Modèle paramétrique d’une aube

Modèles mathématiques

En opposition aux modèles physiques, les modèles mathématiques font appel à des paramètres n’ayant pas de sens physique. Ces paramètres non physiques sont souvent des points de contrôle pour des courbes de Bézier ou des splines. L’utilisation de ce type de courbes avec un grand nombre de points de contrôle permet notamment d’avoir un contrôle plus fin sur la forme et la courbure des profils. Goel [31] propose une modélisation construite avec des courbes de Bézier et utilisant les points de contrôle de ces courbes comme paramètres de conception. L’extrado et l’intrado ont par exemple entre 7 et 9 points de contrôle chacun. L’utilisation des courbes de Bézier permet d’assurer un certain degré de continuité. L’auteur utilise aussi 10 paramètres physiques en addition des points de contrôle, donnant un nombre total de paramètres très important. Dans [32], l’auteur paramétrise le profil par une distribution d’épaisseur et une distribution de la courbure de l’extrado. Ces deux distributions sont présentées sur la figure 2.17 et elles sont modélisées par des B-splines à 6 et 7 points de contrôle.
Il existe dans la littérature beaucoup de modèles paramétriques de profils permettant de mener des optimisations. Les modélisations physiques ont l’avantage d’être plus universelles dans le sens où leurs paramètres sont des paramètres géométriques connus par les concepteurs d’aubes et transposable à n’importe quel profil. À l’inverse, les modèles mathématiques sont moins universels et ont souvent un nombre total de paramètres plus important pour un contrôle plus fin de la géométrie du profil. Dans le cas d’une étude structurelle sur l’interaction 20 aube/carter, ce niveau de contrôle n’est pas nécessaire. De plus, dans le cas d’une optimisation il est préférable d’avoir un nombre faible de paramètres, c’est pourquoi les modèles physiques semblent plus intéressants pour l’étude présentée. Enfin, il est important de noter que la majorité des profils existants sont conçus pour les optimisations aérodynamiques des profils.
Aucun modèle de profil dédié aux études structurelles (désaccordage, frottements au pied d’aube, contacts inter-aube) n’a été trouvé dans la littérature.

Loi d’empilement

Les profils utilisés pour définir l’aube sont définis sur des plans perpendiculaires au rayon de l’aube, c’est-à-dire la direction radiale du rotor, et répartis sur la hauteur d’aube. La loi d’empilement permet de positionner et d’orienter ces plans afin d’orienter l’aube en 3D.
Plusieurs paramètres d’orientation d’aube sont couramment utilisés dans la littérature. Ceux-ci sont présentés dans le prochain paragraphe.

Paramètres 3D

Les premières aubes développées n’exploitaient pas les possibilités de formes en 3D et l’empilement des profils était purement radial, en 1 dimension, à l’image des ailes d’avions classiques.
Mais, comme expliqué dans [33], les concepteurs d’aubes ont rapidement cherché à exploiter les possibilités offertes par l’ajout de paramètres 3D sur la forme de l’aube. Cependant, il faut attendre l’apparition des outils de calcul numérique pour accélérer la compréhension des effets 3D sur l’aérodynamisme des aubes et généraliser l’utilisation des empilements complexes.
Depuis, un grand nombre d’études se sont focalisées sur les effets 3D de l’empilement des profils et ont montré l’intérêt de l’utilisation d’un empilement non-radial.
Denton et Xu s’intéressent aux effets de l’inclinaison et de la flèche, deux directions d’inclinaison de l’aube définies sur la figure 2.18. Gallimore et al. présentent l’utilisation de ces mêmes paramètres dans les compresseurs du moteur Rolls-Royce Trent et démontrent numériquement le gain de performance apporté par l’utilisation de ces paramètres. Dans une revue de littérature, Vad [36] résume les effets des empilements non radiaux. Une définition des paramètres d’inclinaison différente est donnée, l’inclinaison est alors non constante sur la hauteur d’aube et permet d’obtenir des variations locales de l’inclinaison ainsi que des aubes courbes (figure 2.19).
Le vrillage de l’aube est un autre paramètre rencontré régulièrement dans la littérature. C’est une rotation entre les différents profils de l’aube. Ce paramètre est illustré sur la figure 2.20 représentant une aube du rotor 37. Le vrillage de chaque profil peut être défini par une loi de variation le long de la hauteur d’aube, comme dans [37], ou bien comme un paramètre interne à chaque profil comme pour le rotor 37.
Pour résumer, les paramètres 3D de l’aube les plus utilisés dans la littérature sont : l’inclinaison (lean ou dihedral), la flèche (sweep), la flexion ou la courbure (skew ou bowing) et le vrillage (stagger). Ces paramètres sont inclus dans la modélisation de la loi d’empilement proposée.

Modélisation paramétrique de la loi d’empilement

Il existe plusieurs modélisations de la loi d’empilement utilisant les paramètres précédemment présentés. La loi d’empilement est généralement modélisée par courbe, la ligne d’empilement, passant par un point caractéristique de chaque profil, comme les bords d’attaque ou les centres de gravité. Chen et al. [38] utilisent une ligne d’empilement définie par 3 paramètres donnés sur la figure 2.21 : (1) une distance de flexion de l’aube, (2) un angle d’inclinaison au sommet d’aube, et (3) un angle d’inclinaison à la base de l’aube. Dans [39], la ligne d’empilement est représentée par une courbe de Bézier paramétrée par un angle d’inclinaison, un angle de flèche et un point de contrôle permettant d’ajuster la courbure de l’aube. La figure 2.22 représente ces deux angles et la flexion de l’aube. Dans [40], Ahn adopte une stratégie différente pour obtenir l’inclinaison et la flexion de la ligne d’empilement. La figure 2.23 présente les paramètres qu’il utilise : deux angles et une longueur, qui permettent de positionner les points de passage de la courbe.
La revue de littérature a mis en évidence la grande variété de modèles d’aube existants.
Tous les modélisations trouvées dans la littérature se basent sur l’empilement de profils en 2D comme méthode de construction des aubes. Les paramètres d’empilement varient entre les modèles mais l’utilisation d’une ligne d’empilement pour positionner les profils selon la hauteur d’aube semble une méthode utilisée par tous. Les méthodes de modélisation des profils sont plus variables, avec un nombre de paramètres très variable d’une modélisation à l’autre. Enfin, il est intéressant de noter que pour les profils comme pour la loi d’empilement, aucune modélisation spécifiquement conçue pour les études structurelles n’a été trouvée 2.4 Algorithmes d’optimisation.

Définition d’un problème d’optimisation

Un problème d’optimisation est composé d’une fonction objectif et d’éventuelles contraintes.
La résolution d’un problème d’optimisation revient à trouver les variables d’optimisation permettant de minimiser (ou maximiser) la fonction objectif, tout en respectant les contraintes.
La définition de l’optimisation retenue est celle de la minimisation, définie dans [41] comme..

Algorithmes utilisés dans la littérature

Pour des problèmes d’optimisation complexes, comme l’optimisation aérodynamique des aubes, le calcul des fonctions objectif et contraintes comprend généralement des simulations numériques. Aussi, les dérivées de la fonction ne sont pas connues et les méthodes d’optimisation se basant sur les gradients, c’est-à-dire les méthodes qui utilisent les propriétés des fonctions dérivables comme l’algorithme de la plus forte pente, sont rarement utilisées, au profit des méthodes d’optimisation sans dérivée. Ces dernières sont plus chronophages mais ont généralement l’avantage de tolérer le bruit et les espaces d’optimisation discontinus. On parle également de problème d’optimisation de boîte-noire quand la structure des fonctions objectif et contraintes ne peut être exploitée, comme c’est généralement le cas avec les simulations numériques. Une revue des différents algorithmes d’optimisation sans dérivée est disponible dans.
Dans la littérature, on retrouve deux types d’algorithmes pour l’optimisation aérodynamique des aubes : les approches statistiques et les méthodes heuristiques. Les approches statistiques reposent sur l’approximation de la fonction objectif par une fonction dérivable et les méthodes heuristiques se basent sur des comportements observés dans la nature, des phénomènes physiques ou encore le hasard pour déterminer des points proches des optimaux dans des problèmes complexes. Les algorithmes statistiques sont notamment utilisés dans [38, 43] avec des méthodes de surfaces de réponses, mais les algorithmes heuristiques sont les plus courants pour ce genre de problèmes. Parmi ces algorithmes heuristiques, on peut citer les algorithmes génétiques qui sont très répandus dans la littérature. Par exemple, Sieverding et al. [44] utilisent un algorithme génétique pour optimiser les performances aérodynamiques d’un profil de la série NACA65. Dans [39], les auteurs optimisent les paramètres 3D d’un étage de turbine avec un algorithme génétique. Le code NSGA-II est utilisé dans [45] pour mener une optimisation multiobjectif d’une aube de compresseur. D’autres types d’algorithmes heuristiques sont également utilisés comme les algorithmes de colonies artificielles d’abeilles [46] ou encore de recuit simulé [47]. Il est cependant important de noter que ces méthodes étant heuristiques, elles ne garantissent pas nécessairement la convergence vers un optimum local.

NOMAD

NOMAD (pour Nonlinear Optimisation with MADS [48]) est un logiciel d’optimisation multi-plateforme sous licence libre codé en C++. Il permet de faire de l’optimisation de boîte-noire sous contraintes grâce à l’algorithme présenté à la section 2.4.3. Le fonctionnement en boîte-noire permet un couplage avec la fonction objectif et les contraintes très aisé. La boîte-noire peut être codée sous n’importe quel language et faire appel à n’importe quel logiciel. Les seules conditions sur la boîte-noire sont d’être exécutable, de prendre en argument un fichier texte (.txt) qui contient le vecteur des variables d’optimisation et d’uniquement afficher les valeurs de la fonction objectif et des contraintes (schéma figure 2.24). Ce type de fonctionnement est très pratique, dans le cas où le calcul de la fonction objectif fait appel à des logiciels externes, pour des simulations numériques par exemple.
La seconde étape, la sonde locale, constitue le coeur des algorithmes de recherche directe.
C’est elle qui assure la convergence de la solution. En opposition à la première étape, la sonde locale effectue une recherche dans un maillage local autour de la meilleure solution. Si aucune nouvelle solution n’est trouvée la taille du maillage diminue, permettant la convergence du résultat vers un minimum local. Si une nouvelle solution est trouvée lors de la recherche globale ou de la sonde locale, alors la taille du maillage augmente. Par exemple, la figure 2.26 schématise la convergence de la solution, dans un espace en 2 dimensions, pendant la sonde locale pour l’algorithme GPS (Generalized Pattern search), qui est un algorithme classique de recherche directe que MADS généralise. Au départ la taille du maillage est k = 1 puis passe à 12 et 14 car aucune nouvelle solution n’est trouvée à chaque nouvelle itération. À noter que le nombre de points calculés dans la sonde locale et les directions de sélection des points dépendent de l’algorithme utilisé. Un des défauts de l’algorithme GPS est le nombre fini de directions possible. L’algorithme MADS corrige ce défaut. En effet, la spécifité de l’algorithme MADS réside dans l’évolution de la densité du maillage, et donc du nombre de direction, à chaque étape de la sonde locale, qui est illustré par la figure 2.27. Lorsqu’aucune nouvelle meilleure solution n’a été trouvée à la fin de l’itération k, la taille de fenêtre de recherche mk se réduit comme pour l’algorithme GPS, mais un nouveau paramètre p k est utilisé pour définir la taille des mailles dans la fenêtre de recherche. En diminuant plus rapidement, ce paramètre permet d’augmenter la densité de directions de recherche entre chaque itération.
Ainsi, alors que dans le cas de l’algorithme GPS le nombre de directions possibles est constant à chaque itération, l’algorithme MADS voit la densité de directions augmenter à chaque fois que le maillage se réduit. La convergence de l’algorithme MADS vers un minimum local a été démontrée dans sous certaines conditions, comme le caractère Lipschitzien de la fonction objectif.

Implémentations de MADS dans NOMAD

Deux versions de l’algorithme MADS sont implémentées dans NOMAD : LT-MADS et OrthoMADS. Ces deux méthodes se différencient par leurs directions lors de la sonde locale.
Dans un espace à n variables, LT-MADS sélectionne les directions avec une méthode aléatoire à chaque itération alors qu’avec OrthoMADS les directions sont au nombre de 2n et leur sélection est faite de manière déterministe. De plus les directions sont orthogonales afin d’avoir une meilleur couverture de l’espace. La figure 2.28 représente les directions de l’algorithme OrthoMADS pour n = 2. L’algorithme OrthoMADS est donc reproductible et donnera toujours le même résultat avec les mêmes conditions de départ, contrairement à LT-MADS. Il s’est aussi montré plus efficace dans grâce à une meilleure distribution des directions.

Paramétrage de NOMAD

Un des avantages de NOMAD est le grand nombre de paramètres et d’options accessibles à l’utilisateur. Le paramétrage de NOMAD se fait par le biais d’un fichier spécifique à chaque problème d’optimisation, où sont inscrites les différentes options et paramètres à utiliser ainsi que le chemin d’accès au script exécutable. Toutes les options algorithmiques ont des valeurs par défaut. Par défaut NOMAD utilise l’algorithme OrthoMADS mais il est possible de changer l’algorithme utilisé dans les paramètres pour un algorithme LT-MADS ou GPS.
La recherche globale peut être activée dans le fichier de paramètres avec la méthode de l’hypercube latin, la méthode de recherche à voisinages variables ou encore une méthode définie par l’utilisateur. Il est également possible de paramétrer la manière dont les contraintes sont gérées de deux façons : (1) les contraintes relaxables ne doivent être respectées que pour la solution finale, les points intermédiaires peuvent ne pas les respecter, et (2) les contraintes non relaxables qui doivent être respectées à toutes les évaluations. Parmi les autres options disponibles, il est possible de spécifier un point de départ pour l’optimisation, de borner l’espace des variables d’optimisation ou encore de définir un critère d’arrêt pour l’optimisation,comme par exemple le nombre maximal d’évaluations. La description complète des options du logiciel est disponible dans la documentation de NOMAD.

Bilan

Ce mémoire présente une procédure d’optimisation d’aube selon un critère de consommation de jeu. L’objectif final de cette procédure est d’obtenir des aubes avec une sensibilité au contact réduite. La sensibilité au contact des aubes obtenues par cette procédure est analysée, dans le chapitre 6, par le biais des cartes d’usures. Ces cartes sont obtenues grâce à l’outil de simulation numérique de contact aube/carter, précédemment présenté. Les variables utilisées pour optimiser l’aube sont les paramètres géométriques issus du modèle paramétrique d’aube développé pour les besoins du projet, présenté dans le chapitre 3. Ce modèle se base sur les méthodes de conception et les paramétrisations présentées dans ce premier chapitre. Enfin, la procédure d’optimisation, dont la présentation est l’objet du chapitre 5, est construite autour du logiciel d’optimisation de boîte-noire NOMAD et de son algorithme MADS, qui répond bien aux besoins du projet.

Modélisation d’un profil d’aube

La modélisation des profils créée pour cette étude est inspirée de celles de Pritchard [28] et Cho [30], trouvées dans la littérature. Elle est visible sur la figure 3.2. L’intrado et l’extrado sont chacun modélisés par deux splines qui assurent une représentation lisse de ces surfaces. Le raccordement de ces deux splines se fait sur un point de tangence horizontale. La modélisation du bord d’attaque est faite avec deux arcs d’ellipse : une ellipse inférieure et une ellipse supérieure. L’utilisation de deux ellipses permet une indépendance entre la forme de l’intrado et de l’extrado et ainsi d’augmenter la flexibilité de la modélisation du bord d’attaque. Le bord de fuite nécessite moins de flexibilité car sa forme, de petite dimension, a une influence négligeable dans le cas d’une étude structurelle. Il est donc modélisé avec un seul arc de cercle. Le tableau 3.1 donne le nombre d’éléments nécessaires pour construire chacune des courbes élémentaires utilisées pour définir le profil. La figure 3.3 explicite la définition de ces paramètres. Ainsi, le cercle utilisé au bord de fuite est défini par un point de coordonnées (x1,y1) et un rayon r (figure 3.3a). Les ellipses sont définies par deux rayons r1 et r2, un point de coordonnées (x1,y1) et un angle (figure 3.3b). Cependant, dans un souci de réduction du nombre de paramètres, le ratio r1 r2 est arbitrairement fixé à 2. Les splines sont calculées avec deux points (x1,y1) et (x2,y2) et deux angles 1 et 2 (figure 3.3c).
Il est alors possible de calculer le nombre d’éléments total nécessaire pour contruire toutes les courbes du profil. Pour respecter la continuité C0 du profil, toutes les courbes partagent un point commun avec leurs 2 voisines, ce qui induit, avec les 7 courbes, un nombre de points nécessaire réduit de 7. De même, pour assurer la continuité C1 du profil, il est nécessaire d’avoir un angle commun entre les deux couples de splines et entre les deux ellipses, ce qui réduit de 3 le nombre d’angles nécessaires à la construction du profil. De plus, les tangentes aux intersections des splines sont horizontales et le BA est fixé à l’origine du repère. Finalement, le modèle est paramétrable avec 3 points, 3 longueurs et 5 angles, soit 9 longueurs et 5 angles (tableau 3.2). Les paramètres géométriques retenus sont donnés sur la figure 3.4 (voir chatpfe.com).

Validation de la modélisation des profils

Pour valider l’efficacité et la polyvalence de la modélisation proposée, un code de reconstruction de profil a été créé. Son but est de représenter des profils réels, donnés sous forme de points, avec un maximum de justesse et ainsi de trouver les meilleurs paramètres pour modéliser ces profils. Ce code peut être utilisé pour obtenir le point de départ de la procédure d’optimisation, présentée dans le chapitre 5. Le code est alors utilisé une seule fois avant le lancement de la procédure. La méthode utilisée a été créée de manière itérative jusqu’à obtention de résultats satisfaisants. Elle fonctionne en deux étapes : (1) le calcul de l’ébauche du profil, puis (2) l’ajustement du profil par optimisation pour correspondre au profil cible.

Calcul de l’ébauche d’un profil

Certains paramètres du modèle peuvent être calculés directement sur le profil cible. C’est le cas pour les coordonnées du Point d’Aspiration (PA) (2 et 5 sur la figure 3.4) et les cordes axiales et tangentielles (4 et 6), qui correspondent aux coordonnées du BF. Les positions de ces points sur le profil cible sont données sur la figure 3.5, le PA correspond au point d’ordonnée maximale et le BF correspond au point d’abscisse maximale..

Application de reconstruction à 6 profils de compresseurs

La figure 3.10 présente les tests de validation de la fonction de reconstruction de profil sur 6 profils d’aubes de compresseurs : deux profils NACA, 3 profils issus d’une aube du rotor 37  et le profil man ghh 1-s1 issu de . Dans tous les cas, le score de ressemblance entre la modélisation et le profil cible converge vers une valeur inférieure à 0,05, assurant une excellente modélisation des profils en moins de 10 minutes. Ces résultats valident l’efficacité et la flexibilité de la modélisation des profils.

Extrusion

La seconde partie de la modélisation d’aube est la modélisation de l’extrusion. Le volume de l’aube est créé par une extrusion de 3 profils définie par la loi d’empilement. Le nombre de 3 profils a été choisi afin d’avoir un bon compromis entre le nombre de paramètres dans le modèle et la flexibilité du modèle. En effet, un nombre plus important de profils permettrait un contrôle plus fin de la forme de l’aube, mais augmenterait le nombre de variables d’optimisation par la suite. L’utilisation de 3 profils est retrouvée dans la littérature pour des études aérodyamiques, et ce nombre est supposé acceptable dans le cas d’une étude structurelle.
Le premier profil définit la section de base de l’aube (aussi appelé pied d’aube), le deuxième donne la section à mi-hauteur de l’aube et le troisième le sommet d’aube. La loi d’empilement qui contrôle le positionnement des profils et leur orientation est composée de 3 éléments : une ligne d’empilement qui relie les centres de gravité des 3 profils, un angle de vrillage, et un angle d’attaque.

Ligne d’empilement

La position des 3 profils est donnée par la ligne d’empilement, qui est une spline en 3 dimensions qui intersecte les plans de définition de chaque profil au centre de gravité de celui-ci. Ainsi, la ligne d’empilement, dont la paramétrisation est donnée par la figure 3.11 contrôle l’orientation de l’aube dans l’espace avec l’angle de flèche (15) et l’angle d’inclinaison (16). La courbure de l’aube est donnée par la distance de flexion (17). Le rayon du disque (18) et la hauteur d’aube (19) définissent les positions radiales du profil de pied d’aube et du profil de sommet d’aube.

Angles de vrillage et d’attaque

L’angle de vrillage (21), présenté sur la figure 3.12, permet de changer l’orientation relative entre les profils. Il est défini comme l’angle entre le profil de base et le profil du sommet d’aube. L’angle d’attaque (20) permet d’orienter l’aube par rapport à l’axe de rotation du rotor.

Table des matières

REMERCIEMENTS 
RÉSUMÉ 
TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES TABLEAUX 
LISTE DES FIGURES 
LISTE DES SIGLES ET ABRÉVIATIONS 
LISTE DES ANNEXES 
CHAPITRE 1 INTRODUCTION 
1.1 Contexte global
1.2 Fonctionnement d’une turbomachine
1.3 Motivations du projet de recherche
1.4 Objectifs du projet de recherche
CHAPITRE 2 REVUE DE LITTÉRATURE 
2.1 Interactions aube/carter
2.2 Considérations aérodynamiques sur le jeu aube/carter
2.3 Modélisation d’une aube
2.3.1 Profils
2.3.2 Loi d’empilement
2.4 Algorithmes d’optimisation
2.4.1 Définition d’un problème d’optimisation
2.4.2 Algorithmes utilisés dans la littérature
2.4.3 NOMAD
2.5 Bilan
CHAPITRE 3 MODÈLE PARAMÉTRIQUE D’UNE AUBE 
3.1 Modélisation d’un profil d’aube
3.2 Validation de la modélisation des profils
3.2.1 Calcul de l’ébauche d’un profil
3.2.2 Affinement de la justesse d’un profil par optimisation
3.2.3 Application de reconstruction à 6 profils de compresseurs
3.3 Extrusion
3.3.1 Ligne d’empilement
3.3.2 Angles de vrillage et d’attaque
CHAPITRE 4 CONSOMMATION DE JEU
4.1 Définition
4.2 Calcul
4.3 Domaine de validité
4.4 Validation de la méthode
CHAPITRE 5 PROCÉDURE D’OPTIMISATION
5.1 Problème d’optimisation
5.2 Calcul de la fonction objectif et des contraintes
5.2.1 Première version : logiciels commerciaux
5.2.2 Seconde version : logiciels ouverts
5.3 Convergence spatiale
CHAPITRE 6 APPLICATIONS ET RÉSULTATS 
6.1 Première optimisation : aube droite
6.1.1 Aube initiale
6.1.2 Optimisation
6.1.3 Analyse de l’aube optimisée
6.2 Deuxième application : aube à forte flèche avant
6.2.1 Aube initiale
6.2.2 Optimisation
6.2.3 Analyse de l’aube optimisée
6.3 Troisième application : compresseur transsonique
6.3.1 Aube initiale
6.3.2 Optimisation
6.3.3 Analyse de l’aube optimisée
6.4 Bilan
CHAPITRE 7 CONCLUSION 
7.1 Synthèse des travaux
7.2 Perspectives
7.2.1 Académiques
7.2.2 Industrielles
RÉFÉRENCES 
ANNEXES

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