Modèles mathématiques de l’écoulement diphasique 

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Modèle d’Euler

Nous savons qu’un écoulement polyphasique est souvent turbulent. La tur-bulence peut être abordée suivant un point de vue mathématique. En effet, la turbulence est caractérisée par une fluctuation temporelle des grandeurs locales décrivant le fluide (vitesse, pression,…). Ces grandeurs peuvent être décompo-sées en une valeur moyenne symbolisée par une barre supérieure et une valeur fluctuante symbolisée par une tilde. Il existe différentes manières de calculer une valeur moyenne de la vitesse. Pour un fluide homogène, on prend souvent une moyenne pondérée par la masse appelée moyenne de Favre :
Notons que la valeur moyenne, symbolisée par l’opérateur h.i, est calculée sur une courte période (10 à 1000ms). La grandeur moyennée varie sur des échelles de temps beaucoup plus grandes (10 à 1000 s). La vitesse fluctuante est définie comme la différence entre la valeur instantanée et la valeur moyenne ; elle varie très vite : u˜ = u − u¯ (1.4)
Dans ce qui suit, pour ne pas alourdir les écritures, nous omettrons la barre lorsque l’on utilisera la valeur moyenne.
Considérons un système constitué de n phases. Chacune d’elles est caractérisée par une fraction volumique αk, une masse volumique ρk et une pression pk. La pression est la même dans chaque phase.

Modèle de Mélange diphasique

Ce modèle est une simplification du modèle d’Euler. Cette approche est pro-posée par Wallis(1969) développée et présentée ici par Ishii(1975) [11] et Manni-nen(1996) [13]. Le modèle s’obtient par l’addition de deux équations de continuité de chaque fluide pour former l’équation de continuité du mélange. De même, la sommation de deux équations de conservation de quantité de mouvement aboutit à une seule équation qui prédit le mouvement du centre de masse du mélange. A cela s’ajoute une équation de convection diffusion modélisant la distribution de la phase dispersée déduite de son équation de continuité.

Propriétés du mélange

En notant V1 le volume de la phase fluide continue et V2 le volume de la phase dispersée, le volume total Vt d’un système diphasique s’écrit comme la somme de ces deux termes :
Vt = V1 + V2 (1.10)
Partant de là, nous définisons une grandeur couramment utilisée : la fraction volumique αk de chaque phase

Equations constitutives de vitesses

Il est nécessaire de constituer une équation pour le mouvement relatif des phases. Ainsi, nous allons prendre la vitesse relative donnée par Ishii (1975) [11] : ur = u2 − u1 (1.17)
La vitesse de diffusion de chaque phase k est définie par : ukm = uk − um (1.18)
De l’équation (1.18), nous tirons uk et nous le portons dans l’équation de la vitesse du centre de masse du mélange (1.15). Ceci montre que les vitesses de diffusion des phases sont reliées par l’identité

Vitesse de diffusion

Avant de résoudre l’équation de continuité de la phase dispersée (1.29) et le bilan de quantité de mouvement du mélange (1.25), il faut déterminer la vitesse de diffusion ukm.
Pour finir ce chapitre, les difficultés engendreés par l’approche lagrangienne et le modèle d’euleur nous amènent naturellement à prendre le modèle de mélange. Ce dernier invoque l’hypothèse : la phase solide est capable de se sédimenter dans le mélange. Ainsi, nous avons considéré que la boue est activée. En d’autres termes, la phase solide se sépare de l’eau sous l’effet de la gravité. De plus, la boue possède une vitesse de décantation liée à la diffusion. Cette propriété spéci-fique de la phase solide lui confère la capacité de se sédimenter. Par conséquent, pour réaliser la simulation nous avons choisi le modèle de mélange constitué de trois équations traduisant l’écoulement du mélange et un modèle de vitesse de décantation de la phase solide.

Matériels et méthodes

Dans ce chapitre, nous allons procéder à la résolution des équations qui gou-vernent l’écoulement de la boue évoqué dans le chapitre 1. Pour ce faire, nous allons présenter dans un premier temps les outils numériques qui permettent de réaliser la simulation numérique. Ensuite nous expliquerons la méthode utilisée pour la résolution numérique.
L’objectif de ce chapitre est d’établir le modèle numérique pour développer le progamme informatique.

Matériels

Concernant l’execution de la simulation numérique, nous avons opté pour les deux logiciels OpenFOAM et ParaView. Le premier sert à élaborer une applica-tion (Solver) de simulation numérique et le deuxième à visualiser et analyser la simulation. La structure de l’application est détaillée dans l’annexe B

Le logiciel OpenFOAM

OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation) est un logiciel libre principalement axé sur la résolution des équations de la mécanique des fluides. Ce logciel a été développé essentiellement par la société britannique OpenCFD Ltd en 2004.
OpenFOAM constitue une bibliothèque logicielle en langage C++ libre dont le code de calcul est basé sur la méthode des volumes finis. Le code OpenFOAM vu comme une bibliothèque C++ prend tout son intérêt lorsqu’il s’agit d’utiliser de nouveaux modèles. En effet, contrairement à la majorité des codes scientifiques écrits de façon séquentielle (souvent en Fortran), OpenFOAM profite de la puis-sance des langages orientés objet. Cette structure sous forme de classe permet de se rapprocher de l’écriture mathématique en termes d’opérateur divergence, rotationnel, gradient, laplacien, dérivée temporelle. . . OpenFOAM est distribué avec ParaView, un logiciel de post-traitement.

Le logiciel ParaView

ParaView est un logiciel libre de visualisation de données. Il est fondé sur la bibliothèque VTK (processus de visualisation) et développé principalement par le Sandia National Laboratories.

Méthodes

Il existe de nombreuses méthodes pour résoudre numériquement les équations aux dérivées partielles, à savoir la méthode des différences finies, des éléments finis et celle des volumes finis(Eymard (200)[25] et Scheid (2017)[3]). Ainsi, nous allons adopter la méthode des volumes finis dans ce travail.
Contrairement à la méthode des différences finies qui met en jeu des approxi-mations des dérivées, la méthode des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d’intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite forte de l’équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis est fondée sur une formulation variationnelle de l’équation. En utilisant le théorème de flux-divergence, les intégrales de volume d’un terme de divergence sont transformées en intégrales de surface et ces termes de flux sont ensuite évalués aux interfaces entre les volumes finis.Puisque le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent, ces méthodes sont conservatives, donc parfaitement adaptées à la résolution de lois de conservation.
Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu’elle est facile-ment utilisable avec des maillages non structurés car, en matière de discrétisation des lois de conservation, sa formulation ne tient aucun compte de la complexité du maillage. En revanche, les caractéristiques géométriques du maillage peuvent jouer un rôle prépondérant lorsque des flux diffusifs entrent en jeu.
Les différentes étapes de résolution numérique basées sur la méthode des vo-lumes finis sont :
— La modélisation physique du système
— Discrétisation du domaine
— Discrétisation des équations
— Traitement des conditions aux limites
— Résolution des équations discrétisées

Modélisation physique du système

Pour simuler la sédimentation dans un écoulement diphasique instationnaire, nous allons considérer un réservoir de décantation assimilable à un domaine réctangulaire de longueur L = 8.65 m constitué d’une entrée de hauteur 1 m et d’une évacuation de sortie de 10 cm (figure 2.1).

Table des matières

Introduction 
1 Modèles mathématiques de l’écoulement diphasique 
1.1 Approche Lagrangienne
1.2 Modèle d’Euler
1.3 Modèle de Mélange diphasique
1.3.1 Propriétés du mélange
1.3.2 Equations constitutives de vitesses
1.3.3 Equations du modèle de mélange
1.3.4 Vitesse de diffusion
1.3.5 Tenseur de diffusion
2 Matériels et méthodes 
2.1 Matériels
2.1.1 Le logiciel OpenFOAM
2.1.2 Le logiciel ParaView
2.2 Méthodes
2.2.1 Modélisation physique du système
2.2.2 Discrétisation du domaine
2.2.3 Discrétisation spatiale de l’équation générale
2.2.4 Discrétisation en temps
2.2.5 Système d’équations algébriques
2.2.6 Equation de pression
2.2.7 Traitement des conditions aux limites
2.2.8 Résolutions numériques
3 Résultats et discussions 
3.1 Répartition spatiale
3.1.1 Champ de vitesses du mélange
3.1.2 Champ de pression
3.1.3 Fraction volumique de la boue
3.2 Profil de vitesse
3.3 Evolution temporelle
3.3.1 Paramètre pression
3.3.2 Paramètre fraction volumique
Conclusion générale et perspectives 
Bibliographie 
Annexes 
A Eléments du modèle
A.1 Forces appliquées à une particule
A.2 Fluide Newtonien
B Eléments de la simulation
B.1 Solver ou application
C Elément mathématique
C.1 Théorème de divergence

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