Modèles de Landau aléatoires

Introduction générale

   L’intérêt qu’Anderson porta au transport électronique dans les milieux désordonnés [A], a donné naissance à un nombre considérable de travaux destinés à l’étude des opérateurs de Schrödinger aléatoires, introduits pour décrire rigoureusement ces types de structure. Anderson t valoir qu’en présence d’impuretés, les électrons auraient tendance à se localiser dans des régions bornées et proches de leurs positions initiales, éliminant ainsi toute possibilité de transport et donc de courant. Le mécanisme physique de cette localisation revient à supprimer l’effet tunnel à grande distance en raison de la décohérence induite par le milieu aléatoire. Suite à cette découverte, Anderson s’est vu attribuer le prix Nobel de la physique en 1977. L’analyse du transport électronique consiste à étudier le comportement du système étudié à travers l’évolution temporelle de paquets d’ondes. Considérons un espace de Hilbert H séparable et H : H → H un opérateur auto-adjoint de domaine D(H), décrivant le système étudié. Dans ce travail, on s’intéresse au comportement d’un électron dans l’espace physique de dimension d, Rd , et donc H = L2(Rd). Soit ψ ∈ D(H) un état initial tel que kψk = 1. L’évolution temporelle de l’état ψ est déterminée par l’équation de Schrödinger  Il est ainsi possible qu’un paquet d’ondes contenant une superposition infinie de fonctions propres produise du transport. Pour éviter ce phénomène et obtenir de la localisation dynamique, il est donc nécessaire d’obtenir un meilleur contrôle sur la décroissance exponentielle des fonctions propres. Pour surmonter celà, il est nécessaire d’aller au-delà de la localisation d’Anderson et de requérir un contrôle plus explicite de la constante Cφ. C’est ce que firent, dans un premier temps, Del Rio, Jitomirskaya, Last et Simon dans [DeRJLS1, DeRJLS2] lorsqu’ils ont soulevé la question : qu’est ce que la localisation ? Ils ont introduit un critère nommé (SULE), fonctions propres semi-uniformémemnt localisées (Semi-Uniformly Localized Eigenfunctions), qui décrit explicitement la constante Cφ en terme du centre de localisation xφ autour duquel φ décroît. Un autre type de propriétés de localisation a vu le jour plus tard dans [G, GK2] et y est intitulé (SUDEC ), décroissance sommable et uniforme des corrélations des fonctions propres (Summable-Uniform Decay of Eigenfunction Correlations). Cette dernière propriété est une variante de (WULE) introduite par [G] et elle fournit un contrôle de la corrélation des fonctions propres entre deux sites. Ces deux propriétés citées plus haut, entraînent bel et bien la localisation dynamique et sont généralement équivalentes [GK2]. Il était communément admis que (SULE) et (SUDEC ) étaient des notions de localisation plus fortes que la (DL). Cependant, [DeRJLS2,T] indiquèrent que davantage de précision et d’information sur la décroissance des fonctions propres peuvent se déduire par le simple fait de borner les moments des paquets d’ondes. Dans cette thèse nous revenons sur ces propriétés qui, au cours des 20 dernières années, ont été bien établies et longuement utilisées dans la littérature de la physique mathématique. Nous allons introduire trois catégories de propriétés équivalentes et étudierons les relations qui existent entre elles. La première catégorie correspond à la localisation dynamique, la seconde à (SULE) et (SUDEC ) pour une base de vecteurs propres, et puis la dernière catégorie est une forme plus forte de (SULE) et (SUDEC ) qui, cette fois-ci, seront vérifiées pour tous les vecteurs de l’image des projecteurs propres que l’on dénommera (SULE+) et (SUDEC+). Autrement dit, les propriétés sont vériées pour les vecteurs propres ainsi que leurs combinaisons linéaires. Nous signalerons que cette dernière forme de localisation entraîne une multiplicité nie tandis que ce n’est pas le cas pour les autres. La première partie de ce travail a pour but d’étendre les résultats de [DeRJLS2] et [T] et de présenter une classication claire de ces critères de localisation. Nous répondons en particulier à une question de [DeRJLS2] restée jusqu’à présent ouverte portant sur l’équivalence de (DL) et (SULE), et l’intervention de la multiplicité des valeurs propres. Notre motivation provient des opérateurs aléatoires [A, GK2, BJ, GK4, RM] et des opérateurs quasi-périodiques [G, JL], pour lesquels la localisation dynamique fut établie.

Conductance de bord

  On commence par dénir les fonctions de Heaviside régulières.
Définition 3.2.2. Soit g : R → [0, 1] une fonction lisse et décroissante. On dit que g est une fonction de Heaviside régulière si sa dérivée possède un support compact telle que g(x) = 1 pour x ≤ inf supp g 0 et g(x) = 0 pour x ≥ sup supp g 0 . Lorsque supp g 0 ⊂ I, on dira que g est une fonction de Heaviside régulière de I. Nous définissons ensuite la conductance de bord générée près du mur positionné en −a et pour une fenêtre spectrale I se situant dans la région de localisation du hamiltonien sans mur Hω. Signalons que la conductance de bord est habituellement dénie par −itr g 0 (Hω,a) [Hω,a,Λ2] , (3.2.12) lorsque l’intervalle I se situe dans une lacune spectrale de Hω. Cependant pour un intérêt physique, il est plus approprié de considérer le cas où I contient des énérgies associées à des états localisés, c-à-d I ∩ Σloc 6= ∅. Si on coupe avec un mur, les états ayant de telles énergies peuvent générer des courants supplémentaires que nous devons annuler. Pour ce faire, nous avons recours à une régularisation an que (3.2.12) soit bien définie. Des régularisations ont été parallèlement proposées dans [CG, CGH] ainsi que [EGS]. Dans la seconde approche de [EGS], les auteurs ont fait appel à une régularisation temporelle, dans le sens où ils ont considéré l’évolution de Λ1 sous l’action du groupe de Heinsenberg et pris une moyenne en temps. C’est cette régularisation que nous considérons dans ce travail.

Extension to graphs

   We turn to the proof of Theorems 2.4.1 and 2.4.2. Theorem 2.4.1 follows immediately from the proof of Theorem 2.1.1. The main point is to notice that the technical Lemma 4.1.3 is still valid in the case of subexponential growth, where the r.h.s of (4.1.12) becomes e Cσ,ζ,β(log L) β/ζ. In view of the proof Theorem 2.2.2, the Theorem 2.4.2 can be deduced by adapting the dierent steps which involve the geometry of the space. In particular, the technical result in Lemma 4.2.5 and Theorem 4.2.2 remain true if we take f(s) ≤ Ce (− log s) ζ/α in (i) and f(s) ≥ Ce −(− log s) ζ/α in (iv) for s ∈ (0, 1] in which case αφ ≥ Ce −|xφ| α.

Table des matières

Résumé
Abstract
Chapitre 1 Introduction générale 
Chapitre 2 Présentation des travaux de thèse – Partie 1 
2.1 Localisation dynamique
2.2 Critères de localisation 
2.2.1 SUDEC et SULE
2.2.2 Des versions fortes de SUDEC et SULE
2.3 Relation entre les trois classes de propriétés 
2.4 Application aux graphes
2.5 Localisation dynamique pour des opérateurs ergodiques
Chapitre 3 Présentation des travaux de thèse – Partie 2 
3.1 Modèles de Landau aléatoires
3.1.1 Localisation
3.1.2 Conductance de Hall
3.2 Modèles avec mur 
3.2.1 Mur électrique
3.2.2 Mur magnétique
3.2.3 Conductance de bord
3.3 Egalité des conductances
3.4 Stratégie de la preuve 
Chapter 4 Spectral properties of dynamical localization 
4.1 Dynamical localization
4.2 SULE, SUDEC
4.3 SULE+, SUDEC+ 
4.4 Relationships between classes of localization properties
4.5 Generalized eigenfunction expansion 
4.6 Counterexamples 
4.7 Extension to graphs 
4.8 Dynamical localization for ergodic Hamiltonians 
Chapter 5 Hall/Edge conductances 
5.1 Edge quantities: Proof of Lemma 3.4.1
5.1.1 Vanishing trace
5.1.2 Trace class property
5.2 Contributions of the Bulk quantities
5.2.1 Proof of Lemma 3.4.2
5.2.2 Proof of Lemma 3.4.3
5.2.3 Proof of Lemma 3.4.4
5.3 Bulk-Edge equality
Appendix A 77
A.1 Pure point spectrum under (DL)
Appendix B 79
B.1 Technical tools
B.2 Strong convergence
B.3 Heler-Sjöstrand formula
Bibliography

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