Soutenance mémoire
Modèle mathématique de transfert sol-plante
Introduction générale et plan de la thèse
Motivation
Le système de vie des individus est régi par une science que l’on appelle communément l’écologie. Le terme d’écologie, proposé en 1866 par Heckel, biologiste allemand, désigne la science qui étudie tous genres de relations existant entre les hommes et les autres ˆetres vivants (animaux, végétaux,…) et leur environnement (sol, eau,…). L’importance accordée aux problèmes écologiques, et `a leurs conséquences potentielles sur l’humanité a induit un changement dans la perception de l’environnement naturel. Passant d’une atittude destructrice `a une atittude protectrice, la sauvegarde de l’environnement est désormais la préoccupation de plusieurs parties prenantes. L’objectif étant de réparer, d’analyser et d’étudier. Le cas échéant, les dysfonctionnements qui atteignent l’écosystème relevent du domaine des pouvoirs publics et des associations écologiques en faisant appel `a differentes disciplines telles la biologie, la chimie et les mathématiques… A ce titre, la pollution est considérée comme l’un des grands facteurs de
la dégradation de l’environnement, on distingue généralement la pollution des sols. Cette pollution des sols, qu’elle soit d’origine naturelle ou humaine, industrielle ou agricole, accidentelle ou non, parfois méconnue, peut avoir un impact sur la santé humaine en fonction de la nature des polluants et de leur concentration. Les plantes constituent un maillon essentiel de la chaˆıne alimentaire et une voie d’entrée majeure des polluants vers les animaux et l’homme. De plus, elles sont d’excellents indicateurs de pollution utilisés pour la bio-surveillance, et notamment le traitement des sols pollués ”Dépollution des sols”. Pour cette raison, la gestion de la qualité des sols dans le respect des exigences de santé publique, impose de connaˆıtre les risques de transfert des polluants
L’objectif principal de cette thèse est l’identification des termes de pollution pour certains p énomènes écologiques, comme celui de la pollution des sols. Dans ce problème, on ne connaˆıt jamais la donnée initiale (instant du début de la pollution), le polluant se présente comme terme source dont on connaˆıt la position et la nature mais pas la concentration. nous cherchons alors `a obtenir des informations sur ce polluant au niveau de l’absorption racinaire en utilisant le modèle de transfert sol-plante, afin de minimiser et/ou d’éliminer la pollution. Notre approche utilise la méthode des sentinelles due `a J.-L. Lions [18] dans les années 1990. Cette méthode a été utilisée dans le domaine écologique par plusieurs auteurs. C’est le cas dans les travaux de Ainseba .
Modèle mathématique de transfert solplante
Le développement des différents modèles de prélèvement des éléments nutritifs ”ions” par les plantes est issu du modèle (Barber [4] et Nye-Marriott [29]). La plupart de ces modèles sont fondés sur deux équations de base, l’une décrivant l’absorption par la racine en fonction de la concentration des nutiments `a sa surface, l’autre décrivant la mobilisation et le transport des nutriments du sol vers la racine. Une telle approche a été utilisée par Barber [4] pour simuler le prélèvement d’éléments majeurs comme le phosphore. Dans ([28], [27]), Tinker et Nye décrivent chimiquement les processus liés `a l’absorption des nutriments par les racines. Ils déterminent un modèle utilisant les équations aux dérivées partielles connu sous le nom de système de Nye-Tinker-Barber (NTB). Ensuite, T. Roose [33] utilise le système de (Nye-Tinker-Barber) exprimé en
coordonnées polaires pour effectuer l’étude et l’analyse de ce modèle avec la méthode des développements asymptotiques. Dans [7] , M. Comte et al. ont présenté un modèle de l’absorption du phosphore par les racines, gouverné par une équation de convection-diffusion avec une condition aux limites non linéaire. Plus récemment, dans [20], Louison et al. ont proposé le système de (NyeTinker-Barber) sous forme d’équations d’advection-diffusion pour l’analyse.
mathématique et l’étude du contrˆole optimal. On parle d’advection car le flux de transport q(t, x) est de mˆeme nature que la concentration de nutriments ( les nutriments se décomposent et sont
transportés par q). Le domaine d’étude du modèle que nous allons décrire est composé d’une rhizosphère (partie du sol proche de la racine), représentée par un domaine Elle décrit l’absorption des éléments nutritifs `a la surface de la racine o`u le flux des ions en solution est égal `a l’influx racinaire. Ce mécanisme suit la cinétique d’absorption de Michaelis-Menten exprimée par la fonction:
Méthode des sentinelles
La méthode des sentinelles est bien adaptée pour répondre aux questions que nous nous posons. Cette méthode nous permet en effet de déterminer seulement certains termes sans se préoccuper des autres termes manquants qui n’ont pas d’intérˆet immédiat dans les problèmes que nous traitons. La construction et la détermination d’une sentinelle sont équivalentes `a la résolution d’un problème de contrˆolabilité pour lequel J.-L. Lions utilise la méthode H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) [17]. Lions a étudié de nombreux problèmes dans le cas o`u le contrˆole v et l’observation h0 ont leur support dans le mˆeme ouvert O appelé observatoire. Dans ce cas, l’existence d’une sentinelle S insensible au terme manquant (en τ ) est définie par
Plan de la thèse
Après avoir présenté la problématique et après en avoir exposè les objectifs souhaités, on présente dans la suite les chapitres de cette thèse : Tout d’abord, on démontre au chapitre 2 l’existence, l’unicité et la positivité de solution faible pour le problème d’avection-diffusion avec condition 2La méthode H.U.M reste bien adaptée pour les problèmes hyperboliques comme l’équation des ondes. au bord de type Robin. Le modèle étudié ici est celui de Ney-Tinker-Barber, décrivant l’absorption de nutriments par la racine d’une plante dans un sol pollué.
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Table des matières
Introduction générale et plan de la thèse
1.1 Motivation
1.2 Modèle mathématique de transfert sol-plante
1.3 Méthode des sentinelles
1.4 Plan de la thèse
1.5 Remarque
2 Formulation faible du problème
2.1 Le problème mathématique
2.2 Positivité de la solution
3 Sentinelle exacte pour les problèmes de transfert sol-plante avec pollution
3.1 Introduction
3.2 Description du problème
3.2.1 Observation du système
3.3 Sentinelles exactes
3.3.1 Equivalence `a un problème de contrˆolabilité
3.3.2 Informations fournies par les sentinelles
3.4 Existence d’une sentinelle exacte
3.5 Existence d’un Contrˆole optimal
3.5.1 Construction de la sentinelle
4 Inégalité d’observabilité pour le problème d’advection-diffusion
4.1 Introduction et principaux résultats
4.1.1 Fonctions poids et principe
4.2 Inégalité de Carleman globale
4.2.1 Etapes de la preuve du théorème 4.4
4.3 Contrˆole de la chaleur avec condition de Neumman homogène
4.3.1 Optimalité et coˆut du contrˆole
4.3.2 Evaluation de la constante de majoration M
5 Sentinelle approchée pour les problèmes de diffusion avec pollution
5.1 Formulation faible du problème
5.1.1 Existence et unicité de la solution
5.1.2 Positivité de la solution
5.2 Sentinelle approchée pour les problèmes de diffusion avec pollution
5.2.1 Description du problème
5.2.2 Sentinelle approchée
5.2.3 Equivalence `a un problème de contrˆolabilité approchée
5.2.4 Informations fournies par la sentinelle
5.3 Existence d’une sentinelle approchée
5.3.1 Existence du contrˆole optimal
5.3.2 Construction d’une sentinelle approchée
6 Conclusion et perspectives
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