Modele dynamique pour les milieux poreux satures en transformations finies

METHODES BASEES SUR L’APPROXIMATION PAR MOINDRES CARRES MOBILES

Contrairement au lissage par moindre carrés classique,l’approximation MLSintroduit une dépendance des coefficients du lissagevis-à-vis des points du domaine Ωoù est réalisée l’approximation, ce qui, bien qu’étant une approximation globale, lui confère un caractère local (i.e. le terme « mobile »). Dans la suite de cette section, nous rappelons le principe de construction ainsi que les propriétés des fonctions de forme pour les méthodes basées sur ce type d’approximation.

Principe de l’approximation MLS

Détermination des fonctions de forme

Tout d’abord, la construction des fonctions de forme pour les méthodes reposant sur l’approximation aux moindres carrés mobiles secaractérise par l’utilisation d’une fonction monotone décroissante W, appelée fonction de pondération pour la méthode EFGM, définie sur le même support que la fonction de forme et ayant les propriétés suivantes :

Propriétés des fonctions de forme MLS

Consistance

L’ordre de consistance de l’approximation ()x u h dépend directement de celui des équations aux dérivées partielles (EDP) du problème à résoudre. Ainsi, pour des EDP d’ordre 2k, l’ordre de l’approximation devra être au moins égal à k, c’est-à-dire que la relation suivante doit être vérifiée :
Différentes méthodes spécifiques sont donc proposées dans la littérature pour résoudre ce problème, les plus usuelles et les plus utilisées en pratique étant :
• l’ajout de multiplicateurs de Lagrange [BEL 95] ;
• l’élimination du multiplicateur de Lagrange par modification de la formulation variationnelle ;
• l’ajout d’une fonction de pénalisation à la formulation variationnelle [ZIE 91 ; LAO 96 ; GAV 00] ;
• l’utilisation de fonctions de pondération singulières [LAN 81 ; DUA 96b ; LAO 96 ; BRE 00] ;
• le couplage avec des éléments finis auniveau de la frontière [BEL 95] .
Une synthèse des deux premières méthodes, ainsi que des avantages et inconvénients de chacune peuvent notamment être trouvés dans[AUB 97]. La troisième méthode est déjà couramment utilisée en éléments finis.
Nous allons présenter plus particulièrement ici les deux dernières méthodes, pour lesquelles les performances numériques sont comparées dans les applications du chapitre 2.

Notre contribution

Pour imposer les conditions aux limites essentielles avec un couplage EFGM-FEM, Belytschko et co-auteurs utilisent des cellule d’intégration ou des éléments d’interface de même nature que les éléments finis à la frontière, à savoir par exemple des éléments quadrangulaires à 4 nœuds en 2D. Nous avons choisi de réaliser le couplage en introduisant à la frontière, des éléments finis de nature différente par rapport aux cellules d’intégration, à savoir par exemple des éléments linéiques en 2D (cf. Fig. 1.14 et voir les tests numériques du chapitre 2).

Remarques 

• Le calcul des fonctions de forme meshfree peutse faire soit en incluant les nœuds FEM dans le voisinage du point d’évaluation, soit en tronquant les supportsau niveau de la frontière F Γ . L’équipe de Belytschko montre que le fait d’exclure les nœuds FEM permet de réduire le saut au niveau des dérivées à l’interface. Les figures 13 et 14 montrent le cas 1D pour des fonctions de forme modifiées I N et leurs dérivées , Ix N calculées en excluant les nœuds FEM et en utilisant les fonctions de transition () Rx et () Rx.
• Une approche différente de couplage EFGM-FEM a été proposée par Modaressi et Aubert [MOD 95 ; MOD 96 ; AUB 97], dans laquelle lechamp de déplacement est évalué par la méthode des éléments finis et les champs de pressions interstitielles(fluides mouillant et non-mouillant), par une méthode meshfree (EFGM ou DEM). Hormis le fait qu’elle fournit naturellement la structure d’intégration adaptée, cette technique offre notamment une plus grande souplesse quant au choix du nombre de degrés de liberté en pression, ce qui permet de mieux vérifier les critères de stabilité numériquepour les milieux poreuxquasi-imperméables saturés par un fluide incompressible.

La méthode SPH

Introduction

La méthode SPH (« Smoothed Particle Hydrodynamics»)) est l’une des méthodes meshfree les plus utilisées en pratique, essentiellement pour simuler les phénomènes stellaires et astrophysiques, les problèmes d’impacts à haute vitesse (projectiles), les problèmes de transferts de masse et de chaleur, et plusgénéralement les problèmes de Mécanique des Fluides (écoulements, surface libre, etc.).
La principale difficulté pour utiliser cette méthode et plus généralement toutes les méthodes de particules, dans le cadre conventionnel des problèmes aux limites rencontrés en Mécanique des Milieux Continus, réside dans l’imposition des conditions aux limites essentielles, cette méthode n’ayant pas été développée à l’origine pour ce type de problèmes. Ainsi, une portion de frontière ayant ce type de condition imposée,nécessite un traitement numérique spécifique.
Une technique courante consisteà introduire des particules fictives situées à l’extérieur du domaine et appartenant au voisinage des particules réelles à la frontière [RAN 96]. Une autre technique consiste à utiliserdes particules frontières de masse réduite [CHE 00].
Ci-après, nous rappelons le principe, ainsi que quelques unes des propriétés importantes de la méthode SPH.

Principe

L’approximation SPH correspond à la forme discrétisée de l’intégrale (1.63), que l’on calcule sur un domaine fini Ω,généralement en utilisant une méthode d’intégration nodale de type trapèzes :
Remarque : De même que pour les méthodes MLS, il est possible d’optimiser le calcul des dérivées partielles de () I.

Conditions aux limites essentielles et fonction de dilatation

De même que pour la méthode SPH, l’approximation RKPM ainsi construite n’est pas interpolante, ce qui pose problèmes pour imposerles conditions aux limites essentielles. Gosz et Liu [GOS 96] montrent que pour vérifier la consistance aux frontièr es de Dirichlet, il est nécessaire de modifier soit les fonctions deforme ou bien les fonctions fenêtres calculées pour les particules proches, afin de les forcer à s’annuler sur ces frontières.
Dans la cas 1D, la condition d’annulation des fonctions de forme s’obtient en utilisant une propriété intéressante des fonctions à support compact : si le nombre de particules présentes dans le support de la fonction de forme est égal au nombre de monômes de la base polynomiale p, alors on montre que les fonctions de forme sont interpolantes (voir ladémonstration dans [GOS 96] pour la méthode RKPM).

Synthèse des Principales Méthodes Meshfree

Cette condition d’annulation est néanmoins difficile à mettre en œuvre dans le cas général 2D/3D (frontières courbes). Gosz et Liu montrent que ceci est par exemple possible si la frontière est rectiligne et quela distribution nodale est régulière (pas de discrétisation constants).
Une autre technique consiste à forcer l’annulation des fonctions fenêtres au voisinage de la frontière. Pour cela, Gosz et Liu proposent d’introduire une fonction de dilatation tenant compte de la géométrie réelle de la frontière. En effet, du fait du choix initial d’un coefficient de dilatation h (forme continue de l’approximation RKM) ne dépendant que de la position des particules ou nœuds du domaine, la méthode RKPM standard (forme discrétisée) utilise un coefficient de dilatation I h constant par nœud. Le support résultant pour la fonction fenêtre associée possède alors une forme de type rectangulaire ou elliptique, mal adaptée pour vérifier les conditions de consistance pour des frontières à géométrie complexe. L’idée consiste donc à introduire une fonction de dilatation () hx ξ pour la forme continue ou () I hx pour la forme discrétisée, dépendant également de la position du point d’évaluation 2 x, de façon à obtenir des supports de forme quelconquepour les nœuds proches de la frontière.

Décomposition « multi-échelle » pour l’approximation RKM

Principe

L’approche « multi-échelle » ou par ondelettesest une approche est ici proposée par Liu et co-auteurs [LIU 96a ; LIU 96b ; LIU 00a] pourpermettre d’analyser dans le domaine fréquentiel, les conditions dereproduction de l’approximation RKMénoncées au départ dans le domaine transitoire.
En effet, si l’on considère le produit de convolution (1.74), la fonction fenêtre Wse comporte en fait comme un filtre passe-bas appliqué à la solution uet permettant ainsi d’obtenir la solution approchée ou « reproduite », Ru .

CONCLUSIONS ET SYNTHESE DES FORMALISMES MESHFREE

Dans ce chapitre, nous avons présenté le formalisme des principales familles de méthodes meshfree actuellement les plus utilisées en pratique, sachant que la liste n’est pas exhaustive, du fait d’une littérature extrêmement abondante sur le sujet.Nous avons choisi de regrouper les différentes méthodes arbitrairement par type d’approximation, à savoir les approximations MLS(moindres carrés mobiles) et RKM (« reproducing kernel »), l’interpolation polynomiale et les approximations RBFutilisant des fonctions de bases radiales. Ce regroupement est arbitraire, car un certain nombre de méthodes sont en fait à l’intersection entre deux groupes (exemple : MLS/RK, RPIM, MLS/RBF). Par ailleurs, la plupart des méthodes meshfree présentées, à l’exception des méthodes RBF(méthode MLS/RBF non comprise), s’inscrivent dans le cadre de la partition de l’unité de par la construction de leurs fonctions de forme. Nous proposons ci-après la synthèse des formalismes discrets présentés dans ce chapitre (cf. Tabl.1.3, 1.4 et 1.5).
Pour les approximations MLSet RKM, l’ordre de consistance (ou reproduction) est conditionné par l’ordre de dérivabilité des fonctions de pondération. Par ailleurs, les fonctions de forme sont généralement non interpolantes, sauf sous certaines conditions, ce qui nécessite d’utiliser de techniques particulières pour permettre d’imposerles conditions aux limites de Dirichlet. Dans le cas d’une résolution de typeGalerkin, une technique pratique consiste à coupler avec des éléments finis près de la frontière et de mettre en œuvre une procédure de transition entre les domaines meshfree et éléments finis. Une autre technique proposée récemment pour l’approximation RKMconsiste à enrichir les fonctions de forme pour qu’elles deviennent interpolantes (sans utiliser les éléments finis). Ces deux techniques présentent l’avantage de ne pas augmenter le nombre de degrés de liberté du système, contrairement à la technique classique qui consiste à employer des multiplicateurs de Lagrange.
L’approximation polynomiale (méthode PIM), qui peut être considérée comme une généralisation des éléments finis, construit des fonctions de forme interpolantes, ce qui permet d’imposer les conditions aux limites directement aux nœuds. L’inconvénient est que la détermination de l’ordre de la base polynomiale est en pratique difficile, car variable suivant l’arrangement spatial des nœuds (nombre de nœuds voisins du point d’évaluation et positions).
Les méthodes utilisant des fonctions de bases radiales à support global (GSRBF) sont intéressantes, car elles sont interpolantes et sont en outre faciles à mettre en œuvre dans un code numérique. Les méthodes utilisant des fonctions à support global possèdent des ordres de convergence élevés, mais en revanche, produisent des matrices de rigidité pleines ou mal conditionnées, voire non définies positives. Elles nécessitent de ce fait l’emploi d’une algorithmique spécifique pour y remédier (méthodes de pré-conditionnement, partition par domaines, etc.). Les méthodes avec fonctions de bases radiales à support compact (CSRBF) ne présentent pas les mêmes inconvénients, mais conduisent généralement à une précision numérique moins élevée. Un moyen possible d’y remédier est d’utiliser un algorithme hiérarchique et/ou de construire des fonctions de forme de type Shepard, modifiées pour atteindre l’ordre de consistance recherché.
Par ailleurs, nous avons implanté dans un même outil de calculs, la plupart des méthodes meshfree présentées dans ce chapitre. Le second chapitre de ce mémoire est consacré à la comparaison des performances numériques (convergence, précision, etc.) des différentes méthodes pour quelques applications standards.

Mise en œuvre des Méthodes Meshfree

INTRODUCTION

Nous nous sommes attachés au niveau du premier chapitre de ce mémoire, à faire la synthèse d’un grand nombre de méthodes meshfree proposées actuellement dans lalittérature. Cette synthèse en fournissant une écriture commune, visait en fait à faciliter la mise en œuvre numérique de ces différentes méthodes. Les difficultés pratiques se posant lors de cette mise en œuvre, quelles soient d’ordre algorithmique, ou bien au niveau du choix des techniques les mieux appropriées pour simuler un problème donné, sont à notre avis souvent insuffisamment traitées dans la littérature. Notre motivation en abordant dans ce chapitre un certain nombre d’aspects pratiques, est de fournir des éléments en vue d’une utilisation plus courante des méthodes meshfree. Au niveau de la démarche, nous avons tout d’abord choisi de présenter différents aspects liés au développement, puis de tester les méthodes présentées au premier chapitre sur des applications numériques simples permettant ainsi d’évaluer leurs performances numériques et de fournir des éléments de comparaison.
Du point de vue du développement, l’une des principales difficultés réside dans la détermination et éventuellement la gestion des domaines d’influence des nœuds de la discrétisation. On verra en effet dans les exemples numériques de ce chapitre, que la taille et la forme du domaine d’influence sont des paramètres essentiels au niveau de la convergence et de la précision numérique qu’il est possible d’atteindre. Par ailleurs, il est généralement indispensable d’utiliser une technique de recherche rapide des nœuds appartenant aux différents domaines d’influence. C’est notamment le cas lorsque la taille du problème à simuler est importante (nombre de nœuds élevé) ou lorsque les domaines d’influence peuvent évoluer au cours de la simulation et doivent donc être régulièrement réévalués (exemple : raffinement adaptatif ou nœuds mobiles pour simuler des champs évolutifs avec forts gradients, grandes transformations en formulation lagrangienne réactualisée, etc.).
Du fait que l’on utilise généralement un formalisme discret pour résoudre le problème aux limites mécanique, un autre choix essentiel concerne la méthode à adopter pour intégrer numériquement sur le domaine d’étude, les équations de conservation classiques (mouvement, moments, masse, énergie). Pour ce faire, deux méthodes sont généralement utilisées en pratique :
• la collocation : les équations sont résolues au sens fort en intégrant sur un ensemble de points qui coïncident en général avec les nœuds utilisés pour l’approximation ;
• les méthodes de type Galerkin: les équations sont résolues au sens faible sur un ensemble de points d’intégration ne coïncidant pas avec les nœuds.

Mise en œuvre des Méthodes Meshfree

En pratique, la collocation est souvent utilisée avec les approximations RKM(essentiellement la méthode SPH) et RBF, tandis que les méthodes de type Galerkin sont souvent préférées pour les approximations MLSet polynomiales.
Enfin, une autre difficulté importante rencontrée lors de la mise en œuvre pratique des méthodes meshfree, réside dans le traitementdes discontinuités, celles-ci pouvant être matérielles (contrastes de propriétés physiques et/ou mécaniques) ou numériques (ordres ou méthodes d’approximation différents). Elles peuvent également être liées à une discontinuité du milieu physique à modéliser (fissures, etc.). Dans le cadre de ce mémoire, ce dernier cas ne sera pas envisagé et nous nous intéresseronsuniquement au cas des domaines convexes.
Dans la première partie de ce chapitre, nous allons tout d’abord rappeler les diverses techniques numériques communes aux méthodes meshfree et relatives aux difficultés énoncées plus avant, à savoir :
• la définition du domaine d’influence d’un nœud donné : détermination du rayon « optimal » et recherche rapide des nœuds appartenant au domaine ;
• l’intégration spatiale dans lecadre d’une formulation de type Galerkin : intégration nodale ou par une quadrature de type Gauss-Legendre avec utilisation de grilles ;
• le traitement des discontinuités matérielles ou numériques.
Nous présenterons également les techniques numériques plus spécifiques concernant la construction des fonctions de forme dans le cas d’un arrangement nodal singulier. Ces techniques ont initialement été proposées par Liu et co-auteurs pour la méthode PIM (voir notamment [LIU 03]).
Dans la seconde partie du chapitre, nous présenterons les résultatsissus des simulations réalisées pour des problèmes mécaniques simples, avec les méthodes meshfree présentées dans le premier chapitre de ce mémoire.
Nous avons fait le choix ici de rendre interpolantes toutes les méthodes MLSet RKMtestées, pour en évaluer les performances. Ce choix est par ailleurs motivé par les applications visées, à savoir des simulations en transformations finies avec des lois de comportement complexes, simulations fort consommatrices en temps de calcul. Suivant les applications, l’interpolation sera réalisée soit sur la totalité du domaine d’étude en utilisant pour ce faire, des fonctions de pondération ou des fonctions de forme modifiées, soit uniquement au niveau des frontières avec conditions aux limites imposées (Dirichlet ou Neumann), en les couplant avec la méthode des éléments finis. Dans le cas où la solution analytique n’est pas connue pour le test considéré, la méthode des éléments finis est utilisée comme référence.
Nous avons par ailleurs choisi de ne pas utiliser les méthodes SPH et DEM, la première constituant en fait un cas particulier de la méthode RKPM, et la seconde, un cas particulier de la méthode EFGM avec dérivées tronquées des fonctions de forme (cf. chapitre 1). De même, nous avons abandonné les méthodes C-PUM et RBF (raisons évoquées au chapitre 1).

Techniques numériques

TECHNIQUES NUMERIQUES POUR LES METHODES MESHFREE

Domaine d’influence et recherche des nœuds voisins

Deux stratégies existent habituellement pour déterminer les domaines d’influence pour tous les nœuds d’une discrétisation.
La première technique consiste à fixer de manière uniforme les dimensions du domaine d’influence des nœuds de la discrétisation. Cette méthode est applicable pour des arrangements nodaux réguliers, dont le pas de discrétisation dans chaque direction spatiale est fixe et connu a priori.
La seconde technique consiste tout d’abord à déterminer les mnœuds les plus proches d’un point d’évaluation donné (par exemple un nœud ou un point d’intégration), de manière à obtenir une matrice des moments non singulière (cf. chapitre 1). Il s’agit ensuite d’augmenter
éventuellement la taille des domaines d’influence de ces nœuds voisins, de façon à ce qu’ils contiennent le point d’évaluation considéré. Cette technique est mieux adaptée lorsque la répartition des nœuds de la discrétisation est très irrégulière. Elle nécessite néanmoins unalgorithme spécifique pour optimiser la recherche des nœuds voisins.
Une approche couramment utilisée en pratique consiste à subdiviser le domaine d’étude en sous-domaines rectangulaires, appelés « buckets», pour lesquels est définie un nombre maximal de nœuds pouvant être contenu à l’intérieur. Cette limite est déterminée a priori et est fonction de la taille du problème et du nombre maximal de nœuds admissibles pour un domaine d’influence donné. On utilise ensuite une procédure récursive pour déterminer l’ensemble des « buckets» nécessaires pour couvrir le domaine d’étude et vérifiant la condition sur le nombre limite de nœuds (cf. Tabl. 2.2). Finalement, au lieu de s’effectuer sur le domaine global, la recherche des nœuds voisins s’effectue alors simplement sur les « buckets» recoupant le domaine d’influence en cours de construction.

Table des matières
PRINCIPALES NOTATIONS 
INTRODUCTION GENERALE
1. SYNTHESE DES PRINCIPALES METHODES MESHFREE
1.1 INTRODUCTION
1.2 PRINCIPE DE LA PARTITION DE L’UNITE
1.3 METHODES BASEES SUR L’APPROXIMATION PAR MOINDRES CARRES MOBILES
1.3.1 Principe de l’approximation MLS
1.3.1.1 Détermination des fonctions de forme
1.3.1.2 Cas particulier de la méthode meshfree h-p Clouds
1.3.1.3 Fonctions de pondération usuelles
1.3.1.4 Exemples de fonctions de forme MLS
1.3.2 Propriétés des fonctions de forme MLS
1.3.2.1 Consistance
1.3.2.2 Non interpolation et conditionsaux limites de Dirichlet
1.3.2.3 Calcul rapide des dérivées partielles
1.4 METHODES BASEES SUR L’APPROXIMATION RKM
1.4.1 Formalisme continu et conditions de reproduction
1.4.2 La méthode SPH
1.4.2.1 Introduction
1.4.2.2 Principe
1.4.2.3 Conditions de consistance
1.4.2.4 Approximation des dérivées de la solution
1.4.2.5 Fonctions de lissage usuelles
1.4.3 La méthode RKPM
1.4.3.1 Principe
1.4.3.2 Conditions aux limites essentielles et fonction de dilatation
1.4.3.3 Exemples de fonctions fenêtres modifiées
1.4.4 La méthode RKI
1.4.5 Décomposition « multi-échelle » pour l’approximation RKM
1.4.5.1 Principe
1.4.5.2 Analyse en domaine fréquentiel
1.4.6 Formalisme continu pour l’approximation MLS
1.4.7 La méthode MLS/RK
1.4.8 Synthèse des formalismes continus pour les méthodes MLSet RKM
1.5 METHODE BASEE SUR LA PARTITION DE L’UNITE : LA METHODE C-PUM
1.6 METHODE BASEE SUR L’INTERPOLATION POLYNOMIALE : LA METHODE PIM
1.7 METHODES UTILISANT LES FONCTIONS DE BASES RADIALES
1.7.1 La méthode RPIM
1.7.1.1 Principe de l’interpolation avec des fonctions de bases radiales à support global
1.7.1.2 Fonctions de forme RPIM
1.7.1.3 Fonctions GSRBF usuelles
1.7.2 La méthode MLS/RBF
1.7.2.1 Principe de l’interpolation avec des fonctions de bases radiales à support compact
1.7.2.2 Fonctions de forme MLS/RBF
1.7.2.3 Fonctions CSRBF usuelles
1.8 CONCLUSIONS ET SYNTHESE DES FORMALISMES MESHFREE
2. MISE EN ŒUVRE DES METHODES MESHFREE 
2.1 INTRODUCTION
2.2 TECHNIQUES NUMERIQUES POURLES METHODES MESHFREE
2.2.1 Domaine d’influence et recherche des nœuds voisins
2.2.2 Intégration spatiale
2.2.2.1 Quadrature de Gauss – Legendre
2.2.2.2 Intégration nodale
2.2.2.3 Techniques de stabilisation utilisées pour l’intégration nodale
2.2.3 Traitement des discontinuités
2.2.4 Techniques spécifiques dans le casd’un arrangement nodal singulier
2.3 APPLICATIONS NUMERIQUES
2.3.1 Introduction
2.3.2 Patch Tests linéaires
2.3.2.1 Rappel
2.3.2.2 Effet du choix du domaine d’influence
2.3.2.3 Influence de l’intégration spatiale
2.3.2.4 Influence de la technique d’interpolation
2.3.3 Plaque infinie avec un trou circulaire
2.4 CONCLUSIONS
3. MODELE DYNAMIQUE POUR LES MILIEUX POREUX SATURES EN TRANSFORMATIONS FINIES
3.1 INTRODUCTION
3.2 FORMULATION MATHEMATIQUEDU MODELE DYNAMIQUE EN TRANSFORMATIONS FINIES
3.2.1 Hypothèses générales
3.2.2 Equations de conservation endescription eulérienne
3.2.2.1 Équation de conservation de la quantité de mouvement
3.2.2.2 Équation de conservation de la masse
3.2.2.3 Système d’équations final endescription eulérienne
3.2.3 Equations de conservation endescription lagrangienne
3.2.4 Conditions initiales et aux limites
3.2.4.1 Conditions initiales
3.2.4.2 Conditions aux limites
3.3 LOI DE COMPORTEMENT SOLIDE EN TRANSFORMATIONS FINIES
3.3.1 Introduction
3.3.2 Décomposition multiplicative du gradient de la transformation
3.3.3 Matériaux hypoélastiques
3.3.3.1 Principe
3.3.3.2 Dérivées objectives usuelles
3.3.3.3 Ecritures incrémentales en description UL
3.3.3.4 Ecriture incrémentaleen description TL
3.3.4 Matériaux hyperélastiques
3.3.4.1 Introduction
3.3.4.2 Hypothèses générales
3.3.4.3 Ecriture en description TL
3.4 FORMULATION VARIATIONNELLE
3.4.1 Principe
3.4.2 Linéarisation de l’équation de conservation de la quantité de mouvement
3.5 DISCRETISATIONS
3.5.1 Discrétisation spatiale sur la configuration initiale
3.5.2 Discrétisation en temps
3.6 RESOLUTION DU PROBLEME NON LINEAIRE
3.7 CONCLUSIONS
4. APPLICATIONS GEOMECANIQUES EN TRANSFORMATIONS FINIES 
4.1 INTRODUCTION
4.2 TESTS MECANIQUES SIMPLES ENTRANSFORMATIONS FINIES
4.2.1 Introduction
4.2.2 Extension bi-axiale
4.2.3 Rotation complète
4.2.4 Compression – extension à volume constant
4.3 SIMULATIONS GEOMECANIQUES SIMPLES EN TRANSFORMATIONS FINIES
4.3.1 Colonne de sol soumise à une charge répartie en surface
4.3.1.1 Cas dynamique drainé
4.3.1.2 Cas statique saturé
4.3.2 Massif de sol drainé soumis à une charge dynamique en surface
4.4 REPONSE SISMIQUE DU BARRAGE EN TERRE DE « EL INFIERNILLO »
4.4.1 Caractéristiques et hypothèsesgénérales des simulations
4.4.1.1 Le barrage
4.4.1.2 Le mouvement d’entrée
4.4.1.3 Caractéristiques numériques
4.4.2 Résultats
4.5 CONCLUSIONS
CONCLUSIONS GENERALES
REFERENCES BIBLIOGRAPHIE 
ANNEXES
A. APERÇU DU LANGAGE C++
B. STRUCTURE DE DONNÉES DU LOGICIEL MOVEFREE

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