Modelisation des pluies annuelles

MODELISATION DES PLUIES ANNUELLES

L’essentiel des ressources en eau dans les pays sahéliens est d’origine pluviale : les précipitations jouent un rôle prépondérant dans les activités agricoles, l’alimentation en eau des agglomérations urbaines ou rurales. L’étude des processus physiques et hydrologiques liés à leur formation et à leur écoulement est une étape fondamentale dans la planification des ressources en eau, et il est important d’avoir une vision claire des caractéristiques des précipitations provenant de la partie amont du bassin d’un cours d’eau.

Les séries pluviométriques historiques contiennent des informations importantes sur les précipitations et les écoulements mais également sur leurs tendances à moyen et long terme. Elles sont notamment utilisées aussi bien pour l’étude de l’évolution climatique que pour la description virtuelle des processus hydrologiques qui génèrent les écoulements et le dimensionnement des aménagements hydro agricoles.

Grâce à un outil mathématique et surtout informatique de plus en plus puissant, un large éventail de modèles mathématiques a été mis au point pour l’étude de la formation et de la variation spatio temporelle de la ressource en eau. Ces modèles utilisent comme entrées les séries chronologiques des variables hydrologiques obtenues essentiellement à partir d’observations et de mesures faites sur le terrain au niveau des stations climatiques, à différentes échelles de temps. La quantité et surtout la qualité de ces observations conditionnent les résultats obtenus à partir de ces modèles et très souvent constituent un frein à leur utilisation optimale (Silveira, 1997). La chaîne d’acquisition (capteur, enregistreur, … ), le traitement, le contrôle, et la diffusion de ces données nécessitent de gros moyens techniques, humains et financiers. La gestion des réseaux de mesure est de moins en moins supportable par les pays en voie de développement, et le risque d’erreurs est de ce fait plus important, que ce soit à la mesure, à la transmission, lors de la collecte ou à la transcription.

CARACTERISTIQUES DES DONNEES

NATURE ET PROVENANCE DES DONNEES 

L’étude que nous avons entreprise nécessite une masse importante de données hydro climatiques collectées en différents sites du bassin versant, en amont de Bakel, essentiellement des cumuls annuels de hauteurs de pluies journalières que nous avons obtenues auprès de sources différentes:
• sous forme de tableaux 31 lignes X 12 colonnes de pluies journalières en 16 stations du Sénégal et du Mali par le Bureau Climatologie de l’ASECNA, depuis l’origine jusqu’en 1980.
• auprès de la banque PLUVIOM du Service Hydrologie du centre ORSTOM de Dakar – HANN, jusqu’en 1995
• à partir des rapports de la CIEH .

Bien entendu, ces différentes archives ont bien souvent les mêmes sources de mesures. Nous profitons de l’occasion pour remercier tous les producteurs de source de mesures.

RESEAU DE COLLECTE

Les hauteurs de pluies journalières sont généralement collectées auprès de différentes stations ou postes pluviométriques. Il existe en général deux types de stations pluviométriques:
• les stations synoptiques, gérées par des services techniques spécialisés, avec un personnel qualifié (Direction de Météorologie Nationale, Ministère, Organismes sous régionaux (ASECNA)
• les stations non synoptiques, surtout en zone rurale, confiées soit à des bénévoles, soit à des contractuels.

A l’occasion de projets de développement ou de recherche, certaines Organisations Non Gouvernementales ou Institutions de Recherche peuvent installer des pluviomètres. La durée des observations dans ce cas est généralement limitée à celle du projet. Le réseau pluviométrique utilisé dans l’étude comporte 15 stations toutes implantées au Mali et au Sénégal.

MATRICE DE RECOUVREMENT

La longueur de recouvrement est le nombre d’années sur lesquelles deux ou plusieurs stations sont suivies simultanément, de façon continue ou non. En prenant les stations deux par deux, nous obtenons une matrice symétrique (tableau I.2) que nous désignons sous le terme de matrice de recouvrement. Un élément l ij de cette matrice représente la période sur laquelle deux stations i et j sont suivies simultanément. Sa diagonale représente la longueur de la période totale de suivi, continue ou non d’une station donnée. Cette matrice donne une idée de la régularité des observations à l’échelle du bassin versant.

CRITIQUE DES DONNEES

Les hauteurs de pluies journalières que nous allons utiliser dans cette étude ont été mesurées à l’aide de pluviomètres. La simplicité de sa conception et de son utilisation ainsi que sa grande maniabilité font du pluviomètre un instrument de mesure très répandu, mais malheureusement exposent les résultats qu’il fournit à des erreurs très fréquentes, qui peuvent être accidentelles ou systématiques et localisées sur une période d’observations. Différentes causes d’erreurs ont été recensées (Hiez 1977 ; Brunêt – Morêt, 1977). Parmi les principales, nous mentionnons:

• celles liées à l’environnement du pluviomètre : déplacement, modification du site, déformation de la surface réceptrice, croissance de la végétation avoisinante,…
• celles liées à la lecture : changement d’éprouvette, inadéquation entre l’éprouvette et le pluviomètre, changement de lecteur,…

Ces différentes erreurs se traduisent par une dérive à long terme des lectures et provoquent une hétérogénéité des séries de pluies annuelles. Les séries chronologiques disponibles ont des longueurs inégales : les dates de démarrage des stations sont différentes ; il existe de nombreuses périodes réparties dans l’espace pendant lesquelles les stations n’ont pas fait l’objet de suivi.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE I MODELISATION DES PLUIES ANNUELLES
I.1 INTRODUCTION
I.2 CARACTERISTIQUES DES DONNEES
I.2.1 NATURE ET PROVENANCE DES DONNEES
I.2.2 RESEAU DE COLLECTE
I.2.3 MATRICE DE RECOUVREMENT
I.2.4 DENSITE DE STATIONS
I.2.5 EVOLUTION DE LA PLUIE EN FONCTION DE L’ALTITUDE
I.3 CRITIQUE DES DONNEES
I.3.1 VERIFICATION DE L’HOMOGENEITE TEMPORELLE
I.3.1.1 Méthode des simples cumuls
I.3.1.2 Test du cumul des résidus en une station (Bois, 1976)
I.3.2 VERIFICATION DE L’HOMOGENEITE SPATIALE
II.3.2.1 Méthode des doubles cumuls
I.3.2.2 Test du cumul des résidus (Bois, 1976 )
I.4 CONSTITUTION DES SERIES CHRONOLOGIQUES DE PLUIES ANNUELLES
I.4.1 COMBLEMENT DES LACUNES
I.4.1.1 Principe
I.4.1.2 Régression multiple fondée sur l’analyse en composantes principales
I.5.4.2 Validation de la reconstitution
I.5 PROPRIETES STATISTIQUES DES SERIES DE PLUIES ANNUELLES
I.5 .1 TESTS D’INDEPENDANCE
I.5 .1.1 Test de l’autocorrélogramme
I.5 .1.2 Test du coefficient d’auto corrélation d’ordre 1
I.5 .1.3 Test du point de rebroussement (pic ou creux)
I.5 .1.4 Statistique des rangs τ de Mann – Kendall (1961)
I.5.2 TESTS D’HOMOGENEITE
I.5.2.1 Test de Pettitt
I.5.2.2 Test de segmentation des séries
I.5.3 SYNTHESE DES TESTS
I.5.3.1 Test d’indépendance
I.53.2 Synthèse des tests d’homogénéité
I.6 REGIONALISATION SPATIO TEMPORELLE PAR ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
I.6.1 PRINCIPE
I.6.2 APPLICATION DE L’ ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
I.6.2 ANALYSE DE LA MATRICE DE CORRELATION DES VARIABLES (MATRICE D’INERTIE DES INDIVIDUS)
I.6.2.1 Analyse des éléments de décomposition de la matrice de corrélation des variables
I.6.2.2 Analyse des valeurs propres
I.6.2.3 Analyse des vecteurs propres de la matrice de corrélation des variables
I.6.3 ANALYSE DES NUAGES DANS LES PLANS FACTORIELS
I.6.3.1 Analyse du nuage des variables
I.6.3.2 Analyse du nuage des individus
I.7 ESSAI DE REGIONALISATION DE LA LOI DES FREQUENCES
I.7 CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE I
CHAPITRE II : MODELISATION DES HAUTEURS DE PLUIES JOURNALIERES
II.1 INTRODUCTION
II.2 RAPPELS SUR LES DISTRIBUTIONS STATISTIQUES
II.2.1 FONCTION DE DISTRIBUTION, FONCTION DENSITE DE PROBABILITE
III.2.2 MOMENTS ET COEFFICIENTS
II.3.3 PROPRIETES DE LA LOI EXPONENTIELLE
II.3.3.1 Expression de la fonction densité de probabilité
II.3.2 EXPRESSION DE LA FONCTION DE REPARTITION
II.3.3 MOMENTS DE L1
II3.3.1 Moments théoriques non centrés
II.3.3.2 Moments théoriques centrés d’ordre n
II.4 CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DESCRIPTIVES D’UN ECHANTILLON
II.5 ESTIMATION DES PARAMETRES D’UNE LOI DE PROBABILITE DONT L’EXPRESSION MATHEMATIQUE EST CONNUE
II.5.1 METHODE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
II.5.2 METHODE DES MOMENTS
II.5.3 METHODE DES MOINDRES CARRES
II.6 ESTIMATION DU PARAMETRE a DE LA LOI EXPONENTIELLE DE TYPE L1
II.6.1 METHODE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
II.6.2 METHODE DES MOMENTS
II.6.3 METHODE DES MOINDRES CARRES
II.7 COMPARAISON PAR SIMULATION DE MONTE CARLO DES PROPRIETES DE DEUX ESTIMATEURS DU PARAMETRE a : MMC ET MMV
II.7.1 GENERATION DES ECHANTILLONS D’ESTIMATIONS PAR SIMULATION DE MONTE CARLO
II.7.2 COMPARAISON DES PROPRIETES STATISTIQUES DES ESTIMATEURS MV ET MC
II.7.2.1 Propriétés des estimateurs
II.7.2.2 Effet de N et Np sur les propriétés des estimateurs
II.7.2.3 Effet de N: simulations à Np=cste
II.7.2.4 Effet de Np: Simulations à N =cste
II.7.2.5 Synthèse des simulations
II.7.2.6 Généralisation des simulations
II.7.2.6.1 Evolution de la variance
II.7.2.6.2 Evolution de l’espérance mathématique
II.8 COMPARAISON DES PROPRIETES ASYMPTOTIQUES DES ESTIMATEURS PAR SIMULATION DE MONTE CARLO: MMV, MMC (SAMBOU, 2004)
II.8.1 POSITION DU PROBLEME
II.8.2 EXPRESSION DES CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DES ESTIMATEURS
II.8.3 CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DE L’ESTIMATEUR DES MOINDRES CARRES
II.8.3.1 Expression analytique de l’espérance mathématique
II.8.3.2 Expression analytique de la variance
II.8.4 CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DE L’ESTIMATEUR DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
II.8.4.1 Estimation de l’espérance mathématique
II.8.4.2 Estimation de la variance
II.8.5.1 Comparaison de la moyenne des estimateurs
II.8.5.1.1 Méthode MC
II.9 COMPARAISON DES EXPRESSIONS ANALYTIQUES DE LA VARIANCE SELON L’ESTIMATEUR
II.9.1 METHODE MC
II.9.2 METHODE MV
III.11 EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES CARACTERISTIQUES STATISTIQUES ASYMPTOTIQUES DES OBSERVATIONS DE RANG k A PARTIR DE LA STATISTIQUE DES RANGS
III.11.1 EXPRESSION ANALYTIQUE DE L’ESPERANCE MATHEMATIQUE <XK>
II.11.2 EXPRESSION ANALYTIQUE DE VARIANCE DE XK
III.11.3 DETERMINATION DES CARACTERISTIQUES STATISTIQUES THEORIQUES DES ESTIMATEURS A PARTIR DE LA STATISTIQUE DES RANGS
III.11.3.1 Méthode MV
II.11.3.1.1 Espérance mathématique
II.11.3.1.2 Variance
II.11.3.2 Méthode MC
II.11.3.2.1 Espérance mathématique
II.11.3.2.2 Variance
II.11.3.3 Comparaison de l’espérance mathématique des estimateurs du paramètre
II.12 MODELE FREQUENTIEL DES ESTIMATIONS aˆ DU PARAMETRE a
II.12.1 FONCTION DE REPARTITION EMPIRIQUE
II.12.1.1 Effet de Np sur la fonction de répartition empirique
II.12.1.2 Effet de N sur la fonction de répartition empirique
II.12.1.3 Synthèse des essais
II.12.2 DETERMINATION DE LA FORME DE LA LOI DE DISTRIBUTION THEORIQUE DES ESTIMATIONS DU PARAMETRE a
II.13 MODELE FREQUENTIEL DES QUANTILES
II.13.1 RAPPELS
II.13.4 ETUDE DES CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DE LA DISTRIBUTION DES QUANTILES PAR SIMULATION DE MONTE CARLO
II.13.5 ETUDE ANALYTIQUE DES CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DE LA DISTRIBUTION DES QUANTILES
II.13.6 ETUDE DES LIMITES DE L’INTERVALLE DE CONFIANCE DES QUANTILES PAR SIMULATION DE MONTE CARLO
III.14 MODELISATION DES HAUTEURS DE PLUIES JOURNALIERES A L’AIDE DE LA DISTRIBUTION EXPONENTIELLE TRONQUEE EN FREQUENCE : EXEMPLE DU BASSIN DU FLEUVE SITUE AU MALI (Sambou 2004)
II.14.1 LISSAGE PAR UNE EXPONENTIELLE (THIRRIOT, 1996)
II.14.1.1 Estimation par la méthode des moindres carrés : Minimisation par rapport à x’j à F’0 =Cste
II.14.1.2 Estimation par la méthode des moindres carrés : minimisation par rapport à x’j, F’0 considéré comme variable
II.14.2 AJUSTEMENT PAR UNE SOMME DE FONCTIONS EXPONENTIELLES (CF THIRRIOT 1983)
II.14.2.1 Lissage par deux exponentielles (F’0 constant) : méthodologie
II.14.2.1.1 Détermination de 1 a et b1
II.14.2.1.2 Détermination de 2 a et b2
II.14.2.1.3 Détermination pratique
II.15 APPLICATION
II.15.1 CONSTITUTION DES SERIES CHRONOLOGIQUES
II.15.2 ANALYSE DES FONCTIONS DE REPARTITION EMPIRIQUES ANAMORPHOSEES
II.15.3 AJUSTEMENT DU MODELE EXPONENTIEL : PERIODE GLOBALE DU SUIVI
II.15.3.1 Lissage par une exponentielle : minimisation par rapport à x’j (F’0 constant ou non)
II.15.3.2 Lissage par deux exponentielles
II.15.4 EFFET DE LA VARIABILITE CLIMATIQUE
II.15.4.1 Ajustement des modèles exponentiels aux fréquences des hauteurs de pluies journalières : période pré et post 1968
II.15.4.1.1 Lissage à une exponentielle
II.15.4.3 Synthèse des essais
II.16 CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE II
CONCLUSION GENERALE

Lire le rapport complet