MODELISATION DE TRAJECTOIRES

MODELISATION DE TRAJECTOIRES

MODELISATION GEOMETRIQUE EN CAO

Vers les années 1960, que sont apparus les premières fonctionnalités et les premiers logiciels permettant de modéliser des pièces. Ils étaient conçus pour des applications particulières parmi lesquelles on trouvait l’usinage. A l’époque, quatre grands domaines ont influencé la modélisation géométrique Ce sont : -l’apparition des première machines outils à commande numérique (CN) dans les années 1950 Le besoin de développer des langages permettant de définir la géométrie de la pièce et de définir les trajectoires d’outils est apparu immédiatement et a donné naissance au langage de programmation APT: -les machines outils à CN furent d’abord utilisées dans les industries de l’armement, de l’aviation et de l’automobile, qui avaient de gros besoins de représentation de surfaces gauches. Les techniques de modélisation surfacique ont alors été développées par P. Bézier, S A Coons, W.J. Gordon, D.R. Ferguson, P. Decasteljau, etc.

En Europe des sociétés comme Renault et Citroën ont été les pionnières dans ces développements ; -à cette même époque. Les systèmes de visualisation graphique ont fait leur apparition. Les premiers algorithmes d’éliminations de parties cachées de formes définies par un ensemble de faces planes ont été publiés [ROB 63]. Du côté applicatif, la disponibilité d’outils graphiques a engendré le développement des premier systèmes de dessin 2D ; -La méthode des éléments finis (FEM) a également conduit à des développement dans les domaines de la modélisation géométrique. Les premiers systèmes de CAO étaient simplement des tables à dessiner électroniques, ils ne fournissaient que des fonctionnalités de dessin 2D. Lorsque l’on a voulu passer du 2D au 3D, on s’est aperçu que ce passage était beaucoup plus complexe que l’ajout d’une troisième dimension au dessin. En 2D interprétation de la géométrie est relativement simple et il est facile de vérifier « de visu » la cohérence de la géométrie. En 3 dimensions c’est beaucoup plus difficile, entre autre parce que les système de visualisation sont seulement 2D.

On a alors cherché à développer des systèmes de modélisation 3D exploitables. Les techniques, déjà utilisées pour les lignes et les surfaces cachées, ont contribué au développement des systèmes de modélisation solide vers les années 1970. Un des objectifs essentiel de ce type de modélisation est de ne pas permettre la création de solides incohérents. Les recherches se sont orientées selon deus grandes directions : -la représentation par frontière (BREP) basée sur des modèles constitués de facettes planes, ou d’éléments de surface définis par des quadriques ou des surfaces toroïdales [BAU 75] ; -la modélisation par arbre de construction (CSG) consistant à caractériser la géométrie par un ensemble fini d’opérations booléennes appliquées à des semi espaces définis par des inégalités [REQ 77] ; On pensait alors que dès que ces techniques seraient bien au point, elles remplaceraient rapidement les systèmes de dessin utilisés en conception. Malheureusement, ça n’a pas été tout a fait le cas.

Aujourd’hui encore, de nombreuses applications sont basées sur le dessin 2D. En revanche, modélisation solide BREP et modélisation surfacique ont quasiment fusionné. Un autre développement significatif a été l’introduction des Non Uniform Rational B-Spline (NURBS), technique qui permet d’harmoniser la représentation de toutes les courbes et surfaces utilisées en CAO (droites, coniques, courbes gauches). A partir des années 1975, la nécessité d’intégrer CAO et FAO a fait émerger le concept d’entité d’usinage. C’est essentiellement le désir de faire de manière automatique de la génération de gamme d’usinage qui est à l’origine de ce concept. Quelques chercheurs ont travaillé sur la reconnaissance automatique d’entités [GRA 77]. D’autres ont introduit la conception par entités. Le concept d’entité a alors dépassé le cadre de l’usinage pour s’étendre à tous les domaines de la conception.

Suivant le type de modélisation géométrique utilisé, les traitements que l’on va pouvoir leur appliquer sont différents. Certains modèles sont inutilisables ou très mal adaptés à certaines applications, d’autres modèles nécessitent une forte intervention de l’opérateur qui doit interpréter la géométrie et fournir des informations complémentaires à l’application afin qu’elle s’exécute correctement, enfin quelques modèles sont conçus pour que des applications puissent s’exécuter de manière automatique avec une interaction humaine faible ou même nulle. Dans les paragraphes suivants, nous allons nous pencher de manière plus précise sur les quatre grands types de modélisation géométrique, à savoir : -les modèles graphiques, surtout orientés vers la réalisation de dessins et de plans. Ils nécessitent une forte interprétation humaine ; -les modèles surfaciques tournés vers la définition et la fabrication de formes sculptées. Nous présenterons la modélisation de courbes, puis de surfaces gauches ; -les différents modèles solides dont l’objectif est de mémoriser complètement la géométrie tridimensionnelle d’un objet physique dans le but de fournir des fonctionnalités et des traitements automatiques de haut niveau que ne possèdent pas les modèles précédents ; -la modélisation par entité qui aujourd’hui n’est encore qu’une extension de la modélisation solide. Il existe d’autres modèles plutôt orientés vers la retouche d’images ou d’autres applications équivalente. Nous ne les abordons pas car ils ne présentent que peu d’intérêt pour la CAO-FAO. [1]

REPRESENTATION PARAMETRIQUE DES SURFACES GAUCHES

La géométrie vectorielle dans la modélisation mathématique a été introduite par J.C Ferguson en 1960, bien qu’elle fût formulée en siècle précédent. Les points d’une courbe (ou d’une surface) sont repérés par une fonction vectorielle dépendant d’un paramètres t (deux paramètres sont généralement utilisés dans le cas d’une surface). Ainsi le vecteur position d’un point P(t) appartenant à un segment paramétré en t, défini par deux points et , s’écrit : P(t) = + 0 ≤ t ≤ 1 (1.1) Les points et constituent les points contrôle et les fonctions d’une seule variable et correspondent à des fonctions d’interpolation (blending functions). Un segment de courbe cubique de Ferguson nécessite, en plus de la position des deux points extrémités les vecteurs tangents en ces points par un assemblage successif des différents segments une courbe 3D est ainsi générée. Quatre sommets d’un quadrilatère sont nécessaires pour définir un morceau (patch) d’une surface représentée sur la figure 1.1. Les surfaces s’obtiennent également par un assemblage de ces différents morceaux. Les fonctions d’interpolation qui permettent de construire des segments et des morceaux de surface de Ferguson sont les fonctions d’interpolation d’Hermite qui sont une généralisation des fonctions d’interpolation de la grange. Ce sont des polynômes de degré 3 de la forme suivante :

EQUATIONS PARAMETRIQUES ET EQUATIONS IMPLICITES

Les deux méthodes les plus couramment utilisées pour représenter des courbes et des surfaces sont les formes paramétriques et les équations implicites. Les équations implicites sont définies par une équation algébrique liant les coordonnées des points de la géométrie. L’exemple le mieux connu est l’équation implicite des coniques contenues dans le plan ( ), équation de second degré en et en : (1.4)

Les avantages et inconvénients de chacune de ces méthodes ne permet pas à l’une d’elle de surclasser l’autre. Il arrive parfois qu’une combinaison de ces deux méthodes s’avère nécessaire à une modélisation géométrique (Frain (1992)). On peut néanmoins dégager les principales propriétés. Ainsi, une courbe 3D s’obtient aisément en exprimant les coordonnées x ( ), y ( ), z ( ) d’un point P ( ) par des fonctions de la variable u. Dans une représentation, une courbe 3D est définie par l’intersection de deux surfaces et nécessite donc plus d’informations à stocker et à traiter. De plus, il faut des équations supplémentaires pour définir les bornes ou les frontières d’une géométrie sous forme implicite tandis qu’il n’en faut aucune avec une forme paramétrée. Les bornes du domaine de paramétrisation délimitent la géométrie.

Par contre, une géométrie non-bornée (ex : une ligne droite infinie) s’exprime difficilement sous forme paramétrée. Par ailleurs, la paramétrisation introduit un sens de parcours des courbes et des surfaces, orientation liée aux axes réels des paramètres contrairement aux équations implicites. Cette propriété s’avère utile pour sonder ou discrétiser une géométrie par une suite régulière de points. Également, la complexité des opérations ou des manipulations sur la géométrie dépend fortement de la méthode de représentation. Évaluer un point sur une courbe ou surface implicite peut se ramener à résoudre une équation algébrique aussi solutions non-triviales. Déterminer si un point appartient ou pas à une courbe ou surface paramétrée fait appel à des processus itératif onéreux.

Table des matières

REMERCIEMENTS
DEDICACES
RESUME
TABLE DES MATIERES
LISTE DES FIGURES
LISTE DES TABLEAUX
INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 MODELISATION GEOMETRIQUE EN CAO
1.1 INTRODUCTION
1.2 REPRESENTATION PARAMETRIQUE DES SURFACES GAUCHES
1.3 REPRESENTATION PARAMETRIQUE UTILISANTS LES NURBS
1.3.1 EQUATIONS PARAMETRIQUES ET EQUATIONS IMPLICITES
1.3.2 PROPRIETES RECHERCHEES POUR LES FONCTIONS
D’INTERPOLATION (‘BLENDING FUNCTIONS’)
1.3.3 FONCTIONS DE BASE B-SPLINES
1.3.3.1 DEFINITION D’UNE B-SPLINE
1.3.3.2 DERIVEES DES B-SPLINES
1.3.4 CLASSES DES FONCTIONS POLYNOMIALES RATIONNELLES
1.3.5 DEFINITION D’UNE SURFACE NURBS
1.4 LES MODELES GRAPHIQUES
1.4.1 LES MODELES GRAPHIQUES 2D
1.4.2 PRIMITIVES GRAPHIQUES ASSOCIATIVES ET DESSIN PARAMETRE
1.4.3 LES MODELES GRAPHIQUES 3D
1.5 LES MODELES SURFACIQUES
1.6 CONCLUSION
CHAPITRE 2 TRAJECTOIRES DE L’OUTIL
2.1 INTRODUCTION
2.2 ANALYSE DE L’INTERPOLATION DE LA TRAJECTOIRE
2.2.1 PRINCIPE
2.2.2 TRANSFORMATION DE COORDONNEES
2.3 PLANIFICATION DES TRAJECTOIRES D’OUTIL
2.3.1 TOLERANCES SUR LA SUREPAISSEUR DE FINITION
2.3.2 TRAJECTOIRES DE CONTOURNAGE
2.3.3 TRAJECTOIRES D’EVIDEMENT
2.4 GEOMETRIE DU TRAJET ISOCRETE
2.5 GENERATION DE TRAJECTOIRES
2.5.1 SURFACE D’USINAGE EN GENERATION DE TRAJECTOIRES
2.5.2 GENERATION DE TRAJECTOIRES: MODELE CAO VERS MODELE FAO
2.5.2.1 GESTION DES ECARTS GEOMETRIQUES
2.5.2.2 COMPLEXITE GEOMETRIQUE DES SURFACES
2.5.3 GENERATION DU TRAJET DE TREFLAGE
2.6 ETUDE COMPARATIVE DES DIFFERENTES METHODES
2.6.1 DISCRETISATION DE LA METHODE DE LA SU
2.6.2 TRAITEMENT DES DISCONTINUITES EN COURBURE
2.7 DETECTION DES INTERFERENCES LORS DE LA GENERATION DES TRAJETS OUTIL
2.7.1 GENERATION DES TRAJETS PAR LA METHODE CARTESIENNE
2.7.2 GENERATION DE TRAJECTOIRE PAR LA METHODE POLYEDRIQUE
2.7.3 GENERATION DES TRAJECTOIRES PAR LA METHODE APT
2.7.3.1 APERÇU
2.7.3.2 EXEMPLE DE PROGRAMME
2.7.4 GENERATION DES TRAJECTOIRES PAR LA METHODE OFFSET
2.8 CALCUL DES TRAJECTOIRES D’USINAGE
2.8.1 CALCUL DE LA POSITION DU CENTRE DE L’OUTIL
2.8.2 GESTION DES INTERFERENCES ET RECHERCHE DES DISCONTINUITES
2.8.3 CONSTRUCTION D’UNE PASSE D’USINAGE
2.8.4 CONSTRUCTION DU TRAJET D’USINAGE
2.9 CORRECTION DE TRAJECTOIRESD’OUTIL
2.9.1 INTRODUCTION
2.9.2 TRAJECTOIRES DE L’OUTIL DANS UNE AVANCE D’USINAGE
2.9.3 CORRECTION DE TRAJECTOIRES D’OUTIL INACTIVE
2.9.4 CORRECTION DE TRAJECTOIRES D’OUTIL ACTIVE
2.9.5 SYSTEME DE COMPENSATION MISE EN OEUVRE
2.9.5.1 PRINCIPE GENERAL
2.9.5.2 GENERATION DE TRAJECTOIRES D’OUTIL COMPENSEE
2.10 CONCLUSION
CHAPITRE 3 MODELISATION DE TRAJECTOIRES
3.1 INTRODUCTION
3.2 ETUDE COMPARATIVE
3.2.1 TRAJECTOIRE AXIALE
3.2.2 TRAJECTOIRE PAR INTERPOLATION
3.2.3 INTERPRETATION DES RESULTATS
3.3 IMPACT DU CHANGEMENT DE DISTANCE SUR IT
3.3.1 DISTANCE DE 20 MM
3.3.2 DISTANCE DE 30 MM
3.3.3 DISTANCE DE 50 MM
3.3.4 DISTANCE DE 80 MM
3.3.5 DISTANCE DE 100 MM
3.3.6 INTERPRETATION DES RESULTATS
CHAPITRE 4 PRESENTATION DE L’OUTIL DEVELOPPE
4.1 INTRODUCTION
4.2 ORGANIGRAMME DE L’OUTIL DEVELOPPE
4.3 PRESENTATION DE L’OUTIL DEVELOPPE
4.4 CHOIX DE TRAJECTOIRES
4.5 TRAJECTOIRE AXIALE
4.6 TRAJECTOIRE PAR INTERPOLATION
4.7 CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE
REFERENCES

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