MODELISATION DE L’EFFET MAGNETOELECTRIQUE

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METHODE DES ELEMENTS FINIS

La méthode des éléments finis est une méthode les plus utilisées aujourd’hui pour résoudre effectivement les équations (mécanique des solides et des fluides, thermique, électromagnétique,……). C’est une méthode très générale qui s’applique à la majorité des problèmes rencontrés dans la pratique : problèmes stationnaires ou non stationnaires, linéaires ou non linéaires, définis dans un domaine géométrique quelconque à une, deux ou trois dimension. De plus elle s’adapte très bien aux milieux hétérogènes souvent rencontrés dans la pratique. La méthode exige en effet des connaissances dans des domaines variés. Généralement, les différentes étapes d’analyse d’un problème physique peuvent schématiser par la figure 2-1.
Pour simplifier, les questions essentielles auxquelles il faut répondre si l’on veut effectuer une analyse par un modèle numérique sont les suivantes :
– quel modèle mathématique utilisé ?
– quel modèle numérique faut-il lui associé ?
– quelle est l’erreur d’approximation ?
– peut-on améliorer le modèle numérique ?
– doit-on changer le modèle mathématique ?
– et ainsi de suite

Méthodes d’approximation :

Pour discrétiser les modèles complexes de phénomènes physiques, on dispose de méthodes d’approximation permettant de résoudre la plupart des problèmes.
Toutes les méthodes d’approximation ont un même objectif, à savoir remplacer un problème mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équations matricielles) de dimension finie que l’on sait résoudre numériquement.
Il est à remarquer qu’un problème physique peut être formulé de façon équivalente en un système d’équations différentielles ou sous une formulation varitionnelle.
Par intégration par parties qui fournit des formes intégrales dites faible, cette expression est transformée en une somme d’intégrales sur le contour de chaque élément : ∑∫ ……=0 (2-8) Ω
L’expression de chaque intégrale se divise en deux parties :
• La partie conforme telle que son intégrale sur chaque côté de l’élément ne fasse intervenir que les variables nodales du côté considéré ;
• La partie non conforme telle que son intégrale sur chaque côté de l’élément ne fasse intervenir des variables nodales qui n’appartiennent pas au côté considéré
L’expression de chaque intégrale se divise en deux parties :
• La partie conforme telle que son intégrale sur chaque côté de l’élément ne fasse intervenir que les variables nodales du côté considéré ;
• La partie non conforme telle que son intégrale sur chaque côté de l’élément ne fasse intervenir des variables nodales qui n’appartiennent pas au côté considéré.

Approximation nodale :

Un modèle mathématique d’un système physique fait intervenir plusieurs variables ou fonctions dites exactes Uex ( ) : température, vitesses, épaisseur, etc. Celles-ci sont représentées par des fonctions « approchées » ( )

Élément de référence :

De manière à simplifier la définition analytique des éléments de forme complexe, on introduit la notion d’élément de référence: un élément de référence Ω est un élément de forme très simple, repéré dans un espace de référence, qui peut être transformé en chaque élément réel Ω par une transformation géométrique . Considérons le cas d’un triangle.

Principe des travaux virtuels (PTV) :

L’intérêt de ces principes est de fournir directement la forme intégrale sans avoir à passer par les équations aux dérivées partielles comme dans le cadre des méthodes variationnelles Le principe concerne donc pour tout déplacement virtuel à tout instant = du système matériels D en mouvement par rapport à un repère galiléen,

Etapes caractéristiques d’un programme d’éléments finis :

La résolution des problèmes par éléments finis est basée sur quelques blocs fonctionnels Le tableau montre l’étape de ces différents blocs.

Maillage 2D :

Les maillages 2D permettent de partitionner un espace plan en un ensemble des éléments carrés à 4, 8 ou 9 nœuds, ce qui permet alors de passer d’un espace continu à un espace discret. Ceci pourra être utilisé par exemple en informatique graphique et en conception assistée par ordinateur pour représenter et manipuler des objets tridimensionnels. On peut également utiliser un maillage pour approximer une fonction dont on ne peut pas connaître une forme analytique : c’est notamment le cas pour la résolution de certaines équations différentielles.
L’étude mécanique étudier est un problème élastique linéaire stationnaire (poutre en fer) de longueur L et d’épaisseur c.
L’étude mécanique étudier est un problème élastique linéaire stationnaire (poutre en fer) de longueur L et d’épaisseur c.

Utilisation de logiciel éléments finis :

Un programme général de type industriel doit être capable de résoudre des problèmes variés de grandes tailles (de mille à quelques centaines de milliers de variables). Ces programmes complexes nécessitent un travail d’approche non négligeable avant d’espérer pouvoir traiter un problème réel de façon correcte. Citons à titre d’exemple quelques noms de logiciels : ANSYS, COMSOL, FEMLAB, etc. Les possibilités offertes par de tels programmes sont nombreuses :
– analyse linéaire ou non d’un système physique continu ;
– analyse statique ou dynamique ;
– prise en compte de lois de comportement complexes ;
– prise en compte de phénomènes divers (élasticité, thermiques, électromagnétiques, de plasticité, d’écoulement. . .) pouvant être couplés ;
– problèmes d’optimisation, etc.
L’utilisation de tels programmes nécessite une formation de base minimale.
• Déroulement d’une étude :
Pour réaliser une étude par éléments finis, il faut que les objectifs de l’étude soient bien définis. Le cadre de l’étude, c’est-à-dire le temps et les moyens disponibles, doit être compatible avec les objectifs et la précision cherchée. Supposons toutes ces conditions remplies, l’étude proprement dite est organisée de façon logique selon les étapes suivantes :
• Analyse du problème :
Cette analyse doit fixer les paramètres du calcul et conduire à la réalisation d’un maillage. Cette phase basée sur l’expérience personnelle acquise dépend de nombreuses considérations. La difficulté essentielle est de trouver un bon compromis entre les paramètres propres au problème et ceux relatifs à l’environnement de travail. L’analyse du problème nous conduit à préciser un certain nombre d’hypothèses, et à effectuer des choix qui conditionnent les résultats.
• Choix du modèle :
En calcul des structures, les plus classiques sont de type : poutre, élasticité plane, axisymétrique, coques mince ou épaisse, tridimensionnel. . . À ces modèles mathématiques correspondent des familles d’éléments finis.
• Choix du type d’éléments :
Il est fonction de la précision voulue, de la nature du problème, mais aussi du temps disponible.
On choisira les éléments les mieux adaptés dans les familles disponibles.
• Choix du maillage :
Il dépend essentiellement de la géométrie, des sollicitations extérieures, des conditions aux limites à imposer, mais aussi des informations recherchées : locales ou globales. Sans oublier bien entendu le type d’outils dont on dispose pour réaliser ce maillage.
• Hypothèses de comportement :
Quel modèle retenir pur représenter le comportement du matériau. Le calcul est-il linéaire ? Doit-on modéliser l’amortissement ? Si le matériau est hétérogène ou composite, peut-on utiliser une méthode d’homogénéisation ? Peut-on traduire l’incompressibilité du milieu ?
Lors d’une étude, on peut être amené à utiliser des éléments finis nouveaux. Il est indispensable de vérifier leur comportement sur des problèmes élémentaires si possible proches de l’étude menée. Ces cas tests permettent de comparer la solution obtenue avec d’autres solutions numériques ou analytiques.
Ce travail préliminaire est utile pour former sa propre expérience et permet de valider l’utilisation du modèle testé.
• Création et vérification des données :
Cette étape dépend du logiciel utilisé. La syntaxe utilisée pour définir le jeu de données est définie dans le mode d’emploi du bloc fonctionnel correspondant. En sortie, un fichier est créé, qui contient toutes les informations nécessaires à l’exécution des calculs. Les vérifications relatives au jeu de données se font généralement graphiquement, grâce à un module informatique appelé pré-processeur.
Différents contrôles peuvent être utilisés pour valider le jeu de données :
– vérification de la géométrie de la pièce et du maillage
– vérification de la prise en compte des sollicitations et des conditions cinématiques (liaisons) imposées à la structure ;
– vérification des propriétés mécaniques utilisées
• Exécution du calcul :
Ce bloc, le plus coûteux en temps machine est souvent exécuté en tâche de fond. Un fichier de résultats permet de vérifier que les différentes phases de calculs se sont correctement déroulées:
– interprétation des données, vérification des paramètres manquants ;
– construction des matrices, espace utile pour les gros problèmes ;
– singularité de la matrice raideur, problème de conditions aux limites ou de définition des éléments;
– convergence, nombre d’itérations, etc.
• Exploitation des résultats :
Les calculs demandés dans le cahier des charges ont le plus souvent pour objectif de valider ou de vérifier le dimensionnement d’une structure. Les résultats obtenus et les conclusions relatives aux phénomènes à étudier devront être présentés de façon synthétique : tableaux, courbes, visualisation. Cela justifie largement l’utilisation d’un post-processeur, qui propose des outils pour sélectionner les informations que l’on veut étudier.

Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE I : ETAT DE L’ART SUR L’EFFET MAGNETOELECTRIQUE
1. Définitions
a. Effet magnétoélectrique intrinsèque
b. Effet magnétoélectrique extrinsèque :
c. Couplage magnétomécanique
d. Couplage électromécanique
2. Matériaux ferromagnétiques
a. Domaines et paroi magnétiques
b. Première aimantation
c. Courbe de première aimantation et courbe anhystérétique
d. Hystérésis magnétique
e. Qualité d’aimantation des matériaux ferromagnétiques
f. Effets de la contrainte mécanique sur l’aimantation
3. Matériaux ferroélectriques
a. Processus de polarisation
b. Effets de la contrainte mécanique sur la polarisation électrique:
4. Matériaux actifs du génie électrique
a. Matériaux magnétostrictifs
b. Applications des matériaux magnétostrictifs
c. Matériaux piézoélectriques
d. Applications des matériaux piézoélectriques
e. Comparaison entre les matériaux magnétostrictifs et piézoélectriques
5. Applications des matériaux composites ME
a. Capteur magnétique
b. Transformateur magnétoélectrique
c. Inductance variable
CHAPITRE II : METHODE DES ELEMENTS FINIS
1. Méthodes d’approximation
a. Méthode des résidus pondérés
b. Méthode Galerkin
c. Méthode variationnelle
2. Approximation nodale
3. Bases polynomiales complètes
4. Élément de référence
a. Elément triangulaire à trois noeuds
b. Elément quadrilatéral isoparamétrique à quatre noeuds
c. Formes d’éléments de référence classique
5. Propriétés des fonctions de formes N d’un quadrilatère linéaire
6. Dérivées premières
7. Dérivées secondes
8. Transformation d’une intégrale
9. Formulation variationnelle
10. Principe des travaux virtuels (PTV)
11. Etapes caractéristiques d’un programme d’éléments finis
12. Transformation intégrale des matrices élémentaires
13. Elasticité linéaire a deux dimensions
14. Maillage 2D
15. Utilisation de logiciel éléments finis
16. Organigramme d’un logiciel éléments finis
CHAPITRE III : MODELISATION DE L’EFFET MAGNETOELECTRIQUE
1. Equations d’équilibres
a. Equations d’équilibre électromagnétiques
b. Equations d’équilibres mécaniques
2. Loi de comportement
a. Comportement électromagnétique
b. Comportement mécanique
3. Formulation du couplage magnétoélectrique par une approche thermodynamique
a. Loi de comportement piézoélectrique
b. Loi de comportement magnétostrictif
c. Loi de comportement du couplage magnétoélectrique
d. Approximation de Galerkin du modèle piézoélectrique
4. Le logiciel COMSOL
a. Présentation du logiciel COMSOL
b. Construction d’un modèle dans COMSOL
c. Procédure pour la modélisation
5. Validation des modèles
a. Validation du modèle magnétostrictive
b. Validation du modèle magnétoélectrique
CHAPITRE IV : APPLICATION DE L’EFFET ME A UN DISPOSITIF A BASE DE MATERIAUX ACTIFS
1. Inductance Variable
a. Description du dispositif
b. Courants de Foucault
2. Procédure de simulation
a. Modèle 3D de l’inductance
b. Maillages de la structure
c. Critère de convergence
d. Résultats après lancement du calcul
e. Discussion des résultats
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXE A
ANNEXE B
ANNEXE C

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