Modeles elements finis de poutre sandwich intelligente ´

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Analyse bibliographique

Le d´eveloppement de syst`emes de controleˆ actif-passif fait l’objet actuellement de plusieurs projets de recherche dans le monde. L’analyse des publications trouv´ees dans la litt´erature montre que les principaux centres d’int´erˆet concernent : 1) les configura-tions de controleˆ hybride ; 2) la mod´elisation de structures sandwich multicouches ; 3) la mod´elisation des mat´eriaux visco´elastiques ; 4) les algorithmes de controleˆ. Cependant, le m´ecanisme d’action de l’actionneur pi´ezo´electrique n’a pas et´ etudi´e par cette commu-naut´e. On pr´esente donc ici une discussion sur les m´ecanismes d’action pi´ezo´electrique. Dans les sous-sections suivantes, l’analyse bibliographique concernant chacun de ces th`emes est pr´esent´ee. Mˆeme si les travaux analys´es concernent plusieurs applications, l’analyse qui suit sera limit´ee aux etudes´ de structures du type poutre, puisqu’elles se-ront les seules structures trait´ees dans ce travail. D’autres analyses bibliographiques sur le controleˆ actif-passif peuvent ˆetre trouv´ees dans les synth`eses fournies dans [15, 42, 57].

Configurations de contr oleˆ hybride

Les traitements amortissants passifs par revˆetement visco´elastique contraint sont d´ej`a largement utilis´es pour amortir des vibrations structurales [66, 68]. Pour certaines applications, visant un amortissement int´egr´e, il est aussi envisageable de remplacer des parties de la structure par d’autres sous forme de sandwich a` cœur visco´ elastique, ou mˆeme d’en concevoir directement des parties sandwich int´egr´ees.
Le succ`es de ces traitements passifs combin´e aux progr`es obtenus dans le domaine des structures intelligentes a motiv´e le d´eveloppement de traitements hybrides actif-passif, consistant a` remplacer la couche elastique´ par des actionneurs pi´ezo´electriques. Ces trai-tements, dit par Revetementˆ Contraint Actif (RCA) ont et´ sugg´er´es par Plump et Hub-bard1 [73]. Leurs principaux avantages r´esident dans (i) leur capacit´e d’augmenter ac-tivement le cisaillement du mat´eriau visco´elastique (γa > γs, Figure 1.3), a` travers l’ac-tionneur pi´ezo´electrique, am´eliorant ainsi la dissipation d’´energie ; (ii) la combinaison des performances aux fr´equences plus elev´ees, des mat´eriaux visco´elastiques, et aux tr`es basses fr´equences, des actionneurs pi´ezo´electriques ; (iii) l’augmentation de la robustesse du controleˆ actif, dans la mesure o u,` en cas de mauvais fonctionnement, le syst`eme reste amorti.
Depuis le d´ebut des ann´ees 90, plusieurs configurations de traitements RCA ont et´ pr´esent´ees dans la litt´erature. Celle propos´ee par Plump et Hubbard [73] a et´ rete-nue par la majorit´e des chercheurs. N´eanmoins, une multitude de syst`emes ont et´ pro-pos´es selon les positions et types des capteurs/actionneurs. Ainsi, Agnes et Napolitano [1], Huang et al. [40] et Yellin et Shen [94] ont suppos´e des actionneurs auto-capteurs dans le revˆetement contraint actif (Figure 1.4d), tandis que Shen [80, 81] et Liao et Wang
[61] ont utilis´e des capteurs optiques pour mesurer la fl`eche du bout de la poutre (Figure 1.4a). L’avantage des actionneurs auto-capteurs est d’aboutir a` un syst`eme de controleˆ co-localis´e. Varadan et al. [88] ont consid´er´ un capteur pi´ezo´electrique coll´e a` cot´eˆ du traitement hybride (Figure 1.4b). Lesieutre et Lee [57] ont propos´e de segmenter le trai-tement afin d’augmenter sa robustesse, bien que les performances pour les fr´equences plus elev´ees ont et´ diminu´ees. Dans ce cas, les d´eformations de la surface oppos´ee de la poutre sont mesur´ees (Figure 1.4c). Cette configuration a aussi ´et´ etendue´ par Baz [10] en consid´erant deux traitements coll´es sym´etriquement sur les surfaces d’une poutre, mais seuls les d´eplacements longitudinaux ont et´ consid´er´es afin d’´etudier le m´ecanisme d’am´elioration du cisaillement de la couche visco´elastique.

Modelisation´ de poutres sandwich intelligentes

La premi`ere etude´ sur les propri´et´es vibratoires des poutres sandwich a` cœur visco´elastique a et´ pr´esent´ee par Kerwin [47], vers la fin des ann´ees 50. Il a consid´ er´ des poutres sandwich simplement appuy´ees, dont les peaux elastiques´ etaient´ beaucoup plus rigides que le cœur et dont la rigidit´e en flexion de la couche de pr´ econtrainte etait´ n´egligeable par rapport a` celle de la structure de base. Ainsi, le cœur etait´ suppos´ e ne se d´eformer qu’en cisaillement transverse et la rigidit´e en flexion de la poutre sandwich etait´ celle de la structure de base. DiTaranto [25] a etendu´ les travaux de Kerwin pour traiter les vibrations libres des poutres sandwich avec des conditions aux limites arbitraires. Ensuite, tout en gardant les hypoth`eses de Kerwin, un autre mod`ele a et´ d´evelopp´ par Mead et Markus [67] pour etudier´ les vibrations forc´ees pour plusieurs conditions aux limites. Ils ont abouti a` une equation´ diff´erentielle de mouvement d’ordre six en fonction de la fl`eche.
Ces premiers travaux ont et´e, r´ecemment, etendus´ au cas des revˆetements contraints actifs pour tenir compte de la couche pi´ezo´electrique. Ainsi, Agnes et Napolitano [1] ont utilis´e la th´eorie de Kerwin, en consid´erant l’effet de l’actionneur pi´ezo´electrique comme une augmentation de la rigidit´e de la couche de pr´econtrainte. Leibowitz et Vinson [53] ont etudi´ le mˆeme probl`eme, mais pour une poutre partiellement couverte par le RCA. D’autre part, Baz et Ro [13] sont partis de l’´equation de Mead et Markus pour ´etudier, par la m´ethode des ondes progressives, une poutre encastr´ee-libre partiellement trait´ee par le RCA, bien que dans leur cas, une couche pi´ezo´electrique, servant de capteur, est plac´ee entre le mat´eriau visco´elastique et la poutre. C’est pourquoi, afin de rester dans le cadre de la th´eorie de poutres sandwich, ils ont suppos´e que le capteur et la poutre forment une seule couche dont la rigidit´e est equivalente´ a` la somme de celles des deux couches. Dans ce cas, l’action pi´ezo´electrique a et´ approch´ee par une d´eformation impos´ee. Cela a aussi et´ suppos´e par Shen [80] afin de d´eriver les equations´ de mouvement d’une poutre tota-lement couverte par un traitement hybride, qu’il a analys´e ensuite a` travers l’approche des fonctions de transfert. De mˆeme, van Nostrand et Inman [87] ont utilis´e ces hypoth`eses pour d´evelopper leur mod`ele el´ements finis (EF) avec quatre degr´es de libert´e (ddls) par nœud, pour lequel, tout comme Baz [11] et Huang et al. [40], ils ont suppos´e que la couche visco´elastique ne se d´eforme qu’en cisaillement transverse. Un mod`ele EF simi-laire a et´ d´evelopp´ par Baz et Ro [12] pour leur configuration de RCA (Figure 1.4e), mais en tenant compte aussi des extension et flexion de la couche visco´elastique. Ensuite, Lesieutre et Lee [57] ont d´evelopp´ un mod`ele EF a` 9 ddls par el´ement avec des inter-polations quadratiques pour le d´eplacement longitudinal et l’angle de cisaillement. Les effets des inerties de rotation ont et´ pris en compte pour les trois couches. Par ailleurs, des el´ements finis isoparam`etriques ont et´ utilis´es pour etudier´ des traitements hybrides par Varadan et al. [88] et Veley et Rao [89]. Dans les deux cas, des ddls electriques´ ont et´ utilis´es pour mod´eliser l’action pi´ezo´electrique.
D’autre part, la m´ethode de Rayleigh-Ritz a aussi et´ utilis´ee par Lam et al. [51] et Liao et Wang [61] pour discr´etiser les equations´ de mouvement, ou` l’inertie de rotation a et´ n´eglig´ee mais les d´eformations axiales de la couche visco´elastique ont et´ consid´er´ees. Le dernier mod`ele [61] a et´ utilis´e dans [60] par les mˆemes auteurs pour etudier´ l’effet des el´ements aux bords (Figure 1.4i). Ces derniers etant´ mod´elis´es par des ressorts reliant l’actionneur a` la poutre.
Des poutres a` cinq couches ont aussi et´ etudi´ees dans la litt´erature. Chen et Baz [20] et Crassidis et al. [22] ont etendu´ les travaux de Baz et Ro [12, 13] pour etudier´ une poutre trait´ee a` la fois par le revˆetement hybride a` trois couches [13] (Figure 1.4e) coll´e sur sa surface sup´erieure, et par un actionneur pi´ezo´electrique coll´e sur la surface oppos´ee (Figure 1.4m). Dans les deux cas, ce dernier a et´ suppos´e composer, avec la poutre et le capteur de la surface oppos´ee, une seule couche. Cependant, dans le travail de Chen et Baz [20], la rigidit´e du capteur a et´ n´eglig´ee. Un mod`ele el´ements finis de poutre a` cinq couches a aussi et´ d´evelopp´ par Badre-Alam et al. [5] afin d’´etudier deux traitements hybrides avec des el´ements aux bords [60] (Figure 1.4i) coll´es sur les sur-faces sup´erieure et inf´erieure d’une poutre. Dans ce cas, le mat´eriau visco´elastique a et´ suppos´e se d´eformer en cisaillement transverse seulement. Des ddls electriques´ ont et´ consid´er´es pour les couches pi´ezo´electriques, aboutissant a` un el´ement fini `a 7 ddls par nœud. Dans une autre perspective, Wang et Wereley [91] ont utilis´ e le mod`ele de Mead et Markus afin d’´etudier une poutre sandwich a` cœur visco´ elastique avec deux actionneurs pi´ezo´electriques coll´es sur ses surfaces sup´erieure et inf´erieure, bien que ces derniers ont et´ remplac´es par des moments concentr´es aux bords [23], r´eduisant ainsi le mod`ele a` celui a` trois couches. Comme Baz et Ro [13], ils ont utilis´e la m´ethode des ondes progres-sives pour analyser le probl`eme.
Repr´esentant le mod`ele au plus grand nombre de couches parmi ceux trouv´es dans la litt´erature, celui propos´e par Rongong et al. [78] (Figure 1.4h) consid`ere une poutre trait´ee sur ses surfaces sup´erieure et inf´erieure par des revˆetements contraints actifs a` trois couches, comme propos´e par Azvine et al. [4] (Figure 1.4g). N´eanmoins, la poutre, la couche visco´elastique et celles de pr´econtrainte et pi´ezo´electrique ont et´ suppos´ees se d´eformer seulement en flexion, cisaillement et extension, respectivement. En plus, la couche de pr´econtrainte et l’actionneur pi´ezo´electrique ont et´ consid´er´es comme une seule couche, aboutissant a` une poutre sym´etrique a` cinq couches. La m´ethode de Rayleigh-Ritz a et´ utilis´ee dans ce cas pour discr´etiser les ´equations.
On peut r´esumer les hypoth`eses principales utilis´ees dans la litt´erature comme suit :
1. cisaillement pure dans la couche visco´elastique, `a l’exception de Baz et Ro [12], Crassidis et al. [22], Lam et al. [51], Lesieutre et Lee [57], Liao et Wang [60, 61],
2. inertie de rotation n´egligeable, a` l’exception de Agnes et Napolitano [1], Lesieutre et Lee [57], Varadan et al. [88] et Veley et Rao [89] ;
3. cisaillement n´egligeable dans les couches elastiques´ ou pi´ezo´electrique, a` l’excep-tion des mod`eles el´ements finis isoparam`etriques de Varadan et al. [88] et Veley et Rao [90] ;
4. actionneur pi´ezo´electrique mod´elis´ comme une d´eformation, force ou rigidit´e in-duite, a` l’exception de Badre-Alam et al. [5], Lam et al. [51], Liao et Wang [60, 61], Varadan et al. [88], Veley et Rao [89].
D’autre part, la majorit´e de ces travaux ont suppos´e des vibrations sinuso¨ıdales, ce qui leur a permis de consid´erer un module de rigidit´e complexe pour tenir compte `a la fois des propri´et´es ´elastiques et visqueuses du mat´eriau visco´elastique. Cependant, cette approche n’est pas r´ealiste dans le cas g´en´eral. Par ailleurs, l’efficacit´e du revˆetement est fortement d´ependante du comportement du mat´eriau visco´elastique et, donc, de sa mod´elisation.

Modelisation´ des materiaux´ viscoelastiques´

Les propri´et´es ´elastiques et dissipatives des mat´eriaux visco´elastiques d´ependent, g´en´eralement, des fr´equence, amplitude, type d’excitation et de la temp´erature. Le be-soin de mod`eles d’amortissement visco´elastique capables de repr´esenter la r´ealit´ physique de ces propri´et´es a motiv´e une grande quantit´e d’´etudes dans les ann´ees 80. A cette epoque´-l`a, l’approche des modules complexes etait´ d´ej`a largement utilis´ee. Cependant, la construction des mod`eles a` matrices complexes rendait les analyses impraticables. Par cons´equent, Johnson et al. [45] ont propos´e une m´ethode, dite des energies´ modales (Mo-dal Strain Energy, MSE), consistant a` estimer les amortissements modaux `a travers une relation entre les facteurs de perte et les energies´ de d´eformation de la structure et du mat´eriau visco´elastique. N´eanmoins, il a et´ consid´er´ que les propri´et´es du mat´eriau visco´elastique restent constantes pour toute condition de chargement, ce qui eloigne´ cette approche de la r´ealit´e. Pour pouvoir tenir compte de la d´ependance en fr´equence des pro-pri´et´es des mat´eriaux visco´elastiques, cette m´ethode doit etreˆ consid´er´ee dans une version it´erative [31]. D’autre part, Plouin et Balm`es [72] ont propos´e l’utilisation d’une base mo-dale r´eelle, augment´ee par une base de correction pour tenir compte des effets d’amortis-sement. De bons r´esultats ont et´ obtenus ; cependant, la base utilis´ee contient le double du nombre de modes.
Pour permettre la repr´esentation temporelle des caract´eristiques des mat´eriaux visco´elastiques, une s´erie de m´ethodes temporelles capables de repr´esenter la d´ependance en fr´equence des propri´et´es des mat´eriaux visco´elastiques, tout en etant´ compatibles avec les techniques d’analyse habituellement utilis´ees dans la dynamique des structures, a et´ d´evelopp´ee. Ainsi, Bagley et Torvik [6, 7] ont propos´e une m´ethode bas´ee sur des d´eriv´ees fractionnaires efficace pour des analyses dans le domaine fr´equentiel mais aboutissant, dans le domaine temporel, a` des equations´ diff´erentielles d’ordre fractionnaire assez com-plexes a` r´esoudre. D’autres m´ethodes temporelles ont, ainsi, et´ propos´ees aboutissant `a des equations´ diff´erentielles ordinaires. Lesieutre [54, 58] a propos´e un mod`ele nomm´e
Augmenting Thermodynamic Fields (ATF), bas´ee sur l’introduction de variables internes (dissipatives), similaires aux variables cach´ees introduites par Biot [18] dans sa th´eorie lin´eaire de la thermodynamique irr´eversible. Limit´e aux cas unidimensionnels, ce mod`ele a et´ ensuite etendu´ aux cas tridimensionnels par Lesieutre et son equipe´ [55, 57] grˆace a` un nouveau mod`ele nomm´e Anelastic Displacement Fields (ADF). En parall`ele, Dovstam [27] a pr´esent´ une etude´ analogue, bien que dans ce cas-ci, seule une analyse dans le domaine fr´equentiel a et´e r´ealis´ee. Hughes et son equipe´ [35, 65] ont aussi d´evelopp´ un mod`ele, dit Golla-Hughes-McTavish (GHM), bas´e sur l’introduction de variables dissipa-tives, tout comme le mod`ele ADF. Les mod`eles ATF/ADF et GHM sont assez similaires vu qu’ils utilisent tous des variables additionnelles pour bien mod´eliser les relaxations du mat´eriau visco´elastique. N´eanmoins, on peut distinguer quelques diff´erences entre eux. Le mod`ele GHM utilise une formulation dans le domaine de Laplace devant etreˆ trans-form´ee pour des analyses dans le domaine temporel. Par ailleurs, il aboutit a` une equation´ du second ordre compatible avec les equations´ provenant du mod`ele ´el´ements finis. Tan-dis que le mod`ele ATF/ADF aboutit a` des equations´ du premier ordre de telle fac¸on que la compatibilit´e entre ces equations´ et celles provenant du mod`ele el´ements finis n’est obtenue qu’en construisant un syst`eme coupl´e sous la forme d’´equations d’´etat. D’autre part, mˆeme si les mod`eles GHM et ADF utilisent diff´erents param`etres ayant diff´erentes significations physiques, les mod`eles el´ements finis construits en les utilisant pr´esentent des r´eponses similaires. D’autres m´ethodes bas´ees aussi sur l’addition de variables in-ternes peuvent etreˆ trouv´ees dans la litt´erature [44, 97]. Ces mod`eles repr´esentent bien la variation des propri´et´es des mat´eriaux visco´elastiques avec la fr´equence, mais pour une temp´erature constante donn´ee. Afin de permettre la repr´esentation de la d´ependance en temp´erature des propri´et´es et l’´echauffement du mat´eriau, Lesieutre et son groupe [19, 56] ont etendu´ le mod`ele ADF pour ces cas, aboutissant, n´eanmoins, `a des equations´ non-lin´eaires. Pour cette th`ese, les mod`eles ADF, GHM et MSE seront les seules m´ethodes utilis´ees pour mod´eliser la d´ependance en fr´equence des mat´eriaux visco´elastiques.
Etant donn´e que les mod`eles GHM et ADF repr´esentent le module du mat´eriau visco´elastique par des s´eries de fonctions dans les domaines Laplacien G(s) ou fr´equentiel G(ω), il est d’une grande importance de bien d´eterminer les param`etres des mod`eles a` partir des donn´ees du mat´eriau utilis´e. Ces param`etres sont, en g´en´eral, ajust´es a` partir du lissage des courbes maˆıtresses du mat´eriau, afin de minimiser une mesure quelconque de l’´ecart entre les donn´ees mesur´ees et estim´ees. Lesieutre et Bianchini [55] ont pr´esent´ le lissage des donn´ees du mat´eriau ISD112, `a une temp´erature de 27oC, entre 8 et 8000 Hz. Ils ont conclu que cinq ADFs (avec deux param`etres par ADF) repr´esentent exactement le comportement du module elastique´ et du facteur de perte du mat´eriau en fonction de la fr´equence. Friswell et al. [32] ont pr´esent´ la mˆeme analyse pour le mod`ele de Golla et Hughes [35], avec trois ou quatre param`etres par mod`ele. Ils ont utilis´e l’ISD112 a` 20oC, entre 10 et 4800 Hz et le Dyad 601 a` 24oC, entre 2 et 4800 Hz. Les r´esultats in-diquent que le mod`ele avec quatre param`etres repr´esente mieux les donn´ees du mat´eriau, bien qu’il introduit des matrices non sym´etriques dans le mod`ele global. Cela dit, en g´en´eral, les mod`eles ADF et GHM lissent bien les courbes maˆıtresses des mat´eriaux dont la d´ependance en fr´equence des propri´et´es est tr`es forte. N´eanmoins, on peut dire que le nombre de param`etres utilis´es est inversement proportionnel au degr´ de d´ependance en fr´equence des propri´et´es. C’est pourquoi, Enelund et Lesieutre [28] ont propos´e une combinaison du mod`ele ADF avec les d´eriv´ees fractionnaires afin de bien repr´esenter une faible d´ependance en fr´equence.
Le principal inconv´enient des mod`eles ADF et GHM est que, associ´es a` une discr´etisation par el´ements finis, ils conduisent `a des syst`emes de grande taille, puisqu’ils ajoutent des degr´es de libert´ auxiliaires pour tenir compte de la d´ependance en fr´equence du mat´eriau visco´elastique. Par cons´equent, il est g´en´eralement n´ecessaire de r´eduire la dimension du mod`ele, par projection dans une base modale r´eduite appropri´ee. Afin d’´eliminer les modes de relaxation, Park et al. [70] ont utilis´e une m´ethode, d´enomm´ee Modified Internal Balancing Method , combinant la m´ethode Internal Balancing Method, courante dans le domaine d’automatique, avec la m´ethode de Guyan pour eliminer´ les modes moins controlablesˆ et observables, d’une part, et pour r´e´ecrire le mod`ele r´eduit en terme d’un sous-space des variables nodales provenant du mod`ele el´ements finis, d’autre part. Dans cette th`ese, une base de r´eduction modale complexe, retenant les pre-miers modes propres de la structure, sera propos´ee. Ensuite, une repr´esentation r´eelle des equations´ d’´etat r´eduites sera utilis´ee pour les analyses.

Formulation theorique´

Deux configurations de poutre sandwich sont consid´er´ees. La premi`ere est constitu´ee d’un cœur ´ elastique ou visco´elastique pris entre deux peaux pi´ezo´electriques polaris´ees dans le sens de l’´epaisseur, tandis que l’autre est constitu´ee d’un cœur pi´ezo´electrique, polaris´e longitudinalement, pris entre deux peaux elastiques´. Pour des consid´erations pratiques, la mise en œuvre suppose que toutes les couches sont pi´ezo´electriques. La th´eorie d’Euler-Bernoulli est appliqu´ee aux peaux, suppos´ees r´esistantes aux contraintes de membrane et de flexion ; alors que, la th´eorie de Timo-shenko est appliqu´ee au cœur, suppos´ e r´esistant en plus a` la contrainte de cisaillement transverse. Les couches pi´ezo´electriques ont des electrodes´ sur les surfaces sup´erieure et inf´erieure qui les couvrent enti`erement. Les mat´eriaux elastiques´ et pi´ezo´electriques sont consid´er´es orthotropes dont les axes d’orthotropie co¨ıncident avec les axes de la poutre sandwich. Toutes les couches sont suppos´ees parfaitement coll´ees. La contrainte normale transversale est suppos´ee n´egligeable devant les autres composantes. Les longueur, lar-geur et epaisseur´ de la poutre sont not´ees par L, b et h, respectivement. Les indices a, b et c repr´esentent les quantit´es relatives aux peaux sup´erieure et inf´erieure et au cœur. Les lettres x,y,z seront parfois utilis´ees pour d´esigner les directions 1,2,3 et les d´eriv´ees par rapport a` la direction x et au temps seront not´ees par ( ′ ) et ( ˙ ), respectivement.

Description cinematique´ de la poutre

D’apr`es les hypoth`eses cit´ees pr´ec´edemment, les champs de d´eplacements sont d´ecrits par u˘i(x, y, z) = ui(x) + (z − zi )β i(x) , i=a,b,c vi(x, y, z) = 0 (2.1) donc, les d´eplacements axiaux u˘i sont lin´eaires dans l’´epaisseur pour chaque couche. La description cin´ematique de la poutre sandwich est repr´esent´ee dans la Figure 2.1. D’apr`es les hypoth`eses d’Euler-Bernoulli, βk = β = −w′ (k = a, b). Le plan moyen du cœur est suppos´e co¨ıncider avec l’origine de l’axe z, donc zc = 0. Inspir´e par [2], on d´efinie ¯u et u˜ comme etant´ les d´eplacements moyen et relatif des plans moyens des peaux, respective-ment, u¯= ua + ub ; u˜ = ua − ub (2.2)

Discretisation´ par el´ements´ finis

Dans cette section le mod`ele th´eorique pr´esent´ pr´ec´edemment sera discr´etis´ par la m´ethode des el´ements finis, pour deux cas sp´ecifiques, ` a savoir le cas ou` les pastilles pi´ezo´electriques sont suppos´ees etreˆ des actionneurs, auxquelles le champ electrique´ est impos´e, et le cas, ou` elles sont consid´er´ees comme des capteurs, dont le champ electrique´ est inconnu.

Le premier mod`ele el´ements finis, d´enomm´ PSAP (Poutre Sandwich avec Actionneurs piezo´electriques)´, est plus simple a` mettre en œuvre et aboutit ` a des matrices de di-mensions plus faibles, grˆace a` l’absence de ddls electriques´ additionnels. En plus, mˆeme s’il n’est valable, en principe, que pour les cas d’actionneurs pi´ezo´electriques, on montre que ce mod`ele peut fournir des approximations assez satisfaisantes pour des tensions in-connues dans les couches pi´ezo´electriques a` travers un post-traitement des r´esultats.

Le deuxi`eme mod`ele, d´enomm´ PSEP (Poutre Sandwich avec Elements´

Piezo´electriques)´ tient compte de la pi´ezo´electricit´ a` travers l’ajout de ddls electriques´ pour chaque couche pi´ezo´electrique. C’est pourquoi il aboutit a` des matrices de tailles plus grandes. N´eanmoins, il fournit des approximations plus pr´ecises des comportements m´ecanique et pi´ezo´electrique. En plus, il est valable pour des cas de tensions inconnues ou impos´ees. En effet, pour le cas capteur, les ddls electriques´ r´esultants du calcul el´ements finis fournissent directement les tensions induites dans chaque couche pi´ezo´electrique, sans avoir besoin de r´ealiser des post-traitements. Pour le cas actionneur, l’imposition des tensions sur les couches pi´ezo´electriques peut etreˆ faite directement a` travers la sub-stitution dans les ddls electriques´. Ce deuxi`eme mod`ele peut egalement´ ˆetre modifi´e a` travers une condensation statique des ddls electriques´ au niveau el´ementaire aboutissant a` un el´ement fini avec le mˆeme nombre de ddls que le mod`ele PSAP, mais tenant compte des tensions induites dans les couches pi´ezo´electriques dont les potentiels sont inconnus.

Ces mod`eles seront pr´esent´es dans les prochaines sous-sections, puis, compar´es a` travers le calcul des tensions induites dans les capteurs pi´ezo´electriques. Pour l’interpo-lation des d´eplacements moyen et relatif, u¯et u˜, des fonctions de forme lin´eaires de La-grange seront utilis´ees, puisque ces variables sont C0-continues. Pour la fl`eche w, qui est C1-continue, des fonctions de forme cubiques d’Hermite sont n´ecessaires. Les diff´erences de potentiels electriques´ Vi seront consid´er´ees constantes par el´ement puisque tous les el´ements pi´ezo´electriques sont suppos´es compl`etement couverts par les electrodes´.

Modele` sans degres´ de liberte´ electriques´

L’objectif de cette section est de pr´esenter la discr´etisation par el´ements finis de la poutre sandwich pi´ezo´electrique, en consid´erant que les champs electriques´ dans les couches pi´ezo´electriques sont impos´es, c’est-a`-dire, ces derni`eres agissent en tant qu’ac-tionneurs. Par cons´equent, il n’est pas n´ecessaire d’ajouter des ddls electriques´. Les d´eplacements g´en´eralis´es d = col(u¯, w, u˜), col( ) etant´ utilis´e pour d´enoter des vecteurs ligne, sont discr´etis´es par d = Nqe o u`01 N = N3 N4 0 02 N5 N6 0 N000N000 000N1000N2 (2.61)

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Table des matières

1 Introduction generale
1.1 Motivations
1.2 Analyse bibliographique
1.2.1 Configurations de contrˆole hybride
1.2.2 Mod´ elisation de poutres sandwich intelligentes
1.2.3 Mod´ elisation des mat´ eriaux visco´ elastiques
1.2.4 Algorithmes de contrˆ ole actif
1.2.5 M´ ecanismes d’action pi´ ezo´ electrique
1.3 Organisation de la th` ese
2 Modeles elements finis de poutre sandwich intelligente ´
2.1 Introduction
2.2 Formulation th´ eorique
2.2.1 Description cin´ ematique de la poutre
2.2.2 Lois de comportement
2.2.3 Description de l’´ etat ´ electrique
2.2.4 Formulation variationnelle
2.2.5 Equations de mouvement et conditions limites
2.3 Discr´etisation par ´ el´ ements finis
2.3.1 Mod` ele sans degr´es de libert´ e ´ electriques
2.3.2 Mod` ele avec degr´ es de libert´ e ´ electriques
2.4 Validation des mod` eles
2.4.1 Validation du mod` ele sans ddls ´ electriques
2.4.2 Comparaison des r´esultats pour le cas capteur
2.5 Extension du mod` ele aux peaux multicouches
2.5.1 Champs ´ electriques dans les sous-couches des peaux
2.5.2 Formulation variationnelle
2.5.3 Equations de mouvement et conditions limites
2.5.4 Discr´etisation par ´ el´ ements finis
2.6 Validation des mod` eles ` a peaux multicouches
2.6.1 Validation du mod` ele sans ddls ´ electriques
2.6.2 Validation du mod`ele avec ddls ´ electriques
2.6.3 Comparaison des r´esultats pour le cas capteur
2.7 Conclusion
3 Modelisation des mat ´ eriaux visco ´ elastiques´
3.1 Introduction
3.2 Comportement visco´ elastique lin´ eaire
3.2.1 Lois de comportement visco´ elastique
3.2.2 Approche de modules complexes
3.3 La m´ethode it´ erative des ´ energies modales
3.4 Le mod` ele Golla-Hughes-McTavish
3.5 Le mod` ele Anelastic Displacement Fields
3.6 Syst` eme d’´ equations d’´ etat
3.7 R´ eduction modale des syst` emes d’´ etat
3.7.1 Repr´esentation d’´ etat des mod` eles amortis
3.8 Lissage des param`etres des mod` eles ADF/GHM
3.8.1 Propri´ et´ es asymptotiques du lissage
3.9 Validation des mod` eles visco´ elastiques
3.9.1 Validation exp´ erimentale par l’analyse modale d’une poutre sandwich
3.9.2 Validation des mod` eles r´ eduits
3.10 Conclusion
4 Controle actif de vibrations ˆ
4.1 Introduction
4.2 Contrˆ ole optimal quadratique
4.2.1 Th´ eorie de contrˆ ole optimal
4.2.2 R´ egulateur lin´ eaire quadratique (LQR)
4.2.3 Choix de la matrice de pond´ eration d’´ etat
4.2.4 Limitations du gain de contrˆ ole
4.2.5 Observation
4.3 Controlabilit´ e et observabilit´ e
4.3.1 Test de Popov-Belevitch-Hautus
4.4 Mise en œuvre digitale
4.5 Contrˆ ole actif d’une poutre sandwich ` a cœur visco´ elastique
4.5.1 Contrˆole optimal lin´ eaire quadratique
4.5.2 Contrˆ ole par r´etroaction directe des vitesses
4.5.3 Prise en compte d’un observateur d’´ etat
4.6 Conclusion
5 Application aux controles actif et hybride actif-passif des vibrations ˆ
5.1 Introduction
5.2 Analyse statique des m´ ecanismes d’action pi´ ezo´ electrique
5.3 Contrˆ ole actif par action pi´ ezo´ electrique
5.4 Traitements amortissants hybrides actifs-passifs
5.4.1 Amortissement par revˆ etement contraint actif
5.4.2 Amortissement par revˆetement contraint passif et contrˆ ole actif
5.4.3 Amortissement par revˆetement contraint passif ´ eloign´e et contrˆole actif
5.4.4 Comparaison des traitements amortissants hybrides
5.5 Analyse de l’effet de la temp´ erature
5.5.1 Effet de la temp´erature sur l’amortissement
5.5.2 Contrˆ oleur d´ edi´ e ` a une temp´ erature
5.6 Conclusion
6 Conclusion gen ´ erale ´
6.1 R´ esum´ e des r´ esultats de la th` ese
6.1.1 Mod` eles ´ el´ ements finis de poutre sandwich intelligente
6.1.2 Mod´ elisation des mat´ eriaux visco´ elastiques
6.1.3 Contrˆ ole actif de vibrations
6.1.4 Application aux contrˆ oles actif et hybride actif-passif des vibrations180
6.2 Originalit´es de la th` ese
6.3 Perspectives de recherche
6.4 Publications
Bibliographie