MODÈLE MATHÉMATIQUE DE CIRCULATION OCÉANIQUE 

Télécharger le fichier pdf d’un mémoire de fin d’études

Mise en équation du courant océanique

La physique des océans est complexe. Les courants marins, la pression, la densité, la salinité et la température de l’eau dépendent tous d’une manière directe ou indirecte de la rotation de la Terre, du rayonnement solaire, des vents et de la bathymétrie. C’est pourquoi la présence de tous ces paramètres dans uan modèle mathématique conduit à un riche système d’équations aux dérivées partielles de sept variables en quatre dimensions (trois en espace et une en temps). La résolution de ce système demande des ressources informatiques souvent prohibitives. En observant la structure particulière des océans, il est possible d’en arriver à des modèles plus simples après quelques hypothèses simplificatrices raisonnables [3]. Nous rappelons les lois physiques fondamentales qui régissent la circulation océa-nique en écrivant le système d’équations de Navier-Stokes dans un répère tournant lié à la Terre.
La composante horizontale de la force de pression est opposée au gradient hori-zontal. Elle est donc :
— Dirigée des hautes vers les basses pressions, perpendiculairement aux iso-bares.
— Inversement proportionnelle à l’écartement des isobares.
Sur Terre, la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer dépend es-sentiellement de la masse de l’atmosphère, celle-ci pouvant évoluer avec la masse moyenne des gaz à concentration variable comme la vapeur d’eau. Elle varie autour de l’atmosphère normale, soit 1013, 25 hP a (1, 01325 × 105 P a).

Approximation 

Les équations (1.7), (1.8) et (1.9) sont établis respectivement avec les com-posantes zonale, méridienne et verticale de la vitesse de l’océan. Nous savons que la viscosité cinématique est très petite devant la viscosité turbulente. Nous pouvons donc négliger ν. La vitesse verticale est très faible par rapport à la vitesse l’horizontale. En plus la vitesse du vent et sa direction est constante pendant un temps suffisamment long . Nous avons finalement le système d’équation qui régit la circulation générale de l’océan.

MATÉRIELS ET MÉTHODES

Matériels

Gmsh

Gmsh est un logiciel de maillage par éléments finis développé par Christophe Geuzaine et Jean-François Remacle. Il est un logiciel libre.Gmsh contient 4 modules
[10] :
— un module de géométrie,
— un module de maillage,
— un module solveur,
— un module de post-traitement.
C’est un logiciel multiplateforme (Windows, Linux et Mac OS X)

Matlab

MATLAB est un logiciel commercial de calcul interactif. Il permet de réaliser des simulations numériques basées sur des algorithmes d’analyse numérique. Il peut donc être utilisé pour la résolution approchée d’équations différentielles, d’équations aux dérivées partielles ou de systèmes linéaires, etc…[12]. Nous avons érigé un programme sous Matlab pour la résolution numérique de notre problème, plus précisément dans la mise en oeuvre de la méthode des éléments finis.

Formulation variationnelle

En mathématiques, la formulation variationnelle d’un problème régit par des équations aux dérivées partielles correspond à une formulation faible de ces équations qui s’exprime en termes d’algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert. A l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l’existence et de l’unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine [16], [18]. En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d’énoncer un problème physique régit par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible.

Algorithme de recherche d’un point fixe

Le théorème de point fixe, permet de chercher à résoudre le problème en recherchant numériquement le point fixe par une méthode itérative [16]. Nous considérons donc l’algorithme suivant :
– u0 étant donné arbitrairement.
– un est connu ∀n ∈ ≥ 0

Méthode des éléments finis

Principe de la méthode

Les principales étapes de construction d’un modèle en éléments finis, qui sont détaillées par la suite, sont les suivantes [18] :
— discrétisation du milieu continu en sous domaines ou maillage ;
— construction de l’approximation nodale par sous domaine ;
— calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du problème ;
— assemblage des matrices élémentaires ;
— prise en compte des conditions aux limites ;
— résolution du système d’équations.

Maillage

Considérons un domaine quelconque dans partie Sud de l’équateur. Nous utilisons le logiciel Gmsh capable de générer un maillage triangulaire à partir du domaine à étudier. La figure (2.1) présente le maillage dans son intégralité. La taille des mailles est de 50 km sur chaque élément. Cette taille de maille est suffisante pour avoir une bonne résolution numérique du courant principal. Ce maillage contient 1387 triangles ou éléments et 2659 nœuds. Pour chaque point nous devons déterminer les composantes u1 et u 2 de la vitesse de l’écoulement et l’élévation de la surface de la mer.

Table des matières

INTRODUCTION 
1 MODÈLE MATHÉMATIQUE DE CIRCULATION OCÉANIQUE
1.1 Mise en équation du courant océanique
1.1.1 Conservation de la masse
1.1.2 Conservation de la quantité de mouvement
1.2 Approximation [6]
2 MATÉRIELS ET MÉTHODES 
2.1 Matériels
2.1.1 Gmsh
2.1.2 Matlab
2.2 Formulation variationnelle
2.2.1 Theorème de Lax-Milgram
2.2.2 Formulation faible de l’équation Navier-Stokes
2.2.3 Recherche d’un point fixe
2.2.4 Algorithme de recherche d’un point fixe
2.2.5 Méthode du Lagrangien augmenté
2.2.6 Algorithme d’Uzawa [16]
2.2.7 Variantes de type Uzawa
2.3 Méthode des éléments finis
2.3.1 Principe de la méthode
2.3.2 Maillage
2.3.3 Interpolation polynomiale
2.3.4 Matriciels élémentaires
2.3.5 Assemblage des matrices élémentaires
2.3.6 Résolution numérique de la vitesse et de surélévation
3 RÉSULTATS ET INTERPRÉTATION 
3.1 Champ de vitesse
3.1.1 Champ de vitesse global
3.1.2 Champ des vitesses sur la partie Nord
3.1.3 Champ des vitesses sur la partie Sud
3.1.4 L’élévation de la surface de la mer
CONCLUSION 
Bibliographie 
ANNEXE 
A Les équations du système matriciel et vecteur sollicitation élémentaire pour la vitesse
A.1 Matriciel de rigidité
A.2 Vecteur sollicitation
A.3 Intégral de surface
B Les équations du système matriciel et vecteur sollicitation élémentaire pour l’élévation
B.1 Matrice de rigidité
B.2 Vecteur sollicitation
B.3 Intégrale sur un segment
B.4 Coordonnées barycentriques associées à un triangle Tj

Télécharger le rapport complet