Modélisation des machines électriques par la méthode des éléments finis

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Post-traitement

La solution du problème électromagnétique résolu par la méthode numérique de discrétisation par éléments finis est constituée des variables locales. Dans le cas d’un couplage aux équations du circuit électrique, les variables locales représentent les valeurs du potentiel vecteur magnétique aux différents nœuds du maillage et les valeurs du gradient du potentiel scalaire électrique à travers les conducteurs individuels. Pour remonter aux variables globales, telles que les pertes « cuivre », les pertes « fer », le flux embrassé par une bobine ou le couple résultant sur l’arbre d’une machine, des calculs intermédiaires connus sous le nom de calculs de post-traitement doivent être effectués.
Dans ce travail on s’intéresse particulièrement au calcul des pertes « cuivre » dans le bobinage des machines électriques. On va présenter dans cette partie, le modèle détaillé pour le calcul des pertes « cuivre » dans les matériaux conducteurs, il permet de prendre en considération les pertes additionnelles par courants de Foucault. L’évaluation de ces pertes peut s’avérer d’une extrême importance lors du dimensionnement des machines électriques, car non seulement elles entrainent des dégradations des performances et notamment la diminution du couple utile récupérée sur l’arbre du moteur mais elles peuvent aussi conduire à des échauffements anormaux. En outre, la forte dépendance de la valeur de ces pertes sur la configuration de l’enroulement montre la nécessite de sélectionner un enroulement optimal et de porter une attention particulier sur le type du conducteur utilisé.
En effet, le calcul des forces électromagnétiques nodales et l’estimation des pertes « fer » sont nécessaires pour un dimensionnement efficace des machines électriques. Pendant qu’on présente brièvement dans cette partie, les modèles de calcul des forces électromagnétiques nodales et des pertes « fer », ils sont développés en détails dans les annexes B et C respectivement. Le modèle de calcul des pertes « fer » permet d’estimer les pertes dissipées dans les circuits ferromagnétiques du stator et du rotor. Par ailleurs, le modèle de calcul des forces électromagnétiques nodales peut aboutir au calcul du couple électromagnétique et des forces radiales. En particulier, le couple électromagnétique est calculé en sommant les composantes tangentielles de toutes les forces électromagnétiques qui s’exercent sur le rotor. Lorsque la valeur de la puissance électromagnétique peut être déterminée en utilisant la valeur du couple électromagnétique et en tenant compte les valeurs des pertes « cuivre » et des pertes « fer » dissipées, un calcul du rendement de la machine devient alors possible. Connaissant la puissance électrique fournie à l’entrée et négligeant les pertes mécaniques, les équations au rendement sont établies dans l’Annexe D.

Modèle pour le calcul des forces électromagnétiques nodales

En post-traitement, la valeur de la densité d’énergie magnétique peut être déterminée par élément en tenant compte des propriétés non-linéaires du matériau ferromagnétique utilisé. L’application du principe des travaux virtuels permet alors de calculer les forces électromagnétiques nodales en sommant les contributions de tous les éléments avoisinant le nœud. Ayant deux composantes, l’une azimutale et l’autre radiale, ces forces vont d’une part, contribuer à la production d’un couple utile moteur et d’autre part, déformer la structure sous l’action des forces radiales.
Pour plus de détails, le modèle pour le calcul des forces électromagnétiques nodales par la méthode des travaux virtuels, en vue des calculs du couple électromagnétique et des forces radiales, est présenté dans l’Annexe B.

Modèle pour le calcul des pertes « fer »

En ce qui concerne les pertes « fer », étant donné que les fonctions d’interpolation utilisées dans la méthode des éléments finis sont de premier ordre, la densité du flux magnétique est constante à travers chaque élément. Les circuits magnétiques du stator et du rotor sont alors décomposés en des portions suivant la direction globale du flux magnétique qui gouverne chaque partie; ces portions sont souvent des dents où la direction globale du flux est parallèle à son axe ou des culasses où la direction du flux est tangentielle. Ensuite la valeur moyenne instantanée de la densité du flux suivant sa direction globale est calculée dans chaque portion, et un modèle de pertes « fer » peut être ainsi établi en utilisant l’équation généralisée améliorée de Steinmetz (dite ‘’improved generalised steinmetz equation’’ (iGSE) en anglais).
On trouve le modèle détaillé pour le calcul des pertes « fer » par la méthode iGSE dans l’Annexe C, il est adapté aux formes d’ondes non sinusoïdales du flux d’induction magnétique typique des machines à réluctance variable.

Conclusion

Après un bref rappel sur les équations de Maxwell, un modèle magnétodynamique 2D associé aux équations du circuit électrique a été présenté pour décrire les phénomènes électromagnétiques dans les machines électriques. La discrétisation du domaine d’étude par la méthode des éléments finis a permis la résolution du problème, elle est bien adaptée à la prise en compte de phénomènes non linéaires dans des systèmes à géométries complexes. Le solveur de Newton-Raphson et la technique de la bande de mouvement sont intégrés dans le modèle pour prendre en compte respectivement le comportement non linéaire du circuit magnétique et le mouvement du rotor dans le cas des machines tournantes. En profitant de la symétrie de certains systèmes électromagnétiques, on peut modéliser seulement une portion de ces systèmes en exploitant les conditions de périodicité et d’anti-périodicité. Le système résultant à résoudre est un système d’équations algébrique ramené sous forme matricielle. Les inconnues sont la valeur du potentiel vecteur magnétique aux différents nœuds du maillage et la variation par unité de longueur du potentiel scalaire électrique à travers les différents conducteurs alimentés chacun par un courant d’excitation donné.
En post traitement, un modèle pour le calcul des pertes « cuivre » dans les matériaux conducteurs est établi à partir des valeurs du gradient du potentiel scalaire électrique et de la variation en fonction du temps du potentiel vecteur magnétique. Les pertes « cuivre » peuvent être calculées instantanément ainsi que la distribution spatiale de la densité du courant électrique à travers les sections des conducteurs individuels.

Approche analytique pour le calcul des pertes « cuivre »

Introduction

Les pertes par courants de Foucault sont la conséquence de la circulation des boucles de courants induits dans les matériaux conducteurs pour agir contre la variation en fonction du temps du flux d’induction magnétique. On peut distinguer les pertes par effet de peau lorsque la variation du flux d’induction est due au courant d’alimentation propre variable en fonction du temps et les pertes par effet de proximité lorsque le flux magnétique est envoyé par des conducteurs à la proximité. Dans certains systèmes électrotechniques tels que les machines électriques, ces pertes sont indésirables, elles peuvent diminuer le rendement et les performances de la machine et aboutir parfois à des échauffements critiques. Pour prendre en compte ces pertes dans le processus de conception des machines, on a recours le plus souvent au modèle analytique.
Généralement, un modèle analytique est constitué d’équations symboliques qui relient les performances d’un système à concevoir, d’une part, aux paramètres géométriques qui décrivent sa structure et d’autre part, aux paramètres physiques donnant les caractéristiques des matériaux utilisés. Les équations du modèle mettent généralement en jeu les paramètres descriptifs du système en tant que grandeurs d’entrée. Le modèle analytique permet une grande variation de tous les paramètres dans les limites de validité de ses équations, et comparé au modèle numérique, il est rapide, simple, permet d’explorer au maximum l’espace des solutions et nécessite peu de calculs. Il présente alors un grand intérêt lors de l’utilisation des procédures itératives et répétitives de dimensionnement, de conception ou d’optimisation.
En partant des équations fondamentales qui régissent la circulation des courants de Foucault dans les matériaux conducteurs, un calcul analytique préliminaire du champ électromagnétique est introduit dans ce qui suit dans le but de calculer les pertes « cuivre » dans le cas des géométries de conducteurs de formes spéciales. On va traiter les cas d’un conducteur circulaire et d’un conducteur rectangulaire entourés de l’air et le cas des conducteurs logés dans les encoches d’un circuit magnétique typique du bobinage des machines électriques. La validité et la précision du modèle analytique sont testées par une comparaison à un modèle numérique utilisant la méthode des éléments finis.
Dans ce travail on s’intéresse particulièrement au calcul des pertes « cuivre » dans le bobinage des machines électriques. Ces pertes sont la somme des pertes Ohm classiques DC et des pertes additionnelles dites par courants de Foucault. Ces dernières sont la conséquence du couplage fort électrique-magnétique entre la densité du courant électrique et la variation en fonction du temps des lignes du champ magnétique pénétrant les conducteurs [Car007] [Dow66] [Sto74]. Les pertes par courants de Foucault dissipées à travers l’encoche des machines électrique ne dépendent pas uniquement de la fréquence d’alimentation et de la section du conducteur (effet de peau). Elles dépendent de même du flux envoyé par les conducteurs à la proximité (effet de proximité) [KD003] [KD006a] [KD006b] et de la perturbation de la distribution des lignes du champ magnétique (effet d’influence) [IUN013]. Cette perturbation de la distribution des lignes du champ magnétique dans le domaine de l’encoche est la conséquence d’une part de la fuite des lignes du champ due à la saturation du circuit magnétique et d’autre part de la variation de la reluctance magnétique attribuable au mouvement du rotor à caractère saillant. La modélisation par la méthode des éléments finis qui prend en compte le mouvement du rotor et la non linéarité du circuit magnétique permet de simuler les lignes du champ magnétique bidimensionnel à travers le domaine de l’encoche. Ceci se fait par la résolution de l’équation différentielle à dérivées partielles non-linéaire décrivant le couplage fort électrique-magnétique [Cha74]. Les pertes « cuivre » par influence pourront être alors prises en compte par la méthode des éléments finis 2D [SOB93]. L’importance de ces pertes est évaluée lorsqu’on calcule les pertes « cuivre » dans une machine à réluctance variable à double saillance [KD003] [KD006a] [ICD002]. C’est le cas d’une machine spéciale qui représente une double saillance (au niveau du circuit magnétique du stator et du rotor) et qui opère sous une saturation magnétique marquée due à son bobinage concentré autour de la dent du stator et aux niveaux élevés ainsi de la force magnétomotrice. Les pertes « cuivre » calculées par la méthode des éléments finis seront comparées à celles calculées par une approche analytique qui traite un champ unidimensionnel à travers le domaine de l’encoche négligeant par conséquent le mouvement du rotor et la non-linéarité du circuit magnétique.

Effet de peau dans un conducteur circulaire entouré de l’air

Mise en équation pour le calcul de la densité du courant

Comme présentées dans le premier chapitre, les équations de Maxwell en magnétostatique traduisent sous forme locale différents théorèmes qui régissent l’électromagnétisme. Elles décrivent le comportement d’un milieu sur le plan électrique et magnétique. La résolution analytique de ces équations dans le cas d’un conducteur alimenté par un courant variable en fonction du temps permet d’accéder aux densités de courants induits et ainsi aux pertes « cuivre » associés. Elle offre par ailleurs une détermination de ces pertes en fonction du courant d’alimentation, de la fréquence et de la géométrie du conducteur.
Dans un repère cylindrique de base , on suppose premièrement le cas d’un conducteur électrique d’axe z alimenté par le courant . Le conducteur étant supposé de rayon et de longueur , l’évolution du champ électromagnétique est pratiquement invariante suivant la direction longitudinale.
La densité du courant étant fonction de la position radiale, elle est non homogène à travers la section du conducteur. La répartition non uniforme de la densité du courant est due à la circulation des boucles de courants de Foucault. En effet, le conducteur est parcouru par un courant variable en fonction du temps, il est alors le siège d’un champ magnétique propre variable. Selon la loi de Faraday, les boucles de courants de Foucault créent un champ magnétique de réaction qui tend à s’opposer à la variation en fonction du temps du champ magnétique pénétrant le conducteur, elles permettent par conséquent d’altérer la distribution uniforme de la densité du courant comme dans le cas d’un régime statique à courant continue. La densité du courant non-uniforme est présentée par une valeur maximale à la périphérie du conducteur ou en d’autres termes par une tendance du courant à se déplacer vers la surface du conducteur; ce phénomène s’appelle l’effet de peau, il sera illustré ultérieurement dans un exemple d’application (Figure 2.3).

Traitement de cas particuliers

Les équations (2.70), (2.71), (2.72) et (2.73) décrivent le comportement électromagnétique à travers une section transversale rectangulaire du conducteur. Par contre, la résolution du problème reste incomplète sans la détermination des constantes et . L’équation (2.60) est insuffisante, il y a une équation additionnelle qui manque. La détermination de ces constantes ne se fait sans ajouter des hypothèses simplificatrices. Regardons les deux cas suivants: un conducteur de section en forme d’un carré ou situation d’un fonctionnement à basse fréquence [Ger009].

Table des matières

Introduction Générale
Chapitre 1 Modélisation des machines électriques par la méthode des éléments finis
1.1 Introduction
1.2 Modélisation locale des phénomènes électromagnétiques
1.2.1 Modèle de Maxwell
1.2.2 Formulation du problème électromagnétique
1.2.3 Modèle bidimensionnel
1.2.4 Unicité de la solution
1.2.5 Couplage aux équations du circuit électrique
1.2.6 Résolution par la méthode des éléments finis
1.2.7 Discrétisation temporelle
1.2.8 Prise en compte de la non linéarité du circuit magnétique
1.2.10 Prise en compte du mouvement
1.3 Post-traitement
1.3.1 Modèle pour le calcul des pertes « cuivre »
1.3.2 Modèle pour le calcul des forces électromagnétiques nodales
1.3.3 Modèle pour le calcul des pertes « fer »
1.4 Conclusion
Chapitre 2 Approche analytique pour le calcul des pertes « cuivre »
2.1 Introduction
2.2 Effet de peau dans un conducteur circulaire entouré de l’air
2.2.1 Mise en équation pour le calcul de la densité du courant
2.2.2 Calcul des pertes par effet de peau
2.2.3 Analyse en fonction de l’épaisseur de peau
2.2.4 Alimentation avec un courant périodique non sinusoïdal
2.3 Effet de peau dans un conducteur rectangulaire entouré d’air
2.3.1 Etablissement des champs électriques et magnétiques et calcul de la densité du courant
2.3.2 Alimentation avec un courant sinusoïdal
2.3.3 Traitement de cas particuliers
2.4 Conducteurs logés dans l’encoche d’un circuit magnétique
2.4.1 Etablissement des champs électriques et magnétiques et calcul de la densité du courant
2.4.2 Pertes « cuivre » totales par effet de peau et de proximité
2.4.3 Alimentation avec un courant non sinusoïdale
2.4.4 Cas des conducteurs circulaires logés dans l’encoche
2.4.4 Exemple d’application simple et comparaison avec la modélisation par éléments finis
2.4.5 Adaptation du calcul analytique dans le cas d’une machine à réluctance variable 58
2.5 Conclusion
Chapitre 3 Modélisation par éléments finis 2D des conducteurs multi filamentaires en fils torsadés et en fils de Litz
3.1 Introduction
3.2 Conducteur logé dans l’encoche et subdivisé en des brins en parallèles
3.2.1 Influence de la position du conducteur sur la répartition du courant
3.3 Approche 2D des conducteurs en fils torsadés et en fils de Litz.
3.3.1 Cas d’un conducteur en fils torsadés
3.3.2 Cas d’un conducteur en fils de Litz
3.3.3 Effet de la subdivision sur l’accroissement des pertes « cuivre » DC
3.4 Applications sur un bobinage simplifié d’une machine à réluctance variable
3.4.1 Bobinage simplifié avec un conducteur massif
3.4.2 Bobinage simplifié avec un conducteur multi filamentaire
3.5 Applications sur un bobinage plus réaliste à 18 spires par dent d’une machine à réluctance variable
3.6 Conclusion
Chapitre 4 Réduction du modèle par la technique de la perturbation
4.1 Introduction
4.2 Méthode de réduction du modèle par la technique de la perturbation dans le cas d’un bobinage à conducteurs en fils de Litz
4.2.1 Généralité sur la technique de la perturbation
4.2.2 Application pour une machine à réluctance variable dans le cas d’un bobinage à conducteurs en fils de Litz
4.2.3 Traitement du cas des maillages non conformes
4.2.4 Résultats et comparaison
4.2.5 Accélération en temps de calcul
4.3 Méthode de réduction du modèle par la technique de la perturbation dans le cas d’un bobinage à conducteurs massifs
4.3.1 Application à un exemple de cas-test
4.3.2 Résultats et discussion
4.3.3 Correction de la composante normale du champ magnétique par une condition aux limites de Neumann
4.3.4 Application à la machine à réluctance variable
4.4 Conclusion
Chapitre 5 Réduction de l’ordre du modèle par la technique de la POD-DEIM
5.1 Introduction
5.2 Rappel sur la formulation de la méthode des éléments finis
5.3 L’exemple d’application de la machine à réluctance variable
5.4 Réduction totale de l’ordre du modèle en utilisant la technique duale de la POD-DEIM
5.4.1 Décomposition orthogonale aux valeurs propres
5.4.2 Méthode d’interpolation empirique discrète
5.4.3 Application dans le cas d’une machine à réluctance variable
5.5 Réduction du sous domaine non linéaire au moyen de la POD-DEIM
5.5.1 Séparation des variables
5.5.2 Application de la POD-DEIM au sous domaine non-linéaire
5.5.3 Comparaison entre la réduction totale et la réduction par sous domaine (RSNL)
5.5.4 Résultats de la réduction efficace par la RSNL
5.5 Conclusion
Conclusions et Perspectives
Annexe A
Imposition de la composante normale du vecteur induction magnétique par une condition aux limites de Dirichlet
Imposition de la composante tangentielle du vecteur champ magnétique par une condition aux limites de Neumann
Annexe B Calcul des forces magnétiques locales
Annexe C Modèle pour le calcul des pertes « fer »
Annexe D Calcul du rendement
Bibliographie

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