Soutenance mémoire
Modélisation des oscillations circadiennes de la protéine PER et de son ARNm chez la Drosophile
C’est quoi un système dynamique
La définition d’un système dynamique à temps discret est très simple. Il suffit d’avoir un ensemble E des états du système et une fonction f de E dans E ,définie sur E tout entier. Le couple (E,f) définit un système dynamique S à temps discret. E est aussi appelé l’espace des états de S et f détermine sa loi du mouvement :
si S est dans l’état x(t) à l’instant t alors il sera dans l’état f(x(t)) = x(t + 1) a l’instant t+1. La connaissance de f et de l’état présent x(0) de S suffit pour déterminer complément tous ses états ultérieurs.
Critère de Routh Hurwitz
Le critère de Routh-Hurwitz, détaillé plus bas, permet de tester cette stabilité. Il a été obtenu indépendamment par le mathématicien anglais Edward Routh en 1875 et par Hurwitz en 1895 et a été amélioré en 1914 par les mathématiciens français Liénard et Chipart dont le test de stabilité (également détaillé plus bas) est probablement le plus simple et le plus efficace. L’intérêt pour ces différents critères a été relancé dans les années 1980 par le théorème de Kharitonov. Le lecteur pourra trouver quelques éléments historiques dans les articles Automatique et Stabilité de Lyapunov. Le Critère de Jury est l’équivalent du critère de Routh-Hurwitz pour les systèmes à temps discret.
Le rythme circadienne
Les rythmes circadiens (du latin circa, autour, et dies , jour) représentent le prototype même des rythmes biologiques. D’une période proche de 24 heures, ils sont parmi les plus répandus chez les organismes vivants. Ils assurent l’adaptation au caractère périodique de l’environnemental, caractérisé par l’alternance du jour et de la nuit.
Le rythme ou l’horloge circadienne Décrits pour la première fois en 1729 par le mathématicien et astronome français Jean-Jacques Dortous de Mairan.Les rythmes circadiens sont présents dans la plupart des organismes vivants. Celui qui marque le plus les vies quotidiennes des êtres humains est bien sûr le rythme veille-sommeil. Dans les années 1970, Ron Konopka et Seymour Benzer, de l’Institut de technologie de Californie, ont étudié le rythme circadien de l’activité locomotrice de drosophiles au sein d’incubateurs où 12 heures de lumière alternaient avec 12 heures d’obscurité. À l’aide d’un agent mutagène, ils avaient introduit des mutations dans les gènes de certaines des mouches étudiées. À la suite de ces mutations, certaines avaient acquis des rythmes circadiens plus courts, d’autres plus longs ;d’autres encore s’activaient et se reposaient de façon aléatoire, semblant privées de rythme. R. Konopka et S. Benzer ont constaté que la plupart des drosophiles, quand on les prive de lumière, conservent un rythme circadien normal de quelque 24 heures comprenant environ 12 heures de repos et 12 heures d’activité. Des observations, effectuées au début des années 1990,ont montré que ce comportement s’explique par les oscillations de concentrations d’une protéine cellulaire nommée PER (La protéine PER est un résultat de la traduction de l’ARN du gène per). Le gène per (période)qui exprime la protéine du même nom est situé sur le chromosome sexuel X et son expression diminue à mesure que la protéine PER s’accumule.
Démarche mathématique
Qu’est ce qu’un modèle
Le principe d’un modèle est de remplacer un système complexe en un objet ou opérateur simple reproduisant les aspects ou comportements principaux de l’original (ex : modèle réduit, maquette, modèle mathématique ou numérique, modèle de pensée ou raisonnement). Les modèles mathématiques permettent de mieux comprendre les mécanismes en jeu dans les phénomènes biologiques dynamiques et complexes, qu’une simple description f linéaire et statique apprécie mal. Ils seront de plus en plus utilisés à l’avenir.
La modélisation mathématique
Le recours à la modélisation dans l’étude des mécanismes moléculaires des rythmes biologiques s’avère utile, voire nécessaire, à plusieurs titres. D’abord, en raison de la complexité des mécanismes de régulation à la base des rythmes. L’intuition seule ne suffit pas à prédire le comportement dynamique d’un système biologique soumis à de multiples rétroactions. Ainsi, la modélisation montre que les oscillations se produisent dans des conditions précises, dans une fenêtre de l’espace des paramètres, c’est-à-dire dans un domaine borné par deux valeurs critiques d’un paramètre de contrôle .
Modélisation des oscillations circadiennes de la protéine PER et de son ARNm chez la Drosophile
Au début des années 2000. La modélisation de ce rythme, effectuée par Goldbetter, (élève de Prigogine et actuellement responsable de l’unité de Biologie Théorique à l’université Libre de Bruxelles.
Les modèles, au moins les plus simples, reposent sur le principe d’un oscillateur à trois variables l’état, représentant dans une cellule la transcription d’un gène (i.e., la synthèse d’ARN messager, dans le noyau), sa traduction en une protéine dans le cytoplasme par les ribosomes, et la synthèse, toujours dans le cytoplasme, d’un facteur dérivé de cette protéine, qui va rentrer dans le noyau pour y venir inhiber la transcription. Il y a là tous les ingrédients pour obtenir des oscillations, et ce sont ces oscillations qui sont à l’origine des rythmes circadiens cellulaires, qu’on trouve aussi bien dans des neurones synchronises (pacemaker circadien des noyaux suprachiasmatiques) que dans les cellules des organes périphériques. Mais dans la réalité physiologique, si ces oscillations reposent bien sur un principe d’inhibition de la transcription.
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Table des matières
Introduction
1 Notion sur le système dynamique
1.1 c’est quoi un système dynamique
1.2 Le système différentiel
1.3 Trajectoires et espace de phases
1.4 Stabilité d’un système non linéaire
1.4.1 stabilité par la linéarisation
1.4.2 stabilité au sens de Lyapounov
1.4.3 Critère de Routh Hurwitz
2 Modélisation des oscillations circadiennes de la protéine PER et de son ARNm chez la Drosophile
2.1 Démarche biologique
2.1.1 Le rythme circadienne
2.2 démarche mathématique
2.2.1 Modélisation des oscillations circadiennes de la protéine PER et de son ARNm chez la Drosophile
2.2.2 l’étude théorique de la stabilité du modèle
3 Traitement numérique du modèle de Goodwin
3.1 Méthode de Runge-Kutta
3.1.1 Résolution numérique
3.2 Prédiction correction
3.2.1 Principe de la méthode
3.2.2 résolution numérique
3.3 comparaison des deux méthodes RK4 et (A-B-M)
Conclusion
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