MODELE STOCHASTIQUE D’ATOMISATION D’UN JET ASSISTE PAR AIR

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Analyse des mécanismes d’atomisation secondaire

Nous allons maintenant présenter les résultats expérimentaux concernant la phase d’atomisation secondaire. Pour caractériser les fragments liquides dans le champ lointain, les auteurs ont mesuré l’évolution d’une échelle moyenne appelé diamètre de Sauter. Nous présenterons dans un premier temps les mesures de cette variable réalisées par J.C. Lasheras et al. 1998 [52]. Puis, nous décrirons les différents mécanismes qui peuvent être responsables de son évolution et les différentes échelles typiques en résultant.

Résultats expérimentaux

Dans l’étude de Lasheras et al. [52], l’évolution du diamètre de Sauter D32 a été mesurée en fonction de la distance axiale par rapport à l’injecteur. Son expression est   ( ) ( )  ∫ ( ) ( )  ∫ ∞ ++∞  =0.
Dans cette expérience, le liquide (de l’eau) est injecté par un orifice circulaire de diamètre D m l = 0.0038 à une vitesse variant entre 0.13 m / s et 0.55 m / s . Le gaz (de l’air) est injecté à une distance de l’axe du jet égale à Dg 2 où Dg = 0.0056 m . La vitesse débitante du gaz varie entre 119 m / s et 140 m / s . Les valeurs de M sont donc comprises entre 1426 et 79 , celles du nombre de Weber entre 1270 et 1262 et celles du nombre de Reynolds Re g entre 783 et 3315 .
Les résultats obtenus sont représentés sur les figures 1.5 et 1.6. Tout d’abord, on remarque que la première valeur mesurée se situe à x / Dg = 10 . Cette valeur varie en fonction des vitesses débitantes du liquide et du gaz :
• A vitesse débitante de gaz constante, plus la vitesse débitante de liquide est grande, plus la valeur du D32 est grande, et ceci sur toute la distance sur l’axe.
• A vitesse débitante de liquide constante, plus la vitesse débitante de gaz est faible, plus l valeur du D32 est grande, et ceci sur toute la distance sur l’axe.
Les fortes valeurs du rapport M favorisent donc la fragmentation.
L’évolution du D32 en fonction de la distance axiale fait apparaître également un comportement spécifique :
• Pour 10 < / < 20 x Dg , on note une décroissance du D32 vers une valeur minimale.
• Pour 20 < / < 80 x Dg , le D32 augmente.
Ces conclusions doivent être reliées à un ou plusieurs mécanismes physiques. Nous parlerons ici d’atomisation secondaire pour tous les mécanismes physiques faisant intervenir les fragments détachés du cœur liquide. Nous présenterons donc différents mécanismes pouvant aboutir à la fragmentation ou à la coalescence des éléments liquides, puis nous montrerons ceux d’entre eux qui dominent dans cette expérience. Ceci nous permettra de proposer des modèles pour décrire ce type de spray et d’évaluer la validité de nos résultats.

Echelles typiques de tailles après la rupture

Des échelles typiques peuvent être obtenues à partir des mécanismes d’atomisation décrits précédemment. Ces échelles sont très importantes car elles permettent d’estimer l’ordre de grandeur de la taille des gouttes dans l’écoulement. Il existe plusieurs études sur ce sujet. Certaines construisent cette échelle à partir des mécanismes d’atomisation secondaire et d’autres à partir des mécanismes d’atomisation primaire.
L’échelle typique associée aux mécanismes d’atomisation secondaire est en général basée sur un nombre de Weber critique Wec : U 2 We r c t ρ σ = (1.42)
A partir de cette valeur critique, il n’est plus possible de fragmenter l’élément liquide considéré. Dans l’expression (1.42), rt est l’échelle typique des éléments liquides, ρ la masse volumique et U l’échelle de vitesse. Ces paramètres doivent être déterminés par le mécanisme physique responsable de l’atomisation.
Cisaillement
Nous avons vu que le mécanisme d’atomisation lié au cisaillement est issu de la compétition entre les forces aérodynamiques exercées sur l’élément liquide et les forces de tension de surface. Le nombre de Weber associé à ce mécanisme est alors donné par l’expression (1.36). L’échelle typique associée à ce mécanisme est donc : ( )2 g g p c t u u Wer – = ρ σ (1.43)

Approches numériques existantes pour la simulation de l’atomisation primaire

L’analyse en terme d’instabilités est qualitative, elle met en évidence le scénario physique qui domine la désintégration du jet liquide. En pratique, il est nécessaire de connaître l’évolution des grandeurs caractéristiques du spray en chacune de ses positions, d’où la nécessité de la simulation numérique. Ce sous-chapitre donne un très bref résumé des différentes approches numériques existantes.

Simulation numérique directe

Les méthodes de type simulation numérique directe (DNS) pour les écoulements diphasiques consistent à identifier une interface liquide/gaz dans le domaine de calcul. Pour cela, il existe deux approches : Lagrangiennes appelées « Front Tracking » et Eulériennes appelées « Front Capturing ».
Les méthodes Lagrangiennes reposent sur le suivi du front par l’intermédiaire d’une résolution explicite de l’interface. On peut citer la méthode des marqueurs G. Tryggvasson et al. 2000 [96] dans laquelle l’interface est représentée par un ensemble de points (marqueurs) connectés entre eux. Ces points se déplacent sur un maillage fixe à la vitesse locale de l’écoulement. Ce type de méthodes permet de résoudre très précisément l’interface si le champ de vitesse est bien résolu.
Les méthodes Eulériennes sont plus couramment utilisées pour simuler les écoulements diphasiques. Elles consistent à transporter un scalaire dans l’écoulement. Parmi celles-ci, on distingue deux types d’approches : l’approche « Volume of Fluid » (VOF) et l’approche Level Set. Dans les deux cas, l’équation de transport pour le scalaire ψ est donnée par la relation (1.58).

Modèle ELSA (Eulerian Lagrangian Spray Atomization)

Ce modèle est basé sur une approche Eulérienne du milieu diphasique traité comme un seul fluide (mélange liquide/gaz) à masse volumique fortement variable. Il décrit à la fois le comportement de l’écoulement à grande échelle (dard liquide, angle du spray …) mais également à petite échelle (atomisation ou coalescence …) pour des nombres de Weber et de Reynolds élevés.
Cette approche a été développée par A. Vallet et al. 2001 [99] et repose sur une analogie entre le processus d’atomisation dans de telles conditions et le mélange turbulent. Dans la théorie de la turbulence développée par A.N. Kolmogorov en 1941 [46], le comportement des grandes échelles n’est pas influencé par la viscosité. En revanche, aux petites échelles, il existe un équilibre entre les forces de viscosité et les forces d’inertie. Cet équilibre se traduit par un nombre de Reynolds égal à 1. Cette valeur correspond à la dissipation de l’énergie cinétique sous forme d’énergie interne. Pour le processus d’atomisation, c’est la compétition entre les forces de tension de surface et les forces d’inertie qui régit l’écoulement à petite échelle. C’est donc le nombre de Weber qui sera utilisé. L’analogie avec le mélange turbulent réside dans la possibilité de déterminer les caractéristiques des grandes échelles sans faire intervenir ce nombre. En revanche, aux petites échelles, il est très important car il impose l’échelle typique moyenne associée à la phase liquide.
L’équation permettant de calculer la dispersion de la phase liquide est alors écrite pour la variable Y qui vaut 1 dans la phase liquide et 0 dans la phase gazeuse. En chaque point de l’écoulement, la variable Y est la fraction volumique moyenne et la variable Y~ = ρY ρ est la fraction massique moyenne de liquide. La densité moyenne de mélange est alors définie par : ( ) l gY Y ρ ρ ρ ~ 1 ~ 1– = + (1.60)
L’équation pour le transport de la fraction massique moyenne fait intervenir le terme non fermé ρui~’ Y‘ où Y‘= Y – Y~ et ui‘= ui – u~i . Ce terme correspond à la dispersion du liquide due aux fluctuations turbulentes. Deux modèles ont été proposés pour le modéliser : le modèle de diffusion et le « Quasi Multiphase Model ».
La taille moyenne des gouttes, parcelles de liquide ou des ligaments, est calculée dans ce modèle par l’intermédiaire de Σ , la densité d’interface moyenne dans l’écoulement diphasique. Quand l’écoulement est composé uniquement de gouttes de même diamètre dans la phase gazeuse, la connaissance de Σ et Y~ permet de calculer le rayon des gouttes et la densité de nombre de gouttes par : = l ~ρ3 et2 2 2 3 ~ 36 Y n lρ π ρ Σ = (1.62)

Nouvelle approche stochastique, sa position et l’idée de base

Le but est de proposer un nouveau modèle simple d’atomisation primaire permettant de déterminer statistiquement la configuration du cœur liquide ainsi que la position, la vitesse et la taille des éléments détachés du cœur liquide. Ces éléments devront être ensuite soumis à l’écoulement de gaz. Leur dynamique et l’évolution de leurs tailles devront donc être prédites. L’écoulement du gaz est modélisé par une approche de simulation des grandes échelles.
Dans les conditions d’un moteur de type moteur-fusée, Diesel, ou d’avion, les nombres de Weber et de Reynolds sont grands, et le nombre de fragmentations par unité de temps (fréquence de fragmentation) est très élevé. Le processus d’atomisation peut alors être considéré comme une cascade de fragmentations contrôlée par les mécanismes de formation. L’approche que nous utilisons repose donc sur l’hypothèse de symétrie d’échelle pour l’échelle typique de taille du liquide. Cette hypothèse a été formulée par M. Gorokhovski et al. 2003 [34] et plusieurs applications ont été réalisées : M. Gorokhovski et al. 2003 [34], Apte et al. 2003[3] et I. Vinkovic et al. 2005 [101]. Dans ces applications, les échelles de liquide sont représentées par des sphères appelées parcelles. Ces parcelles représentent un ensemble statistique d’échelles de mêmes tailles et vitesses. La phase d’atomisation primaire est donc simulée par la fragmentation d’une sphère de la taille de l’injecteur comme sur la figure 1.15 (en rouge) [3]. L’échelle géométrique choisie est le rayon d’une sphère, ce qui ne peut pas réellement représenter la phase d’atomisation primaire mais plutôt d’atomisation secondaire.

Modèle stochastique d’atomisation d’un jet assisté par air

Dans le paragraphe 1.5, nous avons schématisé brièvement l’approche que nous avons choisie d’utiliser pour modéliser l’atomisation d’un jet liquide. Celle-ci suppose que pendant l’évolution du jet au voisinage de l’injecteur, l’épaisseur caractéristique du liquide non-fragmenté varie en aval suivant l’hypothèse de symétrie d’échelle. Dans cette partie, nous allons tout d’abord résumer les universalités de la fragmentation à fréquence constante dans les conditions d’une symétrie d’échelle, puis nous allons dériver un processus stochastique qui correspond à ces universalités afin de modéliser la configuration du cœur liquide.

Hypothèse de symétrie d’échelle

On trouve le phénomène de fragmentation dans de nombreux processus : la cascade énergétique en turbulence, la pulvérisation de gouttes, la dégradation de polymères, le broyage de pierre, …. En général, la fragmentation d’un objet matériel (une particule solide, une goutte, un tourbillon, …) est un processus stochastique conduisant par étapes successives à la production d’objets de tailles réduites. Vue les nombreuses applications, il est souhaitable de décrire les propriétés essentielles de la fragmentation et de les modéliser dans le cadre d’un modèle très simple. Un exemple à été proposé par A.N. Kolmogorov en 1941[47].
Dans ce travail, A.N Kolmogorov considère la fragmentation de particules solides de carbone comme un processus aléatoire discret. Il fait l’hypothèse que la probabilité de briser chaque particule mère en un nombre donné de fragments est indépendante de la taille de la particule mère. En utilisant le théorème de la limite centrale, il prédit que, après un nombre élevé d’événement de fragmentation, ce processus discret devrait faire émerger une distribution lognormale pour la distribution des tailles des particules. En utilisant une formulation en terme d’échelle, Le scenario de A.N. Kolmogorov indique que chaque processus de fragmentation réduit la taille typique des fragments, r ⇒α r , par un facteur aléatoire α , positif et indépendant de r ( 0 < α < 1), gouverné par la fonction de distribution q(α) appelé spectre de fragmentation normalisé de telle sorte que ( ) 1 1 0 ∫ q α dα = 0.
Une alternative au processus stochastique discret de A.N. Kolmogorov est donnée par les modèles mathématiques décrits dans [29], [78], [18], [19], [113], [56] et 0 qui sont basés sur la solution analytique de l’équation de fragmentation. Ceux-ci ne font pas appel au théorème de la limite centrale.
Ce type d’approche continue n’est pas une variante de la cascade de fragmentation de A.N. Kolmogorov. Dans les modèles discrets, le nombre d’évènements de fragmentation augmente dans le temps. Dans les modèles continus, c’est la distribution des tailles des particules qui évolue de façon continue dans le temps. Cela permet d’identifier les nouvelles caractéristiques de la fragmentation aux temps longs. Celles-ci diffèrent des prédictions obtenues par l’approche de A.N. Kolmogorov.
Les articles cités ci-dessus montrent une solution asymptotique de l’équation de fragmentation quand la fréquence de fragmentation est une fonction de puissance des tailles caractéristiques, ν( ) r ∝ r λ . Deux cas , λ < 0 et λ > 0 sont considérés. En pratique, il existe un autre cas où la fréquence est constante, c’est-à-dire λ = 0 .
Les solutions obtenues dans la littérature deviennent discontinues si on impose λ → 0. Pour remédier à ce problème, la fragmentation à fréquence constante a été analysée par M. Gorokhovski & V. Saveliev [34]. Ci-dessous nous résumons leurs résultats.
Dans le cas où la fréquence ν de fragmentation est constante, l’équation cinétique defragmentation pour la fonction de distribution f ( r,t ), normalisée de telle sorteque ( ) 10∫ = ∞ f r dr , prend la forme suivante :( )f r q( ) ( ) d f rtf r  =∂∂ ∫1 01α αν α (2.1)
La solution stationnaire de cette équation, f ( ) r =∫10 α1 f   αr   q( ) α dα , est une distribution de Dirac : f ( ) r = δ (r) (2.2)

Approche de type LES

Bref rappel sur les échelles typiques employées pour la turbulence et la simulation.

En général, un écoulement à grand nombre de Reynolds est caractérisé par un large spectre d’échelles de longueurs (ou de temps). Au cours du temps ces échelles caractéristiques interagissent de façon très complexe, traduite par les équations de Navier-Stokes dans une configuration incompressible:=0∂∂i iux(3.1)
jijj i i i j x x P ux u ut ∂∂ + ∂∂ = –∂∂+∂∂τ ρ 1 (3.2) où τij = 2νSij =ν( ) ∂ui ∂x j + ∂u j ∂xi représente la contrainte visqueuse, ui est le vecteur de vitesse, P , ρ , et ν sont respectivement la pression, la densité et la viscosité cinématique du fluide.
Dans un tel écoulement, en moyenne, les échelles spatiales des plus grands tourbillons sont limitées par la géométrie d’écoulement (diamètre d’un tube, l’épaisseur de la couche limite, l’épaisseur d’un jet …). Les dimensions des plus petits tourbillons sont typiquement liées au phénomène de dissipation visqueuse d’énergie cinétique en énergie thermique des molécules. En augmentant le nombre de Reynolds d’un écoulement, la taille de ces dernières devient plus petite. Cela fait apparaître un problème. Si pour une réalisation d’écoulement, on veut résoudre le spectre entier d’échelles turbulentes, chaque augmentation du nombre de Reynolds nécessite une nouvelle puissance d’ordinateur, « proportionnelle » à ce nombre de Reynolds. Dans cette situation, la pratique habituelle est de considérer une turbulence homogène stationnaire et d’introduire dans cette turbulence les universalités d’interactions turbulentes aux petites échelles, non accessibles par la résolution numérique à partir des équations de Navier-Stokes. Ensuite, la contribution effective aux petites échelles est couplée avec les variables moyennes aux échelles accessibles. La théorie de Kolmogorov-Oboukhov, 1941 [46] d’une turbulence homogène est largement appliquée à des calculs d’écoulement turbulents. Dans cette théorie, la turbulence est considérée comme un nuage de particules fluides stochastiques corrélées et divergeant, en moyenne, les unes par rapport aux autres. Pour une paire de particules donnée, les tourbillons d’une taille inférieure à cette séparation contribuent peu à l’écartement des particules fluides. Les tourbillons d’une taille supérieure à cette séparation transportent deux particules ensemble. Seule la contribution des tourbillons d’une taille de l’ordre de la distance entre les deux particules est considérée comme essentielle pour la séparation entre deux particules. La turbulence est alors considérée comme un nuage de particules fluides où chaque couple de particules diverge de façon identique. Dès que la distance entre deux particules devient supérieure à une certaine distance Lint (que l’on appelle l’échelle intégrale), les particules fluides ne sont plus corrélées. Les effets d’étirement provoquent le transfert d’énergie cinétique fournie aux grandes échelles vers les échelles de plus en plus petites (figure. 3.1).

Résumé des résultats théoriques et expérimentaux.

Les études théoriques portent sur un jet turbulent dans une configuration axisymétrique. On observe, à la sortie du gaz, un cône potentiel sur une longueur xc comme indiqué sur la figure 1.1. A l’extérieur de ce cône se développe une zone de mélange. Après une région de transition en aval où la couche de mélange annulaire « fusionne » sur l’axe, on trouve une zone où le jet est dit pleinement développé. Celle-ci est caractérisée par une intensité turbulente constante sur l’axe, soit u‘1 U c = const , où Uc désigne la vitesse moyenne axiale locale et u‘1 l’échelle associée aux fluctuations de vitesse sur l’axe. Ici, les paramètres importants qui interviennent sont le nombre de Reynolds Re =U0Dg ν et le rapport R δθ du profil initial de vitesse moyenne. Ici, δθ désigne l’épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite et R = Dg 2 où Dg est le diamètre de l’injecteur et U0 la vitesse débitante. Ces paramètres pilotent la transition d’un régime laminaire vers un régime turbulent. Dans la région de transition, les perturbations croissent de sorte que les effets non linéaires apparaissent très rapidement, conduisant au développement du jet.
Plusieurs ouvrages ([104], [87], et [7]) traitent de la zone du jet où la turbulence est pleinement développée. En particulier, les auteurs ont cherché à dégager l’évolution des grandeurs clés telles que l’élargissement du jet, le profil radial de vitesse moyenne ou encore le niveau de turbulence. L’analyse d’un jet basée sur une hypothèse de similitude est présentée par C. Bailly et G. Comte-Bellot dans [7]. Les détails de cette analyse sont donnés dans l’Annexe B.

Table des matières

OBJECTIF DE L’ETUDE
CHAPITRE 1 L’ATOMISATION
1.1 Critères
1.2 Analyse des mécanismes d’atomisation primaire
1.2.1 Théorie des instabilités
1.2.2 Résultats expérimentaux
1.2.3 Longueur intacte
1.2.4 Angle de spray
1.3 Analyse des mécanismes d’atomisation secondaire
1.3.1 Résultats expérimentaux
1.3.2 Différents mécanismes d’atomisation secondaire
1.3.3 Echelles typiques de tailles après la rupture
1.4 Approches numériques existantes pour la simulation de l’atomisation primaire
1.4.1 Simulation numérique directe
1.4.2 Modèle ELSA (Eulerian Lagrangian Spray Atomization)
1.4.3 Approche LES/VOF
1.5 Nouvelle approche stochastique, sa position et l’idée de base
1.6 Conclusion
CHAPITRE 2 MODELE STOCHASTIQUE D’ATOMISATION D’UN JET ASSISTE PAR AIR
1.7 Hypothèse de symétrie d’échelle
1.8 Processus log-brownien
1.9 Conclusion
CHAPITRE 3 CALCUL METHODIQUE D’UN JET GAZEUX ROND TURBULENT INJECTE DANS UN ENVIRONNEMENT AU REPOS ; APPLICATION D’UNE METHODE DE TYPE LES
1.10 Approche de type LES
1.10.1 Bref rappel sur les échelles typiques employées pour la turbulence et la simulation
1.10.2 Equations filtrées
1.10.3 Modèle de Smagorinsky
1.10.4 Procédure dynamique de M. Germano
1.11 Résultats du calcul d’un jet rond
1.11.1 Résumé des résultats théoriques et expérimentaux
1.11.2 Résultats de calculs et discussion
1.12 Conclusion
CHAPITRE 4 APPLICATION A LA MODELISATION DE L’ATOMISATION PRIMAIRE
1.13 Particules stochastiques « floatting cutter »
1.14 Equations stochastiques des « floatting cutter »
1.15 Choix de < lnα > et < ln 2 α >
1.16 Choix de la fréquence de fragmentation
1.17 Modélisation de présence de liquide
1.17.1 Algorithme de calcul de présence de liquide
1.17.2 Description de l’expérience de Werquin et but de la comparaison
1.17.3 Simulation 2D
1.17.4 Symétrie isotropique ; modélisation de présence de liquide en 3D
1.18 Conclusion
CHAPITRE 5 MODELISATION DE L’ATOMISATION SECONDAIRE
1.19 Formation de parcelles détachées ; leurs positions initiales, tailles et vitesses
1.19.1 Positions initiales des parcelles détachées
1.19.2 Taille initiale des parcelles détachées.
1.19.3 Vitesses initiales des parcelles détachées
1.20 Phase gazeuse conditionnelle, transport lagrangien des parcelles détachées
1.21 Modélisation des collisions
1.21.1 Modèle de P.J. O’Rourke
1.21.2 Introduction de la fragmentation dans le modèle de O’Rourke
1.22 Conclusion
CHAPITRE 6 RESULTATS DE SIMULATION LES COUPLES AVEC LE MODELE STOCHASTIQUE EN 2D ET 3D
1.23 Distributions au voisinage de l’injecteur
1.24 Evolution du diamètre de Sauter
1.25 Fraction massique de liquide
1.26 Angle du spray
1.27 Champ de vitesse moyen de liquide
1.28 Conclusion
CONCLUSION
ANNEXE A APPLICATION DU MODELE A UN JET DE TYPE DIESEL
A.1 Présentation de l’expérience
A.2. Caractéristiques des « floatting cutter »
A.3. Formation de parcelles
A.5. Résultats
ANNEXE B SOLUTION AUTO-SIMILAIRE POUR UN JET AXISYMETRIQUE
ANNEXE C METHODES NUMERIQUES
C.1 Notation d’indices
C.2 Equations discrétisées
C.3 Schéma semi-implicite itératif
C.4 Conditions aux limites
C.5 Résolution de l’équation de Poisson pour la pression
C.6 Coordonnées cylindriques
BIBLIOGRAPHIE

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