Soutenance mémoire
La modélisation d’écoulements compressibles avec transition de phase est un sujet central dans le contexte industriel. Un tel phénomène intervient aussi dans la vie quotidienne. On peut l’observer tous les jours en préparant l’eau chaude, pour faire le café, le thé ou même pour cuisiner des délicieux plats tels que les pâtes italiennes. Si une telle préparation peut sembler banale, elle peut s’avérer extrêmement dangereuse et entraîner l’apparition brutale, voire explosive, de vapeur d’eau. Ce phénomène est connu sous le nom de métastabilité. Les états « métastables » sont des états de la matière qui semblent stables mais qui changent définitivement de leur état initial dès qu’ils sont soumis à une petite perturbation de l’extérieur. Ce n’est pas de la magie mais de la métastabilité. Landau et Lifschitz [LL69] en donne une description :
« we must distinguish between metastable and stable equilibrium states. A body in a metastable state may not return to it after a sufficient deviation. » .
Fluide de van der Waals
Les travaux classiques considèrent l’énergie extensive comme fonction convexe de ses arguments : volume, masse et entropie. L’originalité de notre travail est portée sur la considération d’une énergie extensive non nécessairement convexe. Un exemple fameux d’une telle loi est la loi d’état de van der Waals. On présente dans ce chapitre alors toutes les propriétés de cette loi qui seront utilisées dans les chapitres qui suivent. On donne d’abord la représentation isotherme de l’équation d’état de van der Waals. Afin d’avoir une représentation plus lisible, on adimensionne cette loi pour définir une loi réduite isotherme. À une température fixée, la pression de van der Waals admet une zone de croissance en fonction du volume due au fait que l’énergie n’est pas tout le temps convexe. Cette zone est appelée zone spinodale et caractérise des états non physiquement admissibles. Un moyen de corriger cette non admissibilité est ce qu’on appelle la loi des aires égales de Maxwell [Cal85]. Toutefois, cette correction nous prive des états métastables qui sont le cœur de mon travail de thèse. À la fin de ce chapitre, on donne une représentation non isotherme de la loi d’état de van der Waals où on détaille le passage de la loi incomplète à la loi complète comme dans [Cal85]. On termine ce chapitre par l’étude de la loi complète de l’entropie spécifique de van der Waals et on représente les techniques de détermination des états métastables et la température critique dans le plan volume spécifique-énergie spécifique.
Thermodynamique d’un seul fluide
Représentation extensive
On considère un corps pur de masse M ≥ 0, de volume V ≥ 0 ayant une entropie S≥ 0. D’après le formalisme de Gibbs qui est un formalisme utilisé pour décrire l’équilibre thermodynamique [Cal85], un fluide est à l’équilibre thermodynamique si son énergie extensive est une fonction de sa masse M, son volume V et son entropie S. On définit alors cette énergie par :
E : (M, V, S) → E(M, V, S).
Cette fonction est définie sur le cone C défini par
C = {(M, V, S) tel que M ≥ 0, V ≥ 0 et S ≥ 0}.
Les quantités M, V , S et E sont dites extensives. On dit qu’ une variable est extensive si sa variation est liée proportionnellement à la variation du volume V . Par exemple, si on fait doubler le volume du système alors sa masse ainsi que son énergie seront aussi doublés. Pour ce fait, le volume V , l’énergie E, l’entropie S et la masse M du tel système sont des variables extensives. Au sens mathématique cela signifie qu’une telle variable est une fonction positivement homogène de degré 1 notée P H1. C’est à dire une fonction qui vérifie la définition suivante :
Definition 2 (Fonction PH1.). Soient E et F deux espaces vectoriels sur Rn et R respectivement. On dit qu’une fonction f de E dans F est positivement homogène de degré 1 si
∀λ > 0, ∀x ∈ E, f(λx) = λf(x).
Plus généralement, si f satisfait l’expression
∀λ > 0, ∀x ∈ E, f(λx) = λα f(x).
pour un certain α ≥ 0, on dit alors que f est positivement homogène de degré α.
Les fonctions positivement homogènes vérifient le théorème suivant, dont la preuve est donnée dans [Roc97].
Représentation isotherme
Dans ce qui suit, on se restreint à une représentation isotherme. Pour cela on fixe T = ∂E/∂S ce qui nous permet de décrire le fluide par sa masse M ≥ 0 et son volume V ≥ 0. La température T est considérée ici comme un paramètre. À l’équilibre thermodynamique, le fluide est alors décrit par son énergie libre de Helmholtz, notée par F, fonction de sa masse M et son volume V :
F : (M, V ) → F(M, V ). (3.28)
Par définition, l’énergie libre de Heltmhotz est la transformée de Legendre partielle de l’énergie interne E. À une température T fixée, l’énergie F est une fonction définie sur l’ensemble convexe
C1 = {(M, V ) tel que M ≥ 0 et V ≥ 0}.
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Table des matières
INTRODUCTION
1 Introduction générale
I Partie I : thermodynamique
2 Introduction à la partie I
3 Fluide de van der Waals
3.1 Introduction
3.2 Thermodynamique d’un seul fluide
3.2.1 Représentation extensive
3.2.2 Représentation intensive
3.2.3 Représentation isotherme
3.3 Loi d’état de van der Waals
3.3.1 Histoire de cette loi
3.3.2 Représentation isotherme
3.3.3 Prise en compte de la température T
3.4 Conclusion
4 Équilibre thermodynamique d’un système composé de I sous-systèmes
4.1 Introduction
4.2 Équilibre thermodynamique d’un système composé de I sous systèmes
4.2.1 Théorème de Carathéodory et ses applications
4.2.2 Lien entre le théorème de Carathéodory et la règle des phases
4.3 Lien entre l’enveloppe convexe et la fonction biconjuguée
4.3.1 Caractérisation du nombre de phases possible pour la loi d’état de van der Waals
4.4 Problème d’optimisation isotherme
4.5 Conclusion
5 Modélisation isotherme
5.1 Étude du problème d’optimisation et caractérisation des états d’équilibre
5.2 Construction des systèmes dynamiques
5.2.1 Système dynamique en τ1 et τ2
5.2.2 Résultats numériques pour le système dynamique en r = (τ1, τ2) t
5.2.3 Système dynamique en fraction massique et écart des volumes
5.2.4 Résultats numériques sur le système dynamique en r = (ϕ, ∆τ ) t
5.2.5 Système dynamique en fraction massique et volumique
5.2.6 Résultats numériques sur le système dynamique en fractions
5.3 Conclusion
6 Modélisation avec changement de température
6.1 Introduction
6.2 Étude du problème d’optimisation
6.3 Systèmes dynamiques
6.3.1 Un système dynamique en fractions (α, ϕ, ξ)
6.3.2 Approximations numériques pour le système dynamique en fractions (α, ϕ, ξ)
6.3.3 Un système dynamique en (ϕ, ∆τ, ∆e)
6.3.4 Approximation numérique pour le système en (ϕ, ∆τ, ∆e)
6.4 Conclusion
7 Conclusion de la partie I
II Couplage avec la dynamique des fluides
8 Introduction pour la partie II
8.1 Quelques rappels
8.2 Plan de cette partie
9 Problème de Riemann pour le p-système
9.1 Introduction
9.2 Hyperbolicité du p-système et critère de Liu
9.3 Ondes simples
9.3.1 Ondes simples de vitesses négatives
9.4 Ondes multiples
9.4.1 Paramétrisation des ondes négatives
9.4.2 Ondes multiples positives
9.5 Existence et unicité de solution du problème de Riemann
9.6 Conclusion
10 Ondes progressives
10.1 Le p-système et systèmes étendus
10.1.1 Le p-système et ses profils de choc
10.1.2 Choix de termes sources de relaxation pour le p-système
10.2 Le p-système relaxé en (Qτ1 , Qτ2)
10.2.1 Méthode d’ondes progressives
10.3 Le p-système relaxé en (Qα, Qϕ)
10.3.1 Méthode d’ondes progressives
10.4 Conclusion
11 Application à un système d’équations d’Euler isotherme
11.1 Modèle homogène isotherme en (α, ϕ)
11.1.1 Dérivation du modèle
11.1.2 Propriétés du modèle homogène
11.1.3 Structure des ondes
11.1.4 Approximation numérique
11.1.5 Approximation par splitting et traitement de la relaxation
11.1.6 Résultats numériques
11.2 Modèle homogène isotherme en (α, ∆ρ)
11.2.1 Propriétés du modèle homogène
11.2.2 Approximation numérique avec relaxation non instantanée
11.2.3 Résultats numériques avec relaxation non instantanée
11.2.4 Méthode de relaxation instantanée .
11.2.5 Technique de projection
11.2.6 Résultats numériques pour la relaxation instantanée
11.3 Conclusion
12 Application à un système d’équation d’Euler non isotherme
12.1 Introduction
12.2 Un modèle de relaxation homogène
12.2.1 Dérivation du modèle
12.2.2 Potentiels de mélanges thermodynamiques
12.3 Propriétés du modèle de relaxation homogène
12.3.1 Hyperbolicité
12.3.2 Structure des ondes
12.4 Approximation numérique
12.4.1 Résultats numériques
12.5 Conclusion
13 Conclusion de la partie II
14 Conclusion générale et perspectives
CONCLUSION
Bibliographie
