthodes calculent et résolvent, par plusieurs techniques d’intégration numérique, les équations qui caractérisent le comportement dynamique des machines. Les modèles classique et détaillé sont les plus utilisés pour formuler les équations différentielles. Méthodes directes, énergétiques ou de Liapunov : Ces méthodes utilisent des techniques énergétiques afin d’analyser la stabilité sans résoudre les équations différentielles. Méthodes hybrides : Ces techniques utilisent les avantages des autres deux méthodes afin de trouver les caractéristiques les plus importantes pour analyser la stabilité : l’angle critique, le temps critique d’élimination de défaut et les machines critiques.

Analyse comparative – simulation classique

Bien qu’il existe des méthodes énergétiques pour évaluer mathématiquement le CCT, dans le cadre de cette étude, celui-ci est évalué graphiquement. Ainsi, nous réalisons différentes simulations jusqu’à trouver l’intervalle de temps à partir duquel une ou plusieurs machines deviennent instables avec une précision de 1 ms. Pour toutes les simulations, le temps d’évaluation est de 5 s et le moment de début de défaut est de 1 s. La précision des méthodes est comparée par rapport à celle du logiciel PSSE® avec un pas de temps de 0.08333 ms. Ce a) b) c) d) logiciel commercial, créé en 1976 par la compagnie SIEMENS, est un des logiciels les plus reconnus pour l’analyse de réseaux électriques (IEEE, 1992, p. 37-43). Nous avons sélectionné trois défauts dans chacun des réseaux suivants : 3 machines- 9 barres, 10 machines -39 barres et 50 machines – 145 barres, tel que montrent les Tableaux de 5.1 à 5.3. À titre d’exemple, le premier défaut défini au Tableau 2.1 est le [7*-5], où l’astérisque indique que le défaut est proche de la barre 7. Si on prend la méthode ODE 45 à pas variable, le CCT se retrouve entre 164 et 165 ms.

Afin d’évaluer la précision de notre programme, les mêmes défauts sont simulés dans le logiciel PSSE® avec différents pas de calcul. Avec le pas plus petit (0.083 ms), qu’on suppose plus précis, PSSE® nous indique que le CCT se retrouve entre 162 et 163 ms. Alors, pour la première méthode, l’ODE 45 à pas variable, une précision moyenne de 99.2 % est obtenue par rapport à PSSE. Dans le même ordre d’idées, plusieurs résultats sont tirés comme suit : Méthodes d’Euler : À moins que le pas de calcul soit assez petit (près de 0.83 ms), il n’est pas recommandable d’utiliser ces méthodes. Parmi les trois méthodes d’Euler implémentées, celle qui présente une meilleure précision est celle d’Euler modifiée. Pour le cas où le pas de temps est de 0.833 ms, les trois méthodes présentent presque la même précision, mais celle d’Euler à un pas de calcul est considérablement plus rapide. Méthodes à pas de temps variable et à pas de calcul fixe : Bien que les méthodes à pas de temps variable, comme l’ODE45, l’ODE 23tb et l’ODE 15s, n’utilisent qu’une quantité réduite de pas de temps d’intégration, elles comportent une haute précision et en même temps, sont assez rapides. Particulièrement, la méthode ODE 45, qui utilise une technique d’intégration explicite présente les meilleures performances dans la plupart des simulations.

Méthodes avec deux ou trois pas d’intégration : Pour ces méthodes, pendant le temps de défaut, le pas de temps est divisé par dix afin d’évaluer si la précision est augmentée. Mais dans la pratique, pour ces méthodes la précision n’est pas toujours améliorée par rapport à celle observée dans les mêmes simulations mais à un seul pas de temps. Les méthodes implicites et les méthodes explicites : Les méthodes implicites, comme le trapézoïdal avec Newton Raphson, prennent, en général, plus de temps d’exécution que les similaires explicites. Ceci est explicable par l’effort additionnel du programme pour calculer la matrice Jacobienne. Méthodes de résolution d’équations différentielles incluses dans Matlab : Les méthodes à pas de temps variable, comme l’ODE45, l’ODE23tb et l’ODE15s, en tant que algorithmes développés en Matlab, présentent des avantages par rapport aux autres méthodes.

En effet, la robustesse de la programmation est la plus remarquable. De plus, ces algorithmes sont développés par des experts en programmation et leur performance est prouvée dans plusieurs cas. Par contre, dans quelques cas cette robustesse les rend peu flexibles et quelquefois plus lents en temps d’exécution, surtout quand il s’agit de la première simulation. Un autre inconvénient de ces algorithmes, c’est le manque d’applicabilité pour résoudre les DAE qui caractérisent le modèle détaillé. Réductions dans les pas de temps : On observe que des réductions dans le pas de temps entrainent une amélioration plus notable dans les méthodes moins précises, comme dans les méthodes d’Euler et trapézoïdales. Même avec PSSE, la précision varie considérablement lorsque des pas de temps plus petits sont utilisés. De toutes les méthodes, celle qui présente la meilleure performance précision – vitesse d’exécution est celle de l’ODE 45 à pas variable. Elle convient spécialement aux études où la vitesse d’exécution est prioritaire. Parmi les méthodes à pas fixe, celle qui présente la meilleure performance est le Runge Kutta à pas fixe avec un pas de temps de 8.333 ms.

Analyse des temps moyens d’exécution

Afin de vérifier si la vitesse d’exécution du programme suit la tendance antérieurement décrite, nous avons élaboré un autre programme qui fait les simulations de la plupart des défauts possibles sur les réseaux avec chacune des méthodes et pour différents temps de défaut. Comme résultat, ce programme permet d’obtenir les valeurs moyennes de vitesse d’exécution pour chacune des dix méthodes d’intégration implémentées. Pour un réseau avec ? barres raccordées par ? lignes, il existe 2? + ? différentes possibilités de défauts triphasés. Pour notre cas et pour simplifier la programmation, nous n’avons considéré que les premiers 2? défauts. Dans le même ordre d’idées, nous faisons varier le temps de défaut à des valeurs de 100, 200 et 300 ms, afin de constater s’il existe dépendances entre les temps d’exécution et de défaut. À titre d’exemple le Tableau 5.4 montre une partie des temps d’exécution calculés pour le cas 50 machines avec la technique d’intégration ODE 23tb. Dans la troisième et quatrième colonne se sont montrés les temps d’exécution pour un défaut sur la barre i et j respectivement.

Avec l’information de toutes les possibles combinaisons de défauts, la moyenne arithmétique calculée pour chaque méthode est classée selon la vitesse d’exécution, tel que le montre le Tableau 5.5. L’ANNEXE VI présente les résultats moyens pour chacun des réseaux étudiés. Les données tirées des simulations nous confirment que les méthodes à pas variables sont, en moyenne, plus efficaces. La méthode de Runge Kutta à pas variable est au moins deux fois plus rapide que celle à pas fixe et au moins trois fois plus rapide que les méthodes d’Euler qui donnent des précisions similaires. Ces différences en performance peuvent être considérablement supérieures selon le type de défaut. Il est aussi possible d’affirmer que, pour le modèle classique, les techniques explicites ont une meilleure performance par rapport aux techniques implicites. Un autre fait intéressant, c’est la dépendance directe qui existe entre le temps de défaut et le temps d’exécution.

Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE 1 MISE EN CONTEXTE
1.1 Définition et classification de la stabilité
1.2 Stabilité de l’angle du rotor
1.3 Caractéristiques d’un réseau avant, pendant et après une perturbation
1.4 Buts de la stabilité transitoire
CHAPITRE 2 MODÉLISATION DES RÉSEAUX ÉLECTRIQUES
2.1 Écoulement de puissance
2.2 Matrice d’admittance
2.3 Simulation des défauts et modifications sur la matrice d’impédance
2.3.1 Réduction de Kron
2.4 Méthode de Newton Raphson
2.5 Calcul de la matrice Jacobienne
2.6 Algorithme VDHN
2.7 Méthodes d’intégration
2.7.1 Précision des méthodes numériques
2.8 Méthodes d’intégration en Matlab®
CHAPITRE 3 STRUCTURE DU PROGRAMME – MODÈLE CLASSIQUE
3.1 Équation d’oscillation du rotor
3.2 Hypothèses du modèle classique
3.3 Le modèle classique pour un système à machines multiples
3.4 Programme d’écoulement de puissance
3.5 Critères basiques pour la conception du programme de ST
3.6 Préparation des données d’entrée
3.7 Calculs préliminaires
3.7.1 Modéliser les charges comme des admittances constantes
3.7.2 Calcul de la tension et de l’angle interne des machines
3.7.3 Matrices d’admittance avant, pendant et après le défaut
3.7.4 La programmation de la réduction de Kron
3.8 Formulation et résolution des équations différentielles
3.9 Données de sortie de la simulation et présentation des résultats
3.10 Méthodes d’intégration incluses dans le programme de ST classique
CHAPITRE 4 STRUCTURE DU PROGRAMME– MODÈLE DÉTAILLÉ
4.1 Modèle mathématique
4.1.1 Équations différentielles
4.1.2 Les équations algébriques
4.2 Les données d’entrée
4.3 Calculs préliminaires
4.4 Formulation et résolution des équations différentielles – méthode explicite
4.5 Formulation et résolution des équations différentielles – méthode implicite
4.6 Données issues de la simulation et présentation des résultats
4.7 Options définies par l’utilisateur
CHAPITRE 5 RÉSULTATS ET VALIDATION
5.1 Cas d’étude : trois machines – neuf barres WSCC
5.2 Cas d’étude: 10 machines et 39 barres
5.3 Cas d’étude : 17 machines et 165 barres
5.4 Cas d’étude : 50 machines et 145 barres
5.5 Analyse comparative – simulation classique
5.5.1 Analyse des temps moyens d’exécution
5.6 Analyse comparative – simulation détaillée « deux axes »
CONCLUSION
ANNEXE I EVALUATION DU JACOBIEN – MODÈLE DETAILLÉ
ANNEXE II RÉSEAU 3 MACHINES 9 BARRES –WSCC
ANNEXE III RÉSEAU 10 MACHINES 39 BARRES – NEW ENGLAND
ANNEXE IV RÉSEAU 17 MACHINES 162 BARRES
ANNEXE V RÉSEAU 50 MACHINES 145 BARRES
ANNEXE VI MÉTHODE CLASSIQUE – ÉVALUATION DES METHODES : TEMPS D’ÉXECUTION ET NOMBRE DE PAS DE TEMPS D’INTEGRATION
ANNEXE VII CODES EN MATLAB
LISTE DE RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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