Modèles de diffusion de la lumière par une et plusieurs particules sphériques

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L’anémométrie doppler laser et anémométrie phase doppler

L’anémométrie doppler laser (LDV : Laser Doppler Velocimetry) a été développée dans les années 60 (Yeh, et al., 1964). Aujourd’hui, l’anémométrie Doppler Laser consiste à faire croiser deux faisceaux laser incidents et cohérents (formés à partir d’un faisceau unique, grâce à un séparateur de faisceaux), où le volume de mesure est défini par la zone de croisement des faisceaux.
La particule en mouvement, éclairée par les deux ondes incidentes, diffuse deux ondes lumineuses en direction du détecteur (photomultiplicateur ou diode à avalanche), avec une fréquence différente de celle de l’onde incidente associée en raison de l’effet doppler. Les fréquences de décalage doppler sont différentes pour les deux ondes diffusées. Le détecteur enregistre l’intensité qui résulte de la superposition des deux ondes diffusées, de fréquence légèrement différente, ce qui produit un phénomène de battement (Durst, et al., 1981).
Le signal enregistré par le détecteur est sous la forme d’un signal temporel de forme gaussienne (Figure 1) modulée en amplitude. La fréquence de modulation est proportionnelle à la composante de la vitesse de la particule qui est perpendiculaire à la bissectrice des deux axes de propagation des faisceaux.
Pour avoir le sens du mouvement de la particule, on peut utiliser par exemple une cellule de Bragg, qui décale en fréquence l’un des faisceaux incidents. L’anémométrie phase doppler, développée par Bachalo (Bachalo, et al., 1984), est une extension de l’ADL qui permet la mesure de la taille de la particule éclairée, déduite de la phase du signal.
Les sondes de PDA permettent d’analyser des sprays d’une gamme de diamètres typique de 0.5 µm à 2.5 mm, mais avec une dynamique instantanée comprise entre 20 et 50.

Le comptage optique

Des particules du milieu que l’on souhaite analyser par comptage optique sont amenées par aspiration et sont éclairées une par une par un faisceau laser. Elles diffusent la lumière en direction d’un détecteur qui mesure l’intensité de la lumière diffusée en fonction de l’angle de diffusion. La particule éclairée est alors comptée et son intensité lumineuse permet de retrouver sa taille (Ovarlez, 2005). La Figure 2 illustre un dispositif de comptage de particules.
Les compteurs optiques sont des appareils servant à mesurer les concentrations en particules et les distributions de tailles de particules là où la maitrise de la contamination est imposée, c’est-à-dire :
‐ pour la mesure d’efficacité de filtres à particules,
‐ dans le contrôle de propreté des salles blanches (ou salles propres), de hottes, de lignes de production (pour la fabrication de microélectronique),
‐ de contrôle de pollution environnementale (Bakrona, 2012).
Les compteurs optiques sont efficaces pour mesurer la concentration pour des tailles de particules de 0.1 µm à quelques dizaines de µm (Blanchard, et al., 2004).

Techniques plein champ

Dans cette section, je décris des techniques plein champ (d’intégration spatiale, ponctuelles dans le temps), parmi les plus courantes : l’imagerie classique et la PIV 2D (section 1.3.1), la PIV 3D (section 1.3.2), l’holographie numérique (section 1.3.3), l’imagerie en défaut de mise au point (section 1.3.4), et la technique d’arc-en-ciel (section1.3.5 ).

L’imagerie classique (ou ombroscopie) et PIV2D

L’imagerie classique consiste en la prise d’une photographie d’un spray par une caméra. L’image enregistrée est analysée par traitement d’image pour en retirer des informations sur les particules (taille, forme, orientation), pour étudier la collision de deux gouttes (Figure 3) par exemple (Planchette, et al., 2010), ou sur le spray entier (Figure 4): angle de cône du spray, vitesse de pénétration … (Klein-Douwel, et al., 2007)
Le grand avantage de l’imagerie classique est de conserver une partie des informations sur la forme des particules (qui dans un spray ne sont pas toujours des sphères ou des sphéroïdes, mais aussi des ligaments ou des structures plus complexes encore). Le principal inconvénient de l’imagerie classique est de ne pas permettre de caractériser une partie du spray, qui est cachée. De plus, le défaut de mise au point gène la caractérisation des particules : Il peut gêner la détection de particules ou faire apparaître des particules plus grosses qu’elles ne le sont ce qui doit être pris en compte lors du dépouillement des images de spray (Fdida, 2008 pp. 50-53).
Les caméras (de recherche) les plus récentes, telles que celles proposées par l’entreprise Lavision permettent une fréquence d’enregistrement de l’ordre 10000 fps, voire plus. Les meilleures résolutions spatiales (pour des résolutions temporelles moindres) des caméras proposées par ce constructeur sont de l’ordre de 107 pixels. Dans la plupart des dispositifs expérimentaux d’imagerie classique, les particules doivent avoir une taille plus grande que 5 µm pour être observables. L’imagerie permet également la mesure des vitesses instantanées des particules en mouvement, par la technique de la PIV 2D (particle imaging velocimetry) dont un dispositif est montré Figure 5. Pour cela, un laser à double pulse (avec une durée de pulse typique de 10 ns) éclaire les particules et deux photographies d’un spray (ou d’un fluide ensemencé) sont prises.
La PIV 2D permet de mesurer deux composantes du vecteur vitesse d’un ensemble de particules (par corrélation croisée, à partir de fluctuations d’intensité enregistrée) ou de chaque particule (par tracking). Les écoulements étant tridimensionnels, la PIV 3D se développe depuis quelques années, extension de la PIV 2D à la 3ème dimension. Ce développement est abordé dans la prochaine section.

La PIV 3D

Il existe deux techniques qui étendent la PIV 2D à la 3ème dimension : La PIV stéréoscopique et la PIV tomographique. La PIV stéréoscopique permet de mesurer 3 composantes de vitesses de particules situées dans un plan laser. Les particules sont photographiées par deux caméras avec deux angles de vue différents. L’une des dimensions du volume de mesure est bien plus petite que les 2 autres. Il ne s’agit donc pas vraiment de PIV 3D mais plutôt de PIV 3C-2D.
La PIV tomographique été introduite par Elsinga (Elsinga, et al., 2006a). Son principe est résumé sur la Figure 6. Il s’agit d’une extension de la PIV stéréoscopique en utilisant le principe de reconstruction tomographique utilisée en imagerie en résonance magnétique (IRM). Un certain volume de mesure est constitué de plusieurs voxels (c’est-à-dire des « pixels » à 3 dimensions). Des images de la lumière diffusée par un champ de particules sont enregistrées par un ensemble de caméras CCD (typiquement 4).
Un algorithme permet de calculer une intensité pour chaque voxel du volume de mesure en utilisant les 4 images enregistrées par les caméras CCD. Entre deux instants, l’intensité sur chaque voxel évolue. A partir des fluctuations d’intensité au cours du temps, les champs des vecteurs vitesse 3D sont reconstruits.
Le principal inconvénient de la PIV 3D est la complexité du montage utilisé (avec au moins 4 caméras synchronisées). Le principal avantage de la PIV 3D est le fait d’avoir une très large gamme de volume de mesure possible (de quelques mm3 jusqu’à de grands volume, d’après le constructeur Lavision).
Elsinga et al. ont comparé des mesures de vitesses 3D de particules mesurées par PIV tomographique et par stéréo-PIV. La différence maximale de mesure de vitesses entre les deux techniques a été de 0.5 m.s-1, pour une gamme de vitesse allant de 0 à 6 m.s-1, soit une différence maximale de 10%, et des champ de vitesses de même forme pour les deux techniques (Elsinga, et al., 2006b) .

L’holographie numérique

L’holographie numérique permet de mesurer individuellement les positions 3D d’un ensemble de particules éclairées. On doit cette technique à Gabor qui a introduit son principe en 1948 (Gabor, 1948). L’invention du laser a permis de s’affranchir des problèmes de cohérence et d’enregistrer des hologrammes de qualité. Un faisceau laser éclaire les particules qui diffusent la lumière dans tout l’espace. Les interférences entre la lumière diffusée et un faisceau de référence (le faisceau incident lui-même ou un faisceau cohérent avec le faisceau incident) forment un hologramme qui peut être enregistré sur une plaque holographique ou par une caméra (Figure 7).
Avec les progrès réalisés dans le domaine des caméras, l’holographie est devenue une science numérique. Pour mesurer les positions 3D des particules, le champ de particules est reconstruit plan par plan, en prenant pour modèle l’approximation de Fresnel. Les positions 3D sont mesurées, avec une précision bien moindre (entre 10 et 100 fois) le long de l’axe de visée de la caméra CCD (Martin, et al., 2011). La Figure 8 présente un exemple d’hologramme et deux plans de mise au point reconstruits.
L’holographie numérique permet en plus de la mesure des positions 3D des particules de mesurer les diamètres des particules (Darakis, et al., 2010). Les mesures de diamètres sont réalisées avec une précision relative de quelques pourcents.

L’imagerie en défaut de mise au point (ILIDS)

L’imagerie en défaut de mise en point, proposée par Glover (Glover, et al., 1995), est une extension des travaux réalisés par Konïg (König, et al., 1986) qui permet la mesure de la distribution en taille de particules sphériques, des vitesses de particules et d’obtenir une cartographie 2D en diamètres d’un spray.
Konïg et al. s’étaient intéressés à la mesure du diamètre d’une particule en diffusion vers l’avant, par interférométrie en utilisant l’optique géométrique. Une particule éclairée par un faisceau laser diffuse vers l’avant principalement des rayons lumineux qui subissent une réflexion externe (rayons d’ordre p 0 ) et des rayons lumineux qui subissent deux réfractions (rayons d’ordre p 1). La lumière diffusée par la particule est collectée par une lentille, puis enregistrée sur une caméra CCD (Figure 9).
Si la caméra est placée au plan focal de la lentille, deux taches lumineuses, appelées points de gloire, sont observées. Elles correspondent aux rayons lumineux réfractés p 1 ou réfléchis p 0 par la particule. Si la caméra est placée hors du plan focal, alors des franges d’interférences sont observées. Pour plusieurs particules éclairées, on observe plusieurs cercles contenant les franges (Figure 10).

Modèles de diffusion de la lumière par une et plusieurs particules sphériques
Dans cette seconde partie, je présente une liste non exhaustive de modèles de diffusion de lumière par une particule sphérique, homogène et isotrope. Dans un premier temps, je décrits les différents modèles de diffusion de la lumière par une particule du modèle le plus rigoureux au modèle le moins rigoureux (sections 2.1.1 à 2.1.5) auxquels je me suis intéressé au cours du travail de thèse. Puis j’étends ces modèles au cas d’un ensemble de particules diffusant la lumière où les interférences entre les lumières diffusées par les particules sont prises en compte (section 2.2). La section 2.2.4 qui clôt la seconde partie du mémoire est une description du code de simulation numérique basé sur la théorie de Lorenz-Mie qui simule les figures d’interférences crées par un ensemble de particules dans le cas où la diffusion multiple est négligée.
Diffusion de la lumière par une particule sphérique, homogène et isotrope
La théorie de Lorenz-Mie
La théorie de Lorenz-Mie a été introduite par Ludvig Lorenz en 1890 (dans le cadre de la théorie de l’éther) et indépendamment par Gustav Mie en 1908 (dans le cadre de la théorie électromagnétique de Maxwell). Cette théorie est une résolution rigoureuse des équations de Maxwell pour décrire la diffusion d’une onde électromagnétique plane par une particule sphérique.
La théorie de Lorenz-Mie, initialement développée pour décrire la diffusion d’une onde plane par une particule sphérique, homogène et isotrope, a été généralisée à partir des années 80 à des éclairements de forme arbitraire (par exemple gaussien), sur des particules non sphériques ou encore possédant des gradients d’indices de réfraction à l’intérieur de la particule (Gouesbet, 2009). Je décrits dans cette section la théorie de Lorenz-Mie (ou plutôt les solutions de la théorie de Lorenz-Mie) pour des particules sphériques, homogènes et isotropes.
A cause de la géométrie de la particule, les champs électriques et magnétiques sont exprimés en coordonnées sphériques représentées Figure 17.
Dans la théorie de Lorenz-Mie, le champ électrique et le champ magnétique de l’onde diffusée par la particule en un point de l’espace sont chacun une somme infinie de champs correspondant à des ondes partielles.
A l’aide des équations de Maxwell, des conditions de continuités aux frontières de la particule, de la conservation de l’énergie, et du fait que les champs soient finis au centre de la particule, le champ électrique et le champ magnétique en un point sont prédits. Je présente ici les 3 composantes (en coordonnées sphériques) du champ électrique et du champ magnétique diffusés par la particule, en champ proche (les composantes radiales ne sont pas négligées): n 1n   2n  1″1 Er    E0 cosi1an    n  krn  kr   Pn   cos n n  1n 1.
Diffusion de la lumière par plusieurs particules
Expression de l’intensité lumineuse en un point d’un détecteur en utilisant le modèle de la diffusion simple
On peut considérer 3 modèles de diffusion appliqués à un ensemble de particules : cohérente, multiple et simple.
Dans un modèle de diffusion cohérente, les particules sont si rapprochées les unes des autres, qu’une onde lumineuse est diffusée par l’ensemble comme si elle était diffusée par une unique particule. Il s’agit de la «diffusion cohérente de la lumière » qui peut s’appliquer aux agrégats de particules (Gouesbet, et al., 1999).
Si un nuage de particule éclairées est optiquement épais, les photons diffusés par le nuage ont chacun interagi avec plusieurs particules (pour la majorité d’entre eux) avant d’arriver vers le détecteur: une onde lumineuse est diffusée par une particule qui la diffuse vers une autre particule…jusqu’au détecteur. On appelle ce phénomène « diffusion multiple de la lumière».
Au contraire, si un nuage de particules éclairées est optiquement mince, alors les ondes diffusées par le nuage de particules jusqu’au détecteur n’ont chacune interagi qu’avec une seule particule (pour la majorité d’entre elles). Ainsi, chaque particule peut être considérée comme étant isolée des autres. On peut alors négliger la diffusion multiple de la lumière et considérer les particules comme des sources de lumière indépendantes les unes des autres. Il s’agit du « modèle de diffusion simple» par les particules. Le code holo_mie, développé au Coria pour simuler la diffusion de la lumière par un nuage de particules, et dont je me suis servi au cours de cette thèse, est décrit dans la section 2.2.4 et s’inscrit dans le cadre de la diffusion simple.
Nous considérons par la suite un ensemble de particules sphériques, homogènes (l’indice de réfraction est le même en tout point d’une particule), isotropes (l’indice est le même dans toutes les directions), transparentes (indice de réfraction réel), d’indice de réfraction et de taille quelconques (identiques ou différentes). Elles sont éclairées par un faisceau laser plan pulsé (avec un pulse d’une durée de l’ordre de 10 ns) dans le cadre du champ lointain (les tailles et les distances inter-particules sont négligeables par rapport aux distances détecteur-particules). Le dispositif est résumé dans la Figure 29.
Sur la Figure 29, il y a deux systèmes de coordonnées. Dans le repère 3D cartésien ( OXYZ ) , les particules Pi ont leur centre défini par la position xi , yi , zi . i est un entier qui désigne l’une des particules parmi les autres. Le repère cartésien 2D O ‘ représente la surface du détecteur.
Le faisceau incident a pour direction l’axe OZ . L’intensité lumineuse en un point M de l’espace dans ce repère est notée I ( xM , y M , zM ) .
Le repère (O ‘ ) formé par les axes O ‘ et O ‘ caractérise la surface du détecteur. Le point O ‘ est le centre du détecteur et est placé dans le plan XOZ . La distance séparant les points O et O ‘ sera appelée distance R0 . L’intensité lumineuse en un point du détecteur dans ce repère est notée I( M , M ) . Le champ électrique en un point du détecteur Ek M , M diffusé par une particule Pk est caractérisé par une amplitude Sk ( M , M ) , une phase ( M , M ) et une pulsation identique pour tous les champs diffusés par les particules :
Ek M , M S k M , M e i t Φk M , M (2. 30)
Etotal M , MEk M , M (2. 31)
Le champ électrique total Etotal M , M en un point du détecteur est la somme des champs diffusés par chaque particule. N part est le nombre total de particules. L’intensité lumineuse en un point de la caméra CCD en champ lointain vaut, avec Etotal* le conjugué de Etotal : I M , M Etotal ( M , M )Etotal * ( M , M ) (2. 32)
L’intensité en un point peut s’exprimer de la façon suivante :
N part N part N part
I M , MI k M , MIkl ( M , M ) (2. 33)
Cette équation est la plus importante de ce mémoire. Détaillons les termes qui la constituent. Les termes Ik (ou Il ) sont les intensités lumineuses qui seraient enregistrées pour les particules seules:
I k M , M Sk 2 M , M (2. 34)
La contribution Ikl s’exprime de la façon et suivante : I kl ( M , M ) 2 I k M , M Il M , M cos Φl M , M Φk M , M (2. 35)
I kl est un terme qui correspond aux interférences lumineuses entre les lumières diffusées par les couples de particules. Ce terme dépend de la différence Φl M , M Φk M , M entre les ondes diffusées par le couple de particules intensités diffusées si les particules étaient seules.
C’est aux termes associés aux couples de particules Ikl de l’équation (2. 33), de hautes fréquences spatiale, que nous nous intéresseront plus particulièrement par la suite. Ils contiennent les informations sur les coordonnées relatives 3D, les diamètres et les indices de réfraction des particules.
Pour comprendre l’influence des caractéristiques des particules, en particulier des positions 3D, il est nécessaire de calculer la différence de phase Φl M , M Φk M , M entre les ondes diffusées par les particules.
Calcul de la différence de phase entre les ondes diffusées par les particules en fonction des  coordonnées relatives d’un couple de particules
Il est plus facile de calculer les différences de phase entre les ondes diffusées par les couples de particules dans le repère ( OXYZ ) , puis de calculer ces différences de phase dans le repère (O ‘ ) . Les distances entre les centres des particules « k » et « l » et le point M sont notées rk et rl .
Les centres des particules Gk et Gl occupent les positions xk , yk , zk et xl , yl , zl . Le projeté du point M dans le plan ( XOZ ) est le point H . La droite OH et l’axe OZ forme l’angle , lequel désigne l’angle de diffusion des particules (le détecteur est très éloigné des particules).
Pour calculer la différence de phase entre les ondes diffusées par les particules, nous allons procéder à certaines approximations. On considère que les dimensions du détecteur sont petites par rapport aux distances origine-caméra CCD. Les distances inter-particules ainsi que les distances qui séparent les particules du point O sont négligeables par rapport aux distances origine-caméra CCD: xM , z M , yM , RM , rk , rl xl , xk , zl , z k , yl , yk , Gl Gk
Simulation numérique de la diffusion de la lumière par plusieurs particules à l’aide du code Holo_Mie
Le code holo_mie a été programmé par Xue Cheng Wu et Gérard Gréhan. Il est basé sur la théorie de Lorenz-Mie (décrite dans la section 2.1.1) pour calculer l’intensité lumineuse pour chaque pixel d’une camera CCD. Dans ce code, les particules sont parfaitement sphériques, homogènes et isotropes et elles sont éclairées par une onde plane monochromatique pulsée (type PIV), de polarisation rectiligne, avec pour direction de propagation l’axe OZ . Le centre de la caméra CCD O ‘ est situé dans le plan XOZ (Figure 30). La partie « calcul » du code a été réalisée en langage Fortran tandis que l’interface utilisateur a été réalisée en langage Delphi.
Les champs électrique et magnétique totaux Ewt et Hwt  sont calculés en faisant la somme des différentes contributions de champs électriques Ewi   et magnétiques Hwi , diffusés par les N part  particules, et calculés à l’aide de la théorie de Lorenz-Mie (section 2.1.1). w la variable cartésienne x , y ou z du repère cartésien centré sur chaque particule (pour chaque particule, il y a un repère cartésien dont les axes sont parallèles aux axes OX , OY et OZ avec pour origine le centre de la particule). N part E w t Ewi (2. 67)

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Table des matières

Introduction
Première partie : Techniques de diagnostic optique de milieux multiphasiques existantes
1 Techniques de diagnostic optique de milieux multiphasiques existantes
1.1 Introduction
1.2 Techniques ponctuelles
1.2.1 L’anémométrie doppler laser et anémométrie phase doppler
1.2.2 Le comptage optique
1.3 Techniques plein champ
1.3.1 L’imagerie classique (ou ombroscopie) et PIV2D
1.3.2 La PIV 3D
1.3.3 L’holographie numérique
1.3.4 L’imagerie en défaut de mise au point (ILIDS)
1.3.5 La réfractométrie d’arc-en-ciel
1.4 Conclusion
Deuxième partie Modèles de diffusion de la lumière par une et plusieurs particules sphériques
2 Modèles de diffusion de la lumière par une et plusieurs particules sphériques
2.1 Diffusion de la lumière par une particule sphérique, homogène et isotrope
2.1.1 La théorie de Lorenz-Mie
2.1.2 La théorie de Debye
2.1.3 La théorie de Nussenzveig
2.1.4 Modèle de l’optique géométrique « classique » : déviation de rayons lumineux par une particule
2.1.5 Interférences entre rayons lumineux diffusés par une particule sphérique
2.2 Diffusion de la lumière par plusieurs particules
2.2.1 Expression de l’intensité lumineuse en un point d’un détecteur en utilisant le modèle de la diffusion simple
2.2.2 Calcul de la différence de phase entre les ondes diffusées par les particules en fonction des coordonnées relatives d’un couple de particules
2.2.3 Expression de l’intensité totale de la lumière diffusée par les particules en fonction de leur coordonnées relatives
2.2.4 Simulation numérique de la diffusion de la lumière par plusieurs particules à l’aide du code Holo_Mie.
Troisième partie Représentations spectrales des franges d’interférences par transformation de Fourier
3 Représentations spectrales des figures d’interférences par transformation de Fourier.
3.1 La transformation de Fourier bidimensionnelle
3.2 Représentation de la transformation de Fourier discrète d’un signal 2D
3.3 La fenêtre de pondération de Blackman-Harris
3.4 Influences des caractéristiques des particules
3.4.1 Influence de la position relative 3D des particules
3.4.2 Influence des diamètres des particules
3.4.3 Influence des indices de réfraction sur les représentations spectrales des franges
d’interférences
3.5 Cas de plus de deux particules dans le volume de mesure
Quatrième partie Exploitation des représentations spectrales des figures d’interférences pour reconstruire le champ de particules : positions relatives 3D, diamètres, et indices de réfraction
4 Exploitation des représentations spectrales des figures d’interférences pour reconstruire le champ de particules : positions relatives 3D, diamètres, et indices de réfraction
4.1 Reconstruction d’un champ de particules quasi-identiques
4.1.1 Deux caméras nécessaires pour reconstruire le champ de particules
4.1.2 Interactions entre 3 particules deux à deux
4.1.3 Interactions entre un nombre quelconque de particules deux à deux
4.1.4 Interactions entre une particule et toutes les autres particules éclairées
4.1.5 Reconstruction du champ de particules pour des particules de caractéristiques quasi identiques
4.2 Reconstruction du champ de particules pour des particules de diamètres différents et d’indice de réfraction identiques
4.3 Fonction de diffusion composite
4.3.1 Principe de construction de la fonction de diffusion composite
4.3.2 Arc-en-ciel composite pour différentes configurations
4.4 Principe de construction de la fonction de diffusion composite
Conclusion et perspectives
ANNEXES
ANNEXE A. Calcul de la différence de chemin optique entre rayons lumineux réfléchis (p=0) et réfractés (p=1) par une particule, en diffusion vers l’avant et de la fréquence spatiale associée.
ANNEXE B. Calcul du coefficient 
ANNEXE C. Influences sur les franges d’interférences de la longueur d’onde du faisceau incident, de l’angle d’ouverture et de la distance particules-camera.
C.1. Influence de la longueur d’onde et de l’angle d’ouverture max min 
C.2. Influence de la distance origine-caméra R0
ANNEXE D. Cas particuliers de topographie de taches en diffusion vers l’avant.
ANNEXE E. Production scientifique
E.1. Articles de revue internationale à comité de lecture
E.2. Actes de conférences francophones
E.3 Actes de conférences anglophones

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