Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : version stochastique et edp

La présente thèse fait partie d’un effort plus général visant à proposer des modèles adaptés aux différentes formes très variées du transport anormal. Cet effort est motivé par de nombreuses expériences montrant les limites des modèles fondés sur le mouvement Brownien et l’équation de la diffusion, en ce qui concerne la dispersion de soluté dans le sol et dans d’autres milieux complexes. De nombreuses observations suggèrent en effet la nécessité d’examiner des modèles alternatifs, et nous allons proposer quelques exemples. Des processus stochastiques plus généraux que le mouvement Brownien , associés à des équations aux dérivées partielles (edp) dites fractionnaires, fournissent de tels modèles alternatifs, particulièrement interessants en ce qui concerne la dispersion. Ils représentent un ensemble très vaste, puisqu’ils équivalent à remplacer par des dérivées d’ordre fractionnaire les dérivées d’ordre entier (par rapport à l’espace ou par rapport au temps) présentes dans l’équation de la diffusion. Une bonne connaissance des proprietés de ces processus stochastiques et de ces edp est nécessaire pour choisir le bon modèle dans une situation pratique donnée. Il faut aussi de bons outils de simulation. De plus, la littérature ainsi que des expériences actuellement en cours suggèrent que dans le cadre du transport de soluté en milieu poreux, on doit faire appel selon les circonstances à des modèles qualitativements très différents. Nous pensons plus précisement à des edp très similaires à l’équation de la diffusion, mais avec une dérivée par rapport au temps ou par rapport l’espace d’ordre non entier. L’une ou l’autre de ces situations semble s’observer, selon les milieux, et même selon les circonstances (par exemple la vitesse moyenne d’un écoulement). Des expériences actuellement en cours sur des sables non saturés suggèrent d’examiner ces deux possibiltés, séparement ou peut être même ensemble.

Des travaux théoriques et numériques réalisés au laboratoire [48] avaient eu pour objet des edp comportant des dérivées fractionnaires en espace. Pour cette raison, notre contribution se concentre principalement sur des edp comportant des dérivées fractionnaires en temps. Ces edp sont étroitement liées à des modèles stochastiques fondés sur le mouvement Brownien subordonné par un changement de temps aléatoire.

Motivation de la thèse

Dans un milieu poreux, les particules de traceur ne se déplacent pas aussi librement que dans un fluide, et sont obligées de suivre des chemins complexes à travers l’espace poral. Ces chemins sont en partie déterminés par la géometrie du milieu, qui peut imposer des pores sans issue ou de grands pores bien reliés au reste du réseau. Les pores sans issue peuvent donner aux particules des occasions d’être piégées pour des durées très variables. Dans les grands pores continus, au contraire, on peut admettre que les particules se déplacent plus librement (sans contrainte), avec une faible probabilité d’être retenues par les parois de la matrice solide.

L’hétérogénéité des milieux poreux à grande échelle nécessite de développer une théorie du transport capable de tenir compte de ces possibilités. Notons que pour tout milieu poreux complexe, l’hétérogénéité est présente à toutes les échelles. Pour comprendre le problème que cela représente, trois points peuvent être abordés :

– Comme l’hétérogeneité est très variée, a priori on ne peut pas obtenir une connaissance complète du milieu poreux dans lequel les particules sont transportées.
– Le chemin parcouru par une particule dans un milieu poreux est fortement influencé par l’hétérogénéité de celui-ci, ainsi que par les conditions initiales et les conditions aux limites qui déterminent l’écoulement.
– D’autre part, l’hétérogénéité à petite échelle peut influencer considérablement le comportement à grande échelle. C’est sur ce point que nous allons insister.

Dans les milieux poreux, de nombreuses observations, effectuées dans les colonnes de laboratoire ou dans les milieux naturels, montrent que le transport de masse n’obéit pas systématiquement à la loi de Fick et à la loi de Fourier (en d’autres termes la loi de dispersion normale), qui décrivent le flux et la densité de traceur. C’est le cas en particulier en régime insaturé, au moins sous certaines conditions.

Un exemple qui montre cet écart à la loi de Fick est une analyse faite par Bromly et Hinz en 2004 [21], des données recueillies auparavant par Grasser et Sitta en 1993 [41] en sortie de colonnes remplies de sable, donc de milieu poreux insaturé, mais pas particulièrement hétérogène. Ces données montrent des courbes d’élution caracterisées par une rapide montée et une longue trainée. De plus, ces données suggèrent que la concentration de traceur décroit comme une puissance du temps, et il semble que dans ce cas on observe un comportement asymptotique. Des données du CEA vont dans le même sens, mais avec moins de netteté, parce que la méthode utilisée pour mesurer les concentrations est moins précise aux grands temps. Les longues trainées mises en évidence par Bromly et Hinz par exemple suggèrent que le milieu est capable de retenir anormalement longtemps une fraction du soluté. Si cette interprétation est correcte, le milieu garde une certaine mémoire, et pour décrire ce qui se passe il faut sortir du cadre des modèles classiques de la diffusion basés sur des proprietés markoviennes à petite échelle. En d’autres termes, le devenir d’un système présentant de tels effets ne peut être résumé par sa description à un instant donné. Notons que d’autres données expérimentales ne montrent pas ce comportement, ou pas de manière si nette.

On a besoin, pour discuter ces données, de modèles capables de tenir compte de la mémoire du milieu. On a en particulier besoin de modèles correpondant au comportement asymptotique apparemment mis en évidence par Bromly et Hinz. Les statistiques de Lévy fournissent de tels modèles. En utilisant leurs proprietés de manière approfondie, on peut espérer pouvoir faire la différence entre des effets de mémoire courte ou au contraire persistants, sans toutefois devoir attendre d’observer un comportement asymptotique. D’autre part, il est souhaitable de pouvoir appliquer ces modèles à des expériences comme la RMN. Au lieu de mesurer des densités de traceur à chaque instant, ces expériences determinent la statistique des déplacements des particules entre deux instants donnés. Ces expériences exigent donc qu’on étudie ces déplacements. Il s’agit d’un problème trivial s’il n’y a pas d’effets de mémoire, mais d’un problème ouvert s’il y en a.

Contexte économique et social

Comme nous l’avons dit ci-dessus, cette thèse a pour but de représenter le transport de masse dans les milieux poreux hétérogènes insaturés. Ce type de milieu existe partout dans notre environnement, en particulier dans le sol et le sous-sol. Mieux connaître le transport dans ces milieux est important en vue de maîtriser les accidents de pollution pouvant être causés par des activités industrielles ou agricoles susceptibles de libérer des polluants qui peuvent traverser le sol et atteindre la nappe phréatique. Une description précise du transport de masse dans les milieux poreux devrait donc permettre de mieux prévoir le devenir d’une pollution, et plus tard de prévenir les pollutions. Les modèles utilisés actuellement ne sont en effet pas suffisants pour décrire ce phénomène, puisque les données de terrain ont montré par des exemples que le transport de traceur peut parfois être beaucoup plus rapide que prévu [24] [75].

Outre les fuites des dispositifs de stockage des déchets, on peut également envisager l’utilisation de ce modèle à des fins moins sombres. L’eau et l’absorption de nutriment par les racines des plantes est en effet aussi une question cruciale dans un monde où de nombreuses personnes doivent être nourries sur la base d’une quantité décroissante d’eau et de surface cultivable. Une étude en cours à l’INRA vise à optimiser l’utilisation d’intrants et d’engrais dans un contexte d’irrigation, afin d’améliorer le rendement des cultures et de préserver les ressources en eau [82] [30] [45].

Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Motivation de la thèse
1.2 Contexte économique et social
1.3 Structure de la thèse
2 Le transport anormal
2.1 Diffusion normale et anormale
2.1.1 Diffusion normale
2.1.2 Diffusion ou dispersion anormale
2.2 Modèles de dispersion anormale
2.2.1 Diffusion anormale : des expériences aux modèles
2.2.2 Le modèle MIM classique
2.2.3 L’équation de Fokker-Planck fractionnaire
2.3 Du modèle stochastique à la dérivée d’ordre non entier
2.4 Conclusion
3 Processus de Lévy et subordinateurs
3.1 Les lois infiniment divisibles
3.1.1 Définition
3.1.2 Exemples
3.2 La formule de Lévy-Khintchine
3.3 Les lois α-stables
3.3.1 Définition
3.3.2 Densité et fonction caractéristique
3.3.3 Condition necessaire et suffisante de stabilité
3.3.4 Comportement asymptotique
3.3.5 Moments
3.4 Processus de Lévy
3.4.1 Définition
3.4.2 Processus stable
3.4.3 Exemples
3.5 Subordinateurs
3.5.1 Autre exemple
4 Les déplacements de certains processus stochastiques représentant le transport
4.1 Processus pour représenter le transport de masse avec effets de mémoire
4.1.1 Processus stochastique associé à l’équation de Fokker Planck fractionnaire
4.1.2 Processus associé au modèle f-MIM
4.1.3 Processus associé au modèle MIM
4.2 Mesure par RMN du déplacement des particules fluides
4.3 Les moments des incréments de Zt
4.3.1 Les moments des incréments de l’inverse d’un subordinateur de Lévy : cas général
4.3.2 Les moments et la transformée de Laplace des increments de l’inverse d’un subordinateur de Lévy, cas des modèles MIM,f-MIM et FFPE
4.3.3 Preuve numérique
4.4 L’espérance mathématique des incréments d’un mouvement Brownien subordonné par l’inverse d’un subordinateur de Lévy
4.4.1 Incréments d’un mouvement Brownien subordonné : cas général d’un subordinateur de Lévy
4.4.2 Cas particuliers des modèles F-MIM,FFPE et MIM
4.4.3 Illustrations numériques
4.5 Limite de la fonction caractéristique du déplacement
4.5.1 Cas associé à l’équation de Fokker-Planck fractionnaire
4.5.2 Cas associé au modèle f-MIM
4.5.3 Cas associé au modèle MIM
4.6 La fonction caractéristique des déplacements d’un vol de Lévy subordonné
4.7 Conclusion
5 Conclusion générale

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