Soutenance mémoire
Structure et reaction dans une approche unifiee
Le but de ce chapitre est de mettre en avant le fait qu’`a partir de la seule int´eraction nucl´eon-nucl´eon, il est possible de d´ecrire, sur le mˆeme plan, la structure des noyaux faiblement li´es ainsi que les m´ecanismes de r´eaction impliquant de tels noyaux. Une analyse structurelle d’un syst`eme de fermions sugg`ere la d´efinition d’une base `a N corps antisym´etrique dans laquelle est ensuite diagonalis´ee l’interaction en question. Dans la th´eorie du mod`ele en couches nucl´eaire cette base est construite ` a partir de d´eterminants de Slater, ces derniers ´etant construits `a partir d’une base individuelle engendr´ee par un puits de potentiel harmonique. Cependant, le moyen le plus appropri´e de g´en´erer une base individuelle `a partir d’une interaction nucl´eon-nuc ´eon consiste `a construire un champ moyen auto-consistant. Aussi commen¸cons-nous par d´eriver explicitement, dans la section (2.1), les ´equations int´egro-diff´erentielles radiales obtenues `a partir des ´equations de HartreeFock, dans le cas des noyaux de couches ferm´ees, puis dans le cas des noyaux de couches non ferm´ees moyennant certaines approximations. Les ´etats propres li´es et quasi-li´es des ´equations Hartree-Fock constitueront alors, dans tout ce qui suit, la base individuelle nous permettant de d´efinir l’espace de valence. A ce stade, l’interaction r´esiduelle doit ˆetre diagonalis´ee dans la base `a N corps construite au moyen de ces derniers ´etats individuels, menant aux m´elanges de configurations repr´esentatifs de la structure nucl´eaire. Cependant, les m´elanges de configurations les plus r´ealistes ´etant obtenus grˆace `a la th´eorie du mod`ele en couches, nous donnons, dans la section (2.2), quelques rappels relatifs `a cette th´eorie ainsi que sur l’utilisation du formalisme de seconde quantification, afin d’introduire nos notations. Dans la section (2.3), nous rappelons les r´esultats de base de la th´eorie des r´eactions auxquels nous ferons r´ef´erence tout au long du pr´esent expos´e. Enfin, la section (2.4) est enti`erement d´edi´ee `a l’utilisation d’une int´eraction nucl´eon-nucl´eon de port´ee finie dans le formalisme du mod`ele en couches avec couplage d’une particule aux ´etats du continuum, unifiant ainsi les diff´erents ingr´edients mentionn´ es plus haut. Dans cette derni`ere partie, certaines d´emonstrations d´elicates et fastidieuses sont donn´ees en annexe, afin de ne pas surcharger de formules le d´eroulement de l’expos´e. Cependant, ces annexes sont des parties en soi dont l’importance est capitale. Les conventions d’´ecriture et notations sont introduites de fa¸con lin´eaire tout au long du chapitre.
Noyaux `a couches non fermees
Lorsque le syst`eme consid´er´e comporte un nombre de particules tel que certaines couches ne sont que partiellement remplies, le potentiel n’est plus `a sym´etrie sph´erique, et la d´ecomposition (2.20) n’est pas appropri´ee. Nous pouvons cependant utiliser une approximation fort utile pour outre-passer ce probl`eme, et ainsi ´ eviter la n´ecessit´e de r´esoudre des ´equations int´egro-diff´erentielles en deux (sym´etrie cylindrique) voire trois dimensions.
Afin d’illustrer le fondement de cette approximation, consid´erons `a nouveaux les ´equations (2.27). L’obtention de ces ´equations suppose implicitement que toute orbitale de moment de spin donn´e est complˆetement remplie. Par exemple, dans la relation (2.26), la sommation sur mγ est effectu´ee de −j γ `a +j γ . La probabilit´e d’occupation d’un ´etat de nombres quantiques {γ m γ } est alors de 1/ ˆj 2 γ . Si maintenant p particules sont ajout´ees `a un coeur de couches ferm´ees sur une orbitale de spin j , nous pouvons, dans le cadre d’une approximation raisonable, consid´erer que cette couche sera occup´ee avec la probabilt´e p/ ˆj 2 . Nous pouvons « simuler » cette approximation par une re-d´efinition de la partie angulaire, de spin et d’isospin des ´etats individuels.
Le mod`ele en couches
Formalisme de base
La theorie du modele en couches nucleaire [1, 2, 3, 4, 5] stipule que le noyau peut etre d´ecrit par un coeur inerte de couches fermees auquel s’ajoutent des nucleons de valence se distribuant sur un ensemble fini de couches. La figure (2.1) montre un exemple de d´efinition du coeur et de l’espace de valence pour la description de 16 O.
Methode de seconde quantification
Nous introduisons dans cette partie certains r´esultats de base dont nous ferons usage par la suite. Nos conventions sont celles introduites dans [3].
La m´ethode habituelle pour r´esoudre le probl`eme aux valeurs propres pour un syst`eme de fermions utilise le formalisme de seconde quantification. Ce formalisme repose sur le fait que la fonction d’onde d’un syst`eme de A fermions peut ˆetre d´evelopp´ee dans l’espace de Fock, c’est `a dire dans une base `a A corps complˆetement antisym´etris´ee. Si nous notons {|ai, |bi, . . .} une base orthogonale individuelle, alors un ´etat |SDi de la base de Fock `a A particules est construit selon (2.5), que nous ´ecrivons ici en faisant apparaˆıtre l’op´erateur d’antisym´etrisation A.
La theorie des reactions
Le probleme avec asymptotique a deux fragments
Nous rappelons ici quelques r´esultats fondamentaux sur la th´eorie des collisions n’incluant que les partitions de masse correspondant au probl`eme `a deux corps asymptotique. On peut trouver une description complˆete de cette th´eorie dans [32], [33], [34]. Ce succint rappel nous permet cependant d’introduire les notations qui seront nˆotres par la suite.
Nous consid´erons un syst`eme qui ´evolue `a une ´energie intrins`eque totale E durant un processus de collision. Nous d´efinissons alors le pass´e infini ainsi que le futur infini relativement `a l’instant de la collision. Dans ces zones de temps lointaines, le syst`eme est suppos´e consister en deux fragments 4 : l’un des deux est appel´e la cible, et l’autre le projectile. Nous notons −→ r la coordonn´ee relative s´eparant les centres de masse de la cible et du projectile. Dans le pass´e infini, ainsi que dans le futur infini, la distance relative | −→ r | est suppos´ee tr`es grande. Dans un formalisme ind´ependant du temps nous parlerons alors de r´egion asymptotique. Dans la r´egion asymptotique, les deux fragments n’interagissent pas et cible et projectile sont ind´ependemment d´ecrits par leur hamiltonien intrins`eque que l’on note Ht et Hp respectivement. Nous notons |t jtmt i les vecteurs d’´etats intrins`eques de la cible, o`u j t est le moment de spin total et mt sa projection. Tous les autres nombres quantiques n´ecessaires pour d´efinir la cible de mani`ere unique sont symbolis´es par la petite lettre capitale « t » (r´eminiscente du mot anglais Target ). Ces ´etats sont alors solution del’´equation stationnaire.
Applications
Nous pr´esentons dans ce chapitre quelques applications num´eriques de base sur des exemples simples illustrant les principaux points discut´es dans le chapitre 2. Nous commencerons par quelques observations concernant les propri´et´es des ´etats quasi-li´es inclus dans le continuum. Nous pr´esenterons ensuite les diff´erentes interactions nucl´eon-nucl´eon que nous utiliserons pour un calcul de mod`ele en couches avec couplage d’une particule aux ´etats du continuum. La spectroscopie de 17 F et 17 O ainsi que les d´ephasages de diffusion 16 O(p, p) 16O obtenus `a l’aide de ce dernier mod`ele seront ensuite analys´es.
Coupure des resonances individuelles
Nous voulons ici ´etudier les cons´equences de la nouvelle d´efinition des EQLIC pr´esent´ee dans la section (2.4.1.3). Pour plus de commodit´e, nous emploierons dans cette partie le potentiel local simplifi´e (2.141) pour g´en´erer les r´esonances individuelles. En effet, il est bien plus ais´e, num´eriquement, de trouver les ´etats r´esonnants d’un tel potentiel que ceux d’un potentiel non-local.
Deux quantit´es d’int´erˆet concernant les EQLIC sont : leur rayon carr´e moyen, et le « rayon de jonction ». Nous nous proposons d’´etudier l’´evolution de ces deux quantit´es en fonction de la largeur de l’´etat pour trois exemples. Les figures (3.1-3.3) pr´esentent les variations du rayon de jonction rm et du rayon carr´e moyen hr 2 i 1/2 en fonction de la largeur Γ de l’´etat pour les ´etats r´esonnants neutron 1p 1/2 , neutron 0d 5/2 et proton 1s 1/2 respectivement. Pour l’obtention de ces figures, nous avons choisi les paramˆetres V so = 3.5 MeV, R = 3.5 fm et d = 0.5 fm du potentiel (2.141). Nous faisons varier la position de l’´etat r´esonnant (pˆole de la matrice de diffusion) en faisant varier le paramˆetre V 0 . Enfin, dans tous ces exemples, le potentiel est g´en´er´e par une cible de masse 16 amu et de nombre de charge Zt= 8.
Nous observons les faits suivants : pour les ´etats neutrons, le rayon de jonction diverge en Γ ∼ 0 pour toutes valeurs du moment angulaire l, alors que le rayon carr´e moyen diverge pour l = 1 et admet une valeur maximale pour l = 2. Pour les ´etats protons, le rayon carr´e moyen ne diverge pas en Γ ∼ 0, c’est `a dire lorsque l’on s’approche du seuil, ce qui n’est pas le cas pour rayon de jonction.
Pour l > 1, la barri`ere centrifuge a pour effet de confiner la fonction radiale ; ce qui explique la valeur maximale du rayon carr´e moyen rencontr´ee pour l’ ´etat neutron avec l = 2. La barri`ere coulombienne a le mˆeme effet pour les ´etats proton et ce, pour toute valeur du moment angulaire. Ces propri´et´es sont typiques de celles d’un ´etat li´e, ce qui nous conforte dans l’id´ee que la nouvelle d´efinition des EQLIC est bien appropri´ee.
Pour expliquer les propri´et´es du rayon de jonction, rappelons tout d’abord que la largeur d’un ´etat r´esonnant diminue lorsque l’´energie (partie r´eelle de la position du pˆole) diminue.
Nous voyons donc que le point de raccordement entre la solution r´eguli`ere et la solution de Jost sortante (qui admet une asymptotique d’´etat li´e) diverge losque l’´energie se rapproche du seuil. Ce ph´enom`ene peut s’expliquer de la mani`ere suivante : si l’´energie a une valeur inf´erieure `a celle de la barri`ere centrifuge, alors la fonction d’onde n’admet la forme asymptotique d’onde sortante libre que bien au del`a du point tournant ext´erieur (i.e. le deuxi`eme point d’intersection entre la barri`ere et l’´energie). Alors que pour une ´energie bien sup´erieure `a celle de la barri`ere, cette forme asymptotique peut ˆetre atteinte dans une r´egion situ´ee en de¸ca du point tournant ext´erieur. Afin d’illustrer la nouvelle m´ethode de coupure des r´esonances individuelles, nous pr´esentons
fig. (3.4,3.6,3.8) les EQLIC obtenus pour les trois exemples utilis´es dans cette partie, et pour plusieurs positions de la r´esonance.
Mod`ele en couches avec un nombre arbitraire de particules peuplant les ´etats du continuum
Une approche structurelle prenant en compte le couplage d’une seule particule aux ´etats du continuum individuel m`ene ais´ement `a un probl`eme de diffusion avec r´earrangement. Une particule peuplant un ´etat du continuum a en effet une probabilit´e non-nulle d’ˆetre d´etect´ees dans la r´egion asymptotique, ce qui m`ene `a un probl`eme `a deux corps asymptotique. Lorsque deux ou plus particules peuplent les ´etats du continuum, la vari´et´e des processus de r´eaction possibles prenant en compte la structure du syst`eme devient tr`es riche, trop riche. En effet, si plusieurs particules ont une probabilit´e non-nulle d’ˆetre d´etect´ee dans une r´egion ´eloign´ee de celle de la r´eaction, toute forme d’asymptotique possible (deux, trois et plus corps) est th´eoriquement `a prendre en compte dans un calcul de voies coupl´ees.
Cependant, la s´election de certains processus, dont on sait qu’ils sont pr´epond´erants pour tels types de noyaux et pour certaines gammes d’´energie, permet en g´en´eral de simplifier consid´erablement le probl`eme. Dans ce chapitre, nous n’´ etudierons pas tous les cas de figure et nous limiterons l’application du formalisme du mod` ele en couches avec couplage aux ´etats du continuum au probl`eme standard des canaux de r´eaction coupl´es n’incluant que les partitions de masse o`u le syst`eme est scind´e en deux fragments. Il s’agit l`a d’une g´en´eralisation directe du formalisme. Cette approche est purement formelle et n’a fait l’objet d’aucune « exp´erimentation » num´erique. Il est `a noter que seul un calcul massivement parall`ele est susceptible d’en fournir des r´esultats quantitatifs.
Choix de la representation pour la resolution des equations
Comme nous l’avons mentionn´e au d´ebut de ce chapitre, nous limitons notre ´etude au probl`eme avec asymptotique `a deux fragments. Nous devons donc construire une base (repr´esentation) dans laquelle nous pouvons d´elopper la fonction d’onde du syst`eme et calculer ais´ement les ´el´ements de matrice de l’interaction r´egissant le mouvement relatif des deux fragments. Le fragment appel´e « cible » est suppos´e le plus gros, et ses vecteurs d’´etats sont d´evelopp´es dans une base de d´eterminants de Slater. Les vecteurs d’´etats du projectile sont quant `a eux d´evelopp´es dans un syst`eme de coordonn´ees intrins`eques de type hyper-sph´erique. Nous commencerons donc par introduire dans la section (4.2.2.1) les coordonn´ees hyper-sph´eriques ainsi que les harmoniques hyper-sph´eriques qui constituent une base de l’espace hyper-angulaire d’un syst`eme de particules. Nous pr´esentons ensuite, section (4.2.2.2), quelques rappels concerant la transformation entre deux syst`emes de coordon ´ees hyper-sph´eriques au moyen des coefficients de Raynal-Revai. Ces transformations sont n´ecessaires pour un calcul ais´e des ´el´ements de matrice de l’interaction, ainsi que pour la construction d’une base `a sym´etrie adapt´ee. Les vecteurs d’ ´etat du projectile doivent, tout comme ceux de la cible, satisfaire au principe de Pauli. Nous donnons donc, section (4.2.2.3), une m´ethode de construction d’une base hyper-sph´erique `a sym´etrie adapt´ee, `a l’aide de laquelle nous pouvons construire une base de l’espace hyper-angulaire, de spin et d’isospin complˆetement antisym´etrique. L’´equation de Schr¨odinger pour les ´etats li´es du projectile est alors d´evelopp´ee dans cette base, section (4.2.2.4). Enfin, dans la section (4.2.2.5), nous construisons la base `a deux fragments
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Table des matières
1 Introduction
2 Structure et reaction dans une approche unifiee
2.1 Champ moyen et interactions
2.1.1 Les ´equations de Hartree-Fock
2.1.1.1 Formalisme de base
2.1.1.2 Noyaux `a couches ferm´ees
2.1.1.3 Noyaux `a couches non ferm´ees
2.2 Le mod`ele en couches
2.2.1 Formalisme de base
2.2.2 M´ethode de seconde quantification
2.3 La th´eorie des r´eactions
2.3.1 Le probl`eme avec asymptotique `a deux fragments
2.3.2 Canaux d’arrangement
2.3.3 Ondes partielles et sch´ema de couplage
2.3.4 Ondes distordues et potentiel de Coulomb
2.3.5 Comportement asymptotique
2.3.6 D´ecroissance spontanee
2.3.7 Introduction de notations supl´ementaires
2.4 Le mod`ele en couches avec couplage aux ´etats du continuum
2.4.1 Etats individuels
2.4.1.1 Etats li´es, continuum et r´esonances
2.4.1.2 Equation radiale et condition de raccordement
2.4.1.3 Etats quasi-li´es inclus dans le continuum
2.4.1.4 Projecteurs et compl´etudes
2.4.2 Etats `a N -corps
2.4.2.1 Relation de compl´etude dans l’espace de Fock
2.4.2.2 Espace des ´etats li´es
2.4.2.3 Espace des ´etats avec une particule dans un ´etat de diffusion
2.4.2.4 Espaces mod`eles
2.4.3 Formalisme de Feshbach
2.4.3.1 Lien entre les espaces mod`eles et les canaux physiques .
2.4.3.2 Projecteurs et r´esolvante
2.4.4 Les ´equations g´en´erales du mod`ele en couches avec couplage d’une particule aux ´etats du continuum
2.4.4.1 Forme g´en´erale des solutions de diffusion
2.4.4.2 S´eparation de l’hamiltonien total en hamiltoniens partiels et op´erateurs de transition
2.4.4.3 Les ´equations homog`enes
2.4.4.4 Les ´equations inhomog`enes
2.4.4.5 R´esonances `a N corps
2.4.5 Les approximations du mod`ele
2.4.5.1 Les m´elanges de configurations .
2.4.5.2 Probl`emes li´es `a la troncation de l’espace de valence
3 Applications
3.1 Coupure des r´esonances individuelles
3.2 Interaction nucl´eon-nucl´eon
3.3 Spectroscopie de 17 F et 17 O et d´ephasages de diffusion 16 O(p, p) 16 O
4 Modele en couches avec un nombre arbitraire de particules peuplant les ´etats du continuum
4.1 Consid´erations generales
4.1.1 Espaces des canaux physiques
4.1.2 Espaces mod`eles
4.1.3 Lien entre les espaces mod`eles et les canaux physiques
4.2 Les ´equations g´en´erales du mod`ele en couches avec couplage d’un nombre arbitraire de particules aux ´etats du continuum
4.2.1 Forme g´en´erale des ´equations
4.2.2 Choix de la repr´esentation pour la r´esolution des ´equations
4.2.2.1 Coordonn´ees hyper-sph´eriques
4.2.2.2 Rotation cin´ematique
4.2.2.3 Antisym´etrisation
4.2.2.4 Etats du projectile
4.2.2.5 Construction de la base `a deux fragments
4.2.3 Les ´equations homog`enes dans la base `a deux fragments
4.2.4 Remarques sur les autres formes d’aymptotiques
5 Conclusion et perspectives
6 Annexes
6.1 M´ethode de r´esolution des ´equations Hartree-Fock en repr´esentation coordonn´ee . . . . . . . .
6.2 Calcul des ´el´ements de matrice `a deux corps de l’interaction nucl´eon-nucl´eon
6.2.1 Interaction de Brink-Boeker
6.2.2 Interaction spin-orbite de port´ee finie
6.2.3 Interaction coulombienne
6.3 Le code de mod`ele en couches
6.4 Matrice de couplage des ´equations homog`enes
6.5 Source des ´equations inhomog`enes
6.6 Repr´esentation radiale des solutions de l’espace Q
6.7 R´esolution des ´equations projet´ees sur le continuum individuel
6.7.1 Solution matricielle
6.7.2 Solution vectorielle
6.8 D´erivation de la r´esolvante avec un nombre arbitraire d’espaces mod`eles
6.9 Fonctions de spin-isospin `a sym´etrie adapt´ee
6.10 Projection des ´equations avec deux particules dans le continuum
6.11 El´ements de la matrice de couplage dans la partition de masse « 2 »
6.12 Exemple de calcul de sources pour les ´equations inhomog`enes
