Soutenance mémoire
Les structures naturelles sont constituées de formes 3D complexes qui sont pour la plupart difficiles à modéliser. On en dénombre une panoplie dans la nature à différentes échelles macroscopiques ou microscopiques. Par ailleurs, beaucoup de systèmes complexes restent encore inexplorés en 3D et s’inscrivent dans ces types de volumes. Nous avons entre autre l’espace poral du sol, les scènes graphiques 3D, les étendues d’eau, les organes vivants, les structures osseuses, les vaisseaux sanguins, etc. Ces structures complexes sont des lieux par excellence de phénomènes physiques et biologiques et dont l’étude suscite de l’intérêt dans de nombreux domaines de recherches. Grâce aux récents progrès technologiques, l’acquisition d’images volumiques haute résolution des formes complexes est désormais possible à l’aide des capteurs ou scanners tomographiques 3D à rayons X [Florez,2006, Gryze,2006, Monga et al.,2008]. Mais la plupart des expériences menées en vision par ordinateurs montrent que la description des formes uniquement à partir des données images est difficile à utiliser à des fins de calculs et de modélisations(simulations). Les raisons de cette complexité proviennent du fait que dans un premier temps, les voxels des images restitués par les capteurs tomographiques 3D, ne correspondent à aucune description analytique. Ils forment des traces discrètes non structurées. La représentation d’une forme par un ensemble brut de voxels ne donne à priori aucune information explicite sur ses descripteurs topologiques. Dans un second temps, le nombre de voxels est généralement très élevé et on en dénombre pratiquement des centaines de millions par image. Pour la plupart des applications réelles, il est important de calculer une représentation des structures géométriques qui soit à la fois compacte et stable.
Position du problème
Problématique
Une partie des problèmes rencontrés en modélisation de formes, en particulier 3D (3D shape modelling) est liée à la segmentation d’images 3D dont l’objectif est de fournir une représentation intrinsèque de formes à partir des données brutes issues de capteurs [Alsallakh,2014, Monga,2007, Ayache et al.,2003, Banegas et al.,2001, Blinn,1982, Caumon et al.,2004, Caumon et al.,2005, Doube,2015, Druoton et al.,2013, Malladi et al.,1995, Terzopoulos,1991]. Un des principes de base de la plupart de ces méthodes de modélisation de formes consiste à rechercher des approximations par morceaux par des surfaces analytiques ou des primitives volumiques. L’approximation par morceaux de primitives géométriques est calculée grâce à l’optimisation explicite ou parfois implicite d’une fonctionnelle non-linéaire intégrant un terme d’erreur d’approximation et un terme d’échelle qui lui est opposé [Monga,2007, Mumford et al.,1989]. Dans le cas des formes complexes, la segmentation d’images 3D reste un problème difficile et ouvert à cause de la difficulté à retrouver une bonne fonction et un schéma de minimisation facile. La raison fondamentale est que les formes naturelles n’ont pas été conçues comme des objets manufacturés à l’aide de surfaces analytiques et de volumes. Ainsi, on doit dans une certaine mesure trouver un algorithme qui calcule de manière significative une représentation de la forme initialement décrite par un ensemble de voxels. Ceci sous-entend que l’approximation finale de la forme doit être compacte et robuste face à des changements mineurs, avoir une sorte de « continuité » par rapport à la description initiale, et doit pouvoir servir dans la modélisation ou la simulation de processus physiques et biologiques. L’état des connaissances actuel présente des travaux en relation avec la modélisation de formes en général. La plupart de ces travaux présentent des modèles pour décrire des formes précises, à l’instar des objets manufacturés qui sont pour la plupart bien définis 1 [Chevalier et al.,2005, Banegas et al.,2001, Druoton et al.,2013, Boulaassal,2010]. On peut constater au vu de ceci que très peu présentent la modélisation 3D de formes naturelles complexes. Quand bien même cela est fait, la plupart des modèles sont purement théoriques et inutilisables[Ngom et al.,2012, Delerue et al.,2002]. Cela est dû d’abord aux difficultés mathématiques et algorithmiques auxquelles il faut faire face, et ensuite au manque de motivation lié aux contextes d’application spécifiques. Le premier point restera peut-être vrai pendant quelques décennies, mais le second changera de tendance en raison du développement croissant dans les domaines de modélisation des systèmes complexes naturels et en particulier dans les applications des sciences du sol[Shomar et al.,2014, Darwish et al.,2014, Vogel et al.,2001, Wen et al.,1996, Whiffin et al.,2007, Eickhorst et al.,2008, Freije et al.,2015, Kuiper et al.,2015, Vogel et al.,2015]. Toujours dans la perspective de répondre au problème de modélisation de forme 3D complexes, nous explorons une autre piste en proposant un nouveau modèle de représentation de formes qui soit à la fois compacte, stable, robuste et surtout utilisable dans un contexte applicatif réel. Ce travail est une continuité des travaux menés dans [Ngom et al.,2012, Monga,2007, Doube,2015, Chevalier et al.,2005, Druoton et al.,2013, Banegas et al.,2001] .
Méthodologie
Nous allons dans notre travail de thèse, développer une méthode originale permettant de représenter les formes 3D complexes en utilisant des primitives géométriques plus évoluées à l’instar des volumes quadriques [Alsallakh,2014, Banegas et al.,2001, Chevalier et al.,2005, Barr,1981, Barr,1984]. Cela nécessite la mise en œuvre des programmes informatiques basés sur une algorithmique complexe prenant en compte la définition mathématique des formes et permettant d’optimiser une fonctionnelle intégrant un terme d’erreur d’approximation et un facteur d’échelle. Nous avons choisi ces primitives à cause des avantages qu’elles présentent. En effet elles ont de bonnes propriétés géométriques et sont modélisables avec peu de paramètres. Elles sont en outre faciles à manipuler et surtout bien adaptées pour la visualisation graphique. L’entrée de notre algorithme est un ensemble brut de voxels qui décrit la forme d’un échantillon réel de sol. La sortie se traduit par une approximation par morceaux de la forme à l’aide des ellipsoïdes. En règle générale, nous représentons plusieurs centaines de millions de voxels au moyen de quelques milliers de primitives. Nous implémentons un schéma original consistant à définir une hiérarchie de représentation par des primitives à l’aide des boules puis de quadriques.
Définition formelle du problème
Soit S une forme volumique définie par un ensemble de voxels comme suit : Soit I(i, j, k) une image discrète 3D binaire. S est le volume défini par tous les voxels M(i, j, k) de I positionnés à un :
M(i, j, k) ∈ S ⇔ I(i, j, k) = 1 (1.1)
Dans un espace continu, chaque voxel pourrait être considéré comme un cube, comme le montre la figure 1.1. Le but consiste à trouver des approximations par morceaux de la forme S en utilisant des primitives ayant de bonnes propriétés de compacité, de robustesse et d’invariance. Bien sûr, comme dans tout schéma d’approximation, la notion d’échelle doit être explicitement exprimée. Étant donné que cette représentation sera utilisée pour simuler des phénomènes spatialisés complexes se déroulant dans la forme, les descripteurs basés sur le deep learning ne peuvent pas être directement utilisés pour résoudre ce problème.
Soit V l’ensemble des voxels qui définissent la forme volumique :
V = v1, v2,. . . vn (1.2)
Soit E un ensemble d’ellipsoïdes tel que chaque paire d’ellipsoïdes soit disjointe ou tangente :
E = e1, e2,. . . .em;∀(i, j),(ei ∩e j = /0)∨(ei ∩e j ∈ S(E)) (1.3)
Contributions
Ce travail constitue une innovation sensible en vision par ordinateur, en ce qui concerne la modélisation et la classification des formes volumique 3D issues d’images tridimensionnelles. Il propose une méthode d’approximation par morceaux, basée sur une fonctionnelle facile à minimiser et qui doit permettre de représenter des formes volumiques complexes avec un nombre réduit de primitives quadriques. La description finale respecte des contraintes topologiques de la forme initiale et permet d’accélérer la simulation des processus avec beaucoup plus de précision. D’autre part, nous proposons une version de l’algorithme des nuées dynamiques encore appelé K-means pour faire la classification non supervisée de certains objets 3D autres que les nuages de points classiques. Dans le cas d’espèce, nous calculons une partition d’un ensemble de boules 3D. Nous fournissons alors des sous-ensembles de boules connexes en fonction d’une mesure de similarité donnée qui est une distance dont nous donnerons la définition un peu plus loin. Par ailleurs, ce travail va susciter un intérêt dans les travaux de modélisation et de simulation des processus qui ont trait à des domaines d’application variés. On recense quelques uns comme la médecine, la géophysique[Berryman et al.,2000], la pétro physique[Lake,1995], l’hydrologie [Spoler et al., 2004, Marsily,1986], la biotechnologie [Wanner et al ,1995] et les sciences du sol[Shomar et al.,2014, Darwish et al.,2014, Vogel et al.,2001, Wen et al.,1996, Whiffin et al.,2007, Eickhorst et al.,2008, Freije et al.,2015, Kuiper et al.,2015, Vogel et al.,2015]. Beaucoup d’expériences sont menées dans ces domaines pour simuler des phénomènes liés aux systèmes complexes. Les enjeux de ces expériences peuvent être d’ordre écologique dans le contexte de la séquestration du carbone, agricole et industriel. En effet, la géométrie ou la structuration 3D de nombreux systèmes complexes reste encore en majorité inexplorée à de grandes échelles. Il serait possible par exemple grâce à la structure 3D d’un sol, d’étudier ses propriétés physicochimique afin de mettre en place des processus permettant de suivre son évolution au fur et à mesure qu’il subit des mutations .
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Table des matières
1 INTRODUCTION GÉNÉRALE
1.1 Contexte et motivations
1.2 Position du problème
1.2.1 Problématique
1.2.2 Méthodologie
1.2.3 Objectifs
1.2.4 Définition formelle du problème
1.3 Contributions
1.4 Plan de la thèse
2 ÉTAT DES CONNAISSANCES
2.1 Introduction
2.2 Mécanismes de modélisation des formes
2.2.0.1 Limites de la tomographie
2.2.1 Descripteur des formes
2.2.2 Représentation par des modèles volumiques
2.2.2.1 Approximation par des morceaux de segments plan
2.2.2.2 Approximation par des cyclides de dupin
2.2.3 Représentation par un ensemble minimal de boules maximales
2.2.3.1 Définition de la représentation de la forme volumique de base
2.2.3.2 Calcul de l’ensemble minimal Rmin(F)
2.2.3.3 Extraction des boules maximales et du λ – squelette en utilisant la triangulation 3D de Delaunay
2.2.4 Représentation par des cylindres généralisés
2.2.5 Représentation des formes avec les volumes quadriques autres que les boules
2.2.5.1 Quelques modèles de formes avec les volumes quadriques et superquadriques
2.2.6 Conclusion
3 GENERALITES SUR LES VOLUMES QUADRIQUES, SUPER QUADRIQUES ET APPROXIMATIONS VOLUMIQUES
3.1 Introduction
3.2 Les coniques 2D
3.2.1 Définition
3.2.2 Équations des coniques
3.2.2.1 Réduction de l’équation d’une conique
3.2.2.2 Équation polaire d’une conique
3.3 Les volumes quadriques
3.3.1 Définition
3.3.2 Forme réduite des quadriques
3.3.3 Centre de symétrie d’une quadrique à centre
3.3.4 Changement de repère
3.3.5 Types de volumes quadriques
3.4 Les volumes superquadriques
3.4.1 Définition
3.4.2 Les super ellipsoïdes
3.4.3 Les autre super quadriques
3.4.4 Justification du choix des modèles quadriques pour représenter l’espace poral
3.5 Approximation des formes
3.5.1 Approximation par les moindres carrés
3.5.1.1 Rappel du problème des moindres carrés
3.5.1.2 Solution du moindre carré par équations normales
3.5.1.3 Application aux quadriques
3.5.2 Approximation par diagonalisation de matrice de covariance
3.5.2.1 Rappel de quelques notions statistiques
3.5.2.2 Rappel de l’analyse en composante principale
3.5.2.3 Approche par diagonalisation presentée dans [Bricault et al.,1997]
3.5.3 Algorithmes
3.5.4 Test de nos algorithmes
3.5.5 Approximation d’un nuage de points par un superellipsoïde
3.5.5.1 Paramètres initiaux
3.5.5.2 Phase de régression des paramètres de A
4 CONCLUSION
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