Soutenance mémoire
Définitions et modèle des données
Comme évoqué précédemment, dans les applications de traitement de signal on s’intéresse très souvent à la distribution des données reçues. De manière très générale, les données sont modélisées par des vecteurs complexes z de taille M, z ∈ CM :
z = s + n (1.1)
avec s le signal cible (ici considéré comme déterministe) et n le bruit additif (aléatoire) résultant de fluctuations de mesures ou servant à rendre compte des incertitudes de modèle. Selon l’application, diverses hypothèses sont faites sur ces deux quantités. Nous pouvons citer quelques exemples :
– Détection : Le problème de détection est de dire si oui ou non, un signal d’intérêt s est présent dans la mesure z.
– Estimation de paramètres du signal : dans ce type d’application, on dispose d’un modèle sur le signal s, généralement dépendant d’un vecteur de paramètres θ et noté s(θ). Le problème est alors de retrouver ces paramètres au travers de mesures de s corrompue par le bruit n.
– Estimation de paramètres du bruit : dans cette application, c’est le bruit n qui dépend des paramètres θ et est noté n(θ). Le problème est alors de retrouver ces paramètres au travers d’observations du bruit n. Dans ce cas de figure, on considère le plus souvent qu’aucun signal ne vient perturber la mesure de ce bruit, soit s = 0.
Avant d’aller plus loin, la section suivante définira quelques termes généraux dont nous aurons besoin pour poursuivre. Nous en profiterons pour poser dès à présent quelques hypothèses sur les types de signaux que nous considérerons au cours de cette thèse.
Définitions générales
Définition 1.1.2.1 Moyenne
La moyenne µ de la variable aléatoire considérée z est définie comme son espérance mathématique :
µ = E(z) (1.3)
elle est aussi appelée moment d’ordre 1, ou statistique d’ordre 1.
Dans de nombreuses applications la moyenne de la variable aléatoire observée est tout simplement considérée comme nulle : µ = 0. C’est d’ailleurs l’hypothèse que nous ferons tout au long de cette thèse car elle est vérifiée dans de nombreux cas pratiques, notamment pour les signaux ondulatoires (ondes sonores, électromagnétiques . . .). Cette hypothèse est aussi équivalente à celle de la moyenne connue, qui amène alors à considérer directement la variable recentrée z’ = z − µ. Cependant, notons tout de même que les extensions de résultats au cas de la moyenne non nulle ne sont pas toujours évidents et nécessitent un travail particulier [39].
Nous avons évoqué précédemment, les statistiques du second ordre des données reçues. De manière plus concrète, il s’agit de la matrice de covariance et de la matrice de pseudo-covariance. Avec ces deux paramètres, on est en mesure de décrire complètement les statistiques du second ordre d’un vecteur aléatoire complexe.
La circularité du second-ordre est une hypothèse très souvent exploitée en traitement de signal. En effet, le bruit additif est sans trop d’erreur, communément modélisé par une distribution circulaire. De plus, de nombreux signaux complexes synthétisés en communication sans fil ou en traitement d’antenne ont des propriétés de symétrie circulaire. Dans ce document, les signaux seront toujours considérés comme circulaires. Pour se rapprocher des termes habituellement utilisés, nous utiliserons d’ailleurs simplement le terme de « circularité » lorsqu’il s’agit de circularité du second-ordre. Afin de ne rien négliger, notons toutefois qu’il existe de nombreux exemples de signaux noncirculaires dans la littérature [103]. Prendre en compte cette non-circularité peut permettre d’améliorer considérablement les performances dans certaines applications .
Le cas particulier des gaussiennes composées (CG)
La famille des gaussiennes composées (notée CG pour Compound Gaussian) forme une sous-classe importante des distributions CES. En effet, beaucoup de distributions CES classiques font partie de cette famille, mais pas toutes [88, 128]. Ces distributions, aussi appelée SIRVs [127], pour Spherically Invariant Random Vectors, ont beaucoup été étudiées par la communauté de Traitement du Signal, notamment en Radar [113, 51, 28, 32, 45]. L’idée principale est d’améliorer la modélisation du milieu en considérant que celui ci est localement gaussien, mais qu’il présente une variabilité spatiale de puissance, due par exemple, aux hautes résolutions.
Quelques exemples de distributions complexes elliptiques symétriques
Cette section donne quelques exemples de distributions CES. Bien sûr, nous ne détaillerons pas toutes les lois pouvant être couvertes par cette formalisation. On notera cependant que de nombreuses distributions usuelles sont incluses dans cette famille, par exemple : la loi normale, la loi de Laplace, la loi de Student t, la loi de Weibull, la loi de Cauchy. . . L’expression de ces lois sous forme de distributions CES ou de CG (ainsi que d’autres exemples) peut se trouver dans la synthèse [84].
Estimation de la matrice de covariance
Nous introduisons dans cette section le problème majeur considéré dans cette thèse: l’estimation de la matrice de covariance. Ce problème est fondamental et apparaît dans de nombreuses applications. En effet, la plupart du temps, la matrice de covariance du signal est inconnue et doit donc être estimée en vue d’effectuer les traitements voulus. Classiquement, on dispose de K échantillons zk, k ∈ [[1, K]], appelées aussi données secondaires, que l’on assume indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et ayant une statistique d’ordre 2, Σ (covariance ou dispersement), inconnue. Le problème est alors d’estimer la vraie matrice Σ au travers de ces observations. L’estimateur, noté Σˆ , devant idéalement être le plus « précis » possible (selon un critère à définir).
Avant tout, effectuons un rappel des précédentes hypothèses (évoquées au cours des définitions) :
– Le moment d’ordre un de la distribution observée sera considéré comme nul (ou connu).
– Les signaux considérés sont circulaires à l’ordre 2, c’est à dire, ayant une matrice de pseudocovariance nulle.
– Nous nous limiterons aux distributions CES dont la densité de probabilité existe.
Les M-estimateurs
Les M-estimateurs ont été proposés comme estimateurs robustes de la matrice de covariance dans [74]. Beaucoup étudiés dans la littérature statistique pour le cas réel [55, 65, 115, 116, 117, 118, 75], leur extension au cas complexe a été notamment considéré dans [80, 89, 79, 84]. Ces estimateurs ont été un sujet de recherche très actif au cours des dernières années pour des applications de Traitement du Signal comme l’estimation de direction d’arrivée, la détection radar [32, 45, 71] ou hyperspectrale [40, 41, 39], l’analyse en composantes indépendantes [79], ainsi que de nombreuses autres applications telles que l’optimisation de protfolio [38].
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Table des matières
Introduction
1 Modélisation de bruit hétérogène et estimation de la matrice de covariance : état de l’art
1.1 Définitions et modèle des données
1.1.1 Modèle général
1.1.2 Définitions générales
1.2 Distributions de signaux
1.2.1 La distribution gaussienne
1.2.2 Les distributions complexes elliptiques symétriques (CES)
1.2.3 Le cas particulier des gaussiennes composées (CG)
1.2.4 Quelques exemples de distributions complexes elliptiques symétriques
1.3 Estimation de la matrice de covariance
1.3.1 Propriétés attendues des estimateurs
1.3.2 La Sample Covariance Matrix
1.3.3 La Normalized Sample Covariance Matrix
1.3.4 Le maximum de vraisemblance des distributions complexes elliptiques symétriques
1.3.5 Les M-estimateurs
1.3.6 Les Estimateurs Robustes Régularisés
1.4 Introduction de la problématique considérée
1.4.1 Estimation de matrice structurées
1.4.2 Matrices structurées rang faible
1.4.3 Estimation de covariance à structure rang faible : le cas gaussien
1.4.4 Estimation robuste de la matrice de covariance sous contrainte de structure rang faible : un problème ouvert
1.4.5 Estimation de la matrice de covariance en contexte hétérogène rang faible : problématique considérée dans cette thèse
1.5 Synthèse du chapitre 1
2 Estimation de la matrice de covariance en contexte hétérogène rang faible
2.1 Motivations
2.2 Modèle
2.3 Maximum de vraisemblance de la matrice de covariance du fouillis CG rang faible
2.4 Premier algorithme : 2-Step approché
2.4.1 Relaxation au travers de variables indépendantes dk r = τkcr
2.4.2 Description de l’algorithme et propriétés
2.4.3 Étape 1 : Estimation des textures et valeurs propres via régularisation des EMV {ˆdk r}
2.4.4 Étape 2 : Estimation du sous-espace fouillis pour textures et valeurs propres fixées
2.4.5 Dernière étape : Estimation de facteur d’échelle
2.5 Deuxième algorithme : 2-Step exact sous hypothèse de fort rapport fouillis à bruit
2.5.1 Seconde relaxation : hypothèse de fort rapport fouillis à bruit
2.5.2 Description et propriétés de l’algorithme
2.5.3 Étape 1 : Estimation des textures et valeurs propres grâce à la relaxation fort rapport fouillis à bruit
2.5.4 Étape 2 : Estimation du sous-espace fouillis pour textures et valeurs propres fixées
2.6 Algorithmes Majorization-Minimization
2.6.1 Motivations
2.6.2 Principe général des algorithmes MM par blocs
2.6.3 Algorithme MLE-MM1 – « direct block-MM »
2.6.4 Algorithme MLE-MM2 – « Eigenspace block-MM »
2.7 Simulations
2.7.1 Paramètres
2.7.2 Estimateurs considérés
2.7.3 Résultats
2.8 Synthèse du Chapitre 2
A Preuves du chapitre 2
A.1 Preuve du Théorème 2.3.1
A.2 Preuve du Théorème 2.4.1
A.3 Preuve du Théorème 2.5.1
B Article : Développement des Algorithmes MM1 et MM2
3 Estimation de projecteur sur le sous-espace fouillis en contexte hétérogène rang faible
3.1 Motivations
3.1.1 L’approximation rang faible et ses motivations
3.2 Relaxation sur l’orthogonalité entre sous-espaces : l’heuristique LR-FPE
3.3 Relaxation sur les valeurs propres : estimateur AEMV
3.3.1 Densité de probabilité de textures connue
3.3.2 Densité de probabilité de textures inconnue
3.3.3 Interprétations de AEMV
3.4 AEMV sous hypothèse de données contaminées
3.4.1 Problème de robustesse à la contamination : un bref état de l’art
3.4.2 Estimateur AEMV modifié
3.5 Simulations
3.5.1 Paramètres
3.5.2 Résultats
3.6 Synthèse du chapitre 3
C Preuves du chapitre 3
C.1 Preuve du théorème 3.3.1
Conclusion
