Modèles de raideur des presses de forgeage

La simulation numérique en mécanique est un outil essentiel pour le développement technologique de disciplines très variées telles que le génie civil, l’automobile, l’aérospatial. Le nombre d’analyses effectuées par des ingénieurs dans le monde entier est estimé être de l’ordre d’un million par jour* . Les avancées informatiques offrent des moyens de calcul de plus en plus puissants permettant ainsi de complexifier les modèles utilisés et d’approcher davantage l’expérience lors des simulations. Cet effort constant à améliorer des modèles retenus pour décrire le phénomène considéré conduit à la résolution des équations non-linéaires avec un très grand nombre d’inconnues. En conséquence, les temps de calcul deviennent de plus en plus importants. Un autre problème se pose alors qui est de réduire ce temps de calcul tout en gardant la précision des résultats recherchés.

PRISE EN COMPTE DE LA RAIDEUR DES PRESSES DE FORGEAGE 

MODÈLES DE RAIDEUR DES PRESSES DE FORGEAGE 

Une déviation quelconque des conditions symétriques de chargement conduit à l’apparition de forces décentrées dans la presse qui sont à l’origine de forces latérales, de flexion et souvent de torsions. Elles conduisent à différents déplacements des outils de forgeage difficiles à contrôler et par conséquent à une diminution de la précision de forgeage et du respect des tolérances. En outre, des effets nuisibles à la durée de vie de la presse et de l’outillage peuvent se manifester. Des études sur différentes machines industrielles de mise en forme des métaux montrent que le déplacement horizontal et la rotation de la table de la presse peuvent respectivement atteindre des valeurs de 5mm et 6mm/m [Doege 1990]. En général, ces problèmes sont présents dans les procédés avec des outils non-symétriques complexes, ou lors du forgeage de plusieurs opérations en un seul coup de presse, ou pour un positionnement non symétrique de la pièce dans les outils, et causent tout naturellement des complications dans la production des pièces à haute précision, tout particulièrement en forge à froid où les efforts sont très importants et la précision recherchée très grande.

Même si plusieurs logiciels de conception et de calcul sont maintenant à la disposition des ingénieurs pour la préparation et la mise en projet des outils de forgeage à froid, la qualité et les tolérances des composantes dépendent toujours de facteurs importants qui sont les conditions de frottement, l’écoulement de la matière, la température, les déformations de la machine et des outils. On observe que les déformations de la presse peuvent être tout à fait significatives vis-à-vis des tolérances voulues [Bockel 1980].

Approche du projet IMPRESS

Le modèle de la matrice de flexibilité représente l’inconvénient de ne pas prendre en compte les effets non-linéaires des zones I et II . Ce concept est élargi par l’introduction des modèles suivants :

1. matrice de flexibilité proportionnelle (PFM) : elle introduit une relation linéaire entre l’action et la réaction,  c’est le modèle de base du projet NETTFORM ;

2. matrice de flexibilité généralisée (GeFM) : ce modèle prend en compte d’une manière très simple le début non-linéaire du diagramme , c’est à dire la fermeture des jeux entre les éléments de la presse ;

3. matrice de flexibilité non-linéaire (NLFM) : elle permet de décrire les relations entre les forces et les déformations d’une façon plus précise et plus fine . L’aspect nonlinéaire des coefficients de cette matrice peut être représenté par une courbe point à point permettant une description précise du comportement de la presse.

4. matrice de flexibilité graphique (GrFM) : elle est définie individuellement pour chaque presse en tenant compte des asymétries et de l’usure. En effet, les trois matrices précédentes ont été établies sur la base de certaines hypothèses concernant le type et la symétrie des presses permettant à chaque fois d’annuler certains coefficients de la matrice. Cependant, plusieurs facteurs peuvent remettre en question ces hypothèses, comme cela a été souligné par [Chodnikiewicz et al 2000] : réparations effectuées sur la presse, usure, mauvais ajustement du coulisseau, etc. peuvent annuler une hypothèse de symétrie. Pour ces presses, la description de leurs caractéristiques peut être faite en utilisant des graphes correspondant à chacun des 36 éléments.

Chacun de ces quatre modèles décrit avec une précision croissante la raideur de la presse et implique une étude de plus en plus approfondie du comportement. Il faut souligner que le premier niveau d’approximation, la matrice de flexibilité proportionnelle, représente déjà une amélioration considérable de la description du comportement des presses.

FORGE3® PARALLÈLE

STRATÉGIE S.P.M.D

La parallélisation du code Forge3 a été effectuée par Stéphane Marie au cours de son doctorat [Marie 1997]. La combinaison d’une méthode de partitionnement et d’un solveur itératif a permit d’adopter une stratégie S.P.M.D. (Single Program Multiple Data ou un Seul Programme pour des Multiples Données) pour rendre Forge3 parallèle.

Le maillage initial est partitionné en plusieurs sous-domaines, leur nombre correspond à Nproc , le nombre de processeurs choisi. La version complète du code s’exécute sur chaque processeur, avec comme données initiales une partie du maillage. Certaines données supplémentaires (par rapport à la version séquentielle du code) sont nécessaires pour permettre de décrire les interfaces entre les sousdomaines et échanger les informations entre eux.

Les maillages des outils rigides sont lus par chaque processeur, ainsi que des paramètres définissants leur pilotage et le frottement. En ce qui concerne le modèle de raideur de presse exposé dans le chapitre précédant, il est traité de la même manière. La structure de données de chaque processeur concernant l’outillage est complétée par la matrice de raideur de presse associée à l’un des outil rigide. De cette manière, chaque processeur peut effectuer l’analyse de contact indépendamment des autres . Au cours de la simulation, chaque processeur construit la matrice et le vecteur de son système à résoudre, tout en tenant compte du contact et du frottement avec les outils rigides. Lors de la résolution des systèmes linéaires locaux, l’échange des parties partagées par les processeurs permet d’obtenir la solution du système global.

Dans le cas du problème multi-corps, le maillage de chaque corps est partitionné en même nombre de sous-domaines, correspondant au nombre de processeurs. La description des outils rigides est lue par chaque processeur comme dans le cas mono-corps. En revanche, l’enveloppe surfacique du corps maître (l’équivalent du corps rigide pour l’analyse de contact multi-corps) doit être reconstituée et ensuite recopiée sur l’ensemble des processeurs . Ainsi, chaque processeur dispose de toutes les informations nécessaires pour effectuer l’analyse de contact. Pour plus de détails sur l’algorithme parallèle de création des éléments de contact, nous renvoyons le lecteur à [Barboza 2004].

PARTITIONNEMENT

Partitionnement du maillage

La qualité du partitionnement influence les performances du solveur parallèle. Un bon partitionneur doit minimiser la taille des interfaces entre les sous-domaines. Par ailleurs, il doit équilibrer les tâches entres les processeurs, les sous-domaines devant avoir approximativement le même nombre d’éléments. Le partitionneur utilisé dans Forge3 se sert seulement de la topologie du maillage, c’est à dire de la connexion des éléments entre eux. Le partitionnement s’effectue en deux étapes.

Une première partition équilibrée est obtenue par un algorithme dit « glouton ». Pour un nombre donné de processeurs Nproc , par chaque sous-domaine le partitionneur détermine un élément aussi éloigné que possible des autres. Cet élément devient le centre du sous-domaine. On attribue une couleur différente à chacun de ces Nproc éléments, une couleur représentant un processeur. Ensuite, pour chaque élément colorié, on propage sa couleur à ses éléments voisins non coloriés. Une fois que tous les éléments sont coloriés, on obtient une première partition que l’on améliore ensuite.

La deuxième étape consiste à minimiser les interfaces, donc les communications. La couleur de chaque élément peut être modifiée afin de réduire le nombre de voisins. Un tétraèdre a au plus quatre éléments voisins, et donc de une à quatre couleurs possibles. Il y a donc cinq configurations de couleurs des voisins possibles en fonction de la couleur de l’élément considéré. On modifie la couleur du tétraèdre visité afin de minimiser une fonction coût qui prend en compte le nombre d’éléments par couleur (charge des processeurs) et le nombre de communications, c’est à dire le nombre de faces partagées par des éléments de couleurs différentes. L’algorithme itératif se déroule de la manière suivante : on visite un élément du domaine, on optimise les communications locales en modifiant ou non sa couleur, on passe à l’élément suivant non encore visité et qui ne fait pas partie des éléments voisins du tétraèdre que l’on vient de visiter. On procède ainsi jusqu’à ce que tous les éléments aient été visités [Coupez et al 1996].

Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE I. PRISE EN COMPTE DE LA RAIDEUR DES PRESSES DE FORGEAGE
I.1. MODÈLES DE RAIDEUR DES PRESSES DE FORGEAGE
I.1.1. Approche actuelle standardisée
I.1.2. Approche du projet NETTFORM
I.1.3. Approche du projet IMPRESS
I.1.4. Outils flottants dans Forge3®
I.2. FORMULATION DU PROBLÈME MÉCANIQUE
I.2.1. Équations d’équilibre et de conservation de la masse
I.2.2. Lois rhéologiques
I.2.3. Conditions aux limites mécaniques
I.2.4. Formulation faible
I.3. FORMULATION DU PROBLÈME DISCRET
I.3.1. Discrétisation temporelle et contact incrémental
I.3.2. Discrétisation spatiale
I.3.3. Modèle de presse
I.3.4. Linéarisation des équations discrètes
I.3.5. Implémentation dans Forge3®
I.4. VALIDATION PAR RAPPORT AU CAS ANALYTIQUE
I.5. CONCLUSION
CHAPITRE II. FORGE3® PARALLÈLE
II.1. STRATÉGIE S.P.M.D
II.2. PARTITIONNEMENT
II.2.1. Partitionnement du maillage
II TABLES DES MATIÈRES
II.2.2. Partitionnement des vecteurs et de la matrice
II.3. MÉTHODE DE RÉSIDU MINIMAL
II.4. PARTICULARITÉS PARALLÈLES
II.4.1. Produits matrice-vecteur
II.4.2. Produits scalaires
II.4.3. Calculs des normes infinies des vecteurs
II.4.4. Algorithme parallèle
II.4.5. Prise en compte de la raideur de presse
CHAPITRE III. MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE
III.1. PRINCIPE DE BASE
III.2. MÉTHODE DU COMPLÉMENT DE SCHUR
III.3. MÉTHODE FETI
III.4. MÉTHODE PRIMALE-DUALE
III.5. PRECONDITIONNEMENT
III.5.1. Méthode du complément de Schur
III.5.2. Méthode FETI
III.5.3. Méthode primale-duale
III.6. PROBLÈME DES MODES RIGIDES
III.6.1. Extraction des modes rigides
III.6.2. Problème hybride aux interfaces
III.6.3. Méthode itérative projetée
III.6.4. Méthode primale-duale
III.7. SOLUTION DU PROBLÈME CONDENSÉ AUX INTERFACES
III.7.1. Méthode OrthoDir préconditionnée
III.7.2. Méthode OrthoDir projetée
III.7.3. Méthode OrthoDir projetée de la méthode primale-duale
III.8. CONCLUSION
CHAPITRE IV. MÉTHODES DE DÉCOMPOSITION DE DOMAINE : TESTS
IV.1. ÉCRASEMENT D’UNE BARRE LONGUE
IV.2. CAS DU TRIAXE
IV.2.1. Calcul sur 2 sous-domaines
IV.2.2. Calcul sur 3 sous-domaines
IV.3. UNE POUTRE ENCASTRÉE
IV.4. CONCLUSION
CHAPITRE V. RÉSULTATS D’APPLICATIONS
CONCLUSION

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