Soutenance mémoire
Combustible nucléaire
Dans les REP, le combustible nucléaire est constitué soit de dioxyde d’uranium (UO2) enrichi entre 3 et 5% en noyaux fissiles (235 92U), soit d’un mélange d’oxydes appelé MOX contenant du dioxyde d’uranium naturel et entre 5 et 10% de dioxyde de plutonium (PuO2). L’oxyde d’uranium, comme l’oxyde mixte, se présente sous la forme d’une poudre noire. Celle-ci est comprimée puis frittée pour donner des pastilles de combustible. Il s’agit d’une céramique fragile avec une contrainte de rupture comprise entre 100 MPa et 150 MPa. La fissuration des pastilles va alors apparaître dès la première montée en puissance du réacteur sous l’effet des contraintes thermiques. La figure I.4 permet d’apprécier la géométrie et les dimensions caractéristiques d’une pastille combustible destinée à un REP. Comme on peut le voir sur cette figure, elle présente un évidement hémisphérique à ses deux extrémités destiné à compenser l’excès de dilatation thermique du centre de la pastille par rapport à la périphérie. Elle présente également un chanfrein qui à la fois facilite l’introduction dans la gaine et permet également d’accomoder une partie de la déformation en forme de diabolo que subit la pastille au cours de l’irradiation et qui est ainsi plus importante au plan inter-pastille comme représenté figure I.5. Cette déformation est induite par un fort gradient thermique entre le centre de la pastille et sa périphérie, amplifié par la fragmentation de la pastille.
A priori réduction et a priori hyper-réduction
Parmi les méthodes a priori, on trouve également l’A Priori Réduction (APR) [Ryckelynck, 2002]. Il s’agit d’une méthode incrémentale en temps basée sur un algorithme permettant d’enrichir l’espace d’approximation réduit associé à la variable d’espace jusqu’à en obtenir un qui décrive au mieux la solution sur tout l’intervalle de temps considéré. L’enrichissement se fait à l’aide des sous-espaces de Krylov [Krylov, 1931] sur un intervalle de temps donné et jusqu’à convergence du résidu de l’équation d’équilibre. Une variante de l’APR a été développée pour encore plus réduire le temps de calcul et en particulier pour les problèmes mécaniques non-linéaires. Il s’agit de l’A Priori HyperRéduction (APHR) [Ryckelynck, 2005 ; Ryckelynck et al., 2006] qui a comme particularité la résolution des équations sur un maillage réduit appelé domaine d’intégration réduit – abrégé RID pour Reduced Integration Domain en anglais – . Comme son nom l’indique, l’intégration sur le RID des équations sous leur forme faible et en particulier de la loi de comportement vont permettre une économie de temps importante. Les nouvelles conditions aux limites sur le RID sont imposées par une projection de type Petrov-Galerkin [Ryckelynck et al., 2016]. Les sous-espaces de Krylov, obtenus grâce aux méthodes les plus répandues [Lanczos, 1950 ; Arnoldi, 1951], ont été utilisés pour un certain nombre de méthodes de réduction d’ordre de modèles. Le lecteur pourra se référer à [Kamon et al., 2000 ; Rewieński, 2003] ainsi que les références associées. L’APHR a été abandonnée car la taille de l’espace d’approximation produit par les sous-espaces de Krylov devenait vite trop grand et les phases d’enrichissement puis d’orthogonalisation trop lourdes. Une méthode équivalente à l’APHR a par contre été développée en tant que méthode a posteriori. L’espace d’approximation associé à la variable d’espace est alors construit à partir de données collectées.
Méthode des bases réduites
La stratégie adoptée par la méthode des bases réduites – abrégé RBM pour Reduced Basis Method en anglais – consiste à projeter le FOM sur un sous-espace engendré par une base de fonctions choisies pour bien représenter les solutions du FOM pour un certain espace d’étude. Les premiers travaux concernant ce type de méthode ont été réalisés vers la fin des années 1970 pour des problèmes de mécanique des structures linéaires et non linéaires [Almroth et al., 1978 ; Nagy, 1979 ; Noor et Peters, 1980 ; Almroth et al., 1981a ; Almroth et al., 1981b ; Noor, 1981 ; Noor, 1982]. Il faudra attendre les années 2000 pour qu’un fond plus mathématique soit développé [Prud’Homme et al., 2002 ; Maday et al., 2002a ; Maday et al., 2002b ; Maday et Rønquist, 2002 ; Veroy et al., 2003]. Ces travaux ont été déterminants pour la RBM car ils ont menés à :
• un critère efficace pour la sélection des snapshots constituant la BR engendrant le sous-espace d’approximation. Il s’agit de l’utilisation d’un algorithme glouton (cf. section II.1.3.a) qui va à la fois limiter le nombre d’appel au FOM et la taille de la BR utilisée pour réduire le modèle.
• un découpage de la procédure en deux parties :
1. une partie “offline” – appelée également phase d’apprentissage – où les objets indépendants des paramètres sont construits – comme le sous-espace d’approximation et la projection sur ce dernier lorsque cela est réalisable une fois pour toutes – ,
2. une partie “online” qui consiste en la résolution du problème réduit dépendant des paramètres, après projection sur le sous-espace d’approximation lorsque cela n’a pas été possible dans la partie “offline”.
• L’utilisation d’un estimateur d’erreur qui garantit la qualité de la solution du problème réduit. Pour une vision globale de la RBM et des applications de la méthode dans différents domaines, le lecteur pourra se référer au livre [Quarteroni et al., 2015]
Projection sur base réduite compressée
Les méthodes de projection sur base réduite compressée peuvent être vues comme un cas particulier de la RBM où la BR engendrant le sous-espace d’approximation, sur laquelle va être projeté le FOM, est construite à l’aide d’une méthode de compression de données. Dans ce cas, la manière de choisir les snapshots est moins importante que pour la RBM puisque la possible redondance de l’information contenue dans les snapshots auxquels va être appliquée la méthode va être éliminée, ce qui va permettre de diminuer la taille de la BR. Il est donc possible d’utiliser différentes méthodes classiques d’échantillonnage pour le choix des snapshots. Comme pour la RBM, un algorithme glouton pourra tout de même être utilisé pour le choix des snapshots dans le but de limiter leur nombre.
Méthodes de réduction d’ordre de modèles La méthode la plus connue et la plus utilisée en réduction d’ordre de modèles est la PODGalerkin qui repose sur la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD), qui sera introduite section II.1.3.d, car elle permet d’obtenir une BR optimale. Sa première utilisation a été réalisée dans [Aubry et al., 1988]. Des études et applications plus récentes pourront être trouvées dans [Liberge et Hamdouni, 2010 ; Akkari, 2012 ; Akkari et al., 2014].
Indicateur d’erreur en réduction d’ordre de modèles
Dans le cadre des méthodes de réduction d’ordre de modèles, les indicateurs d’erreur permettent d’approximer l’erreur de référence, à savoir l’erreur entre les solutions obtenues avec les FOM et ROM. Différents indicateurs d’erreur ont été développés pour les différentes méthodes de réduction d’ordre de modèles. Nous pouvons par exemple citer [Prud’Homme et al., 2002 ; Veroy et al., 2003 ; Grepl et Patera, 2005] pour la RBM. Un indicateur d’erreur rigoureusement construit pour surestimer l’erreur, mais assez coûteux, dans [Eftang et al., 2010] pour l’EIM. Différents indicateurs d’erreur pourront être trouvés pour la DEIM dans [Chaturantabut et Sorensen, 2012 ; Wirtz et al., 2014]. Nous pouvons également citer [Ryckelynck et al., 2015] pour l’HR. En réduction d’ordre de modèles, chaque indicateur d’erreur est en général développé pour une méthode. En effet, il n’est pas évident de trouver un indicateur d’erreur existant qui puisse être adapté à une autre méthode que celle pour laquelle il a été développé. Comme cela a été vu dans la section II.1.3.a, l’indicateur d’erreur peut être utilisé pour sélectionner les snapshots dans le cadre d’un algorithme glouton. Pour cette utilisation, il se doit de posséder quelques qualités :
• être peu coûteux puisqu’il va être appelé autant de fois que la taille de l’ensemble des paramètres d’entraînement à chaque itération.
• indiquer des points dans l’espace paramétrique qui vont apporter des données permettant une décroissance rapide de l’erreur de référence.
• dans l’idéal, le rapport entre l’erreur estimée et l’erreur de référence – appelé indice d’efficacité – doit approché 1 en restant supérieur pour que l’algorithme s’arrête aussitôt le seuil d’erreur demandé atteint. L’indicateur d’erreur peut également permettre l’enrichissement de la BR au cours du calcul comme cela est fait dans les méthodes APR et APHR (cf. section II.1.1.b).
Reconstruction a posteriori des multiplicateurs de Lagrange à partir de la solution hyper-réduite hybride
Comme pour la méthode HR standard, le choix du relèvement de uI (II.61) permet à la solution primale d’être définie sur tout le domaine initial par U = V γ. Un inconvénient de la méthode HRH proposée est alors que la condition de non-pénétration (II.67) n’est pas forcément vérifiée en dehors du RID. La base duale EF limitée au RID ne nous permet pas de reconstruire les forces de contact en dehors du RID. La question de la reconstruction des forces de contact sur Γ C nous ramène à la difficulté de trouver une BR duale fiable pour post-traiter les prédictions HRH. Nous proposons alors le post-traitement suivant. À partir des snapshots de la variable duale, en utilisant les résultats de simulation avec le FOM pour collecter les snapshots de la variable primale, on extrait Ns snapshots linéairement indépendants tels que Ns ≤ NC λ + Nλ et on note la matrice composée de ces snapshots Sλ. Notre stratégie est de trouver les coefficients γλ, sous contrainte de positivité pour assurer la condition de non-adhésion (II.68), associés aux colonnes de Sλ minimisant la condition de complémentarité (II.69) – un jeu positif doit donner un multiplicateur de Lagrange nul – ainsi que la distance avec la solution duale obtenue en résolvant le modèle HRH. La reconstruction proposée est obtenue en résolvant le problème (III.13) de type moindres carrés sous contrainte de positivité où U et Λ[Aλ] sont les solutions primale et duale obtenues en résolvant le modèle HRH (III.8).
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Table des matières
Introduction
Notations
Abréviations
I Contexte
I.1 Contexte industriel
I.1.1 Réacteur à eau pressurisée
I.1.2 Cœur d’un réacteur à eau pressurisée
I.1.3 Comportement du crayon combustible
I.1.4 Modélisation du combustible
I.2 Objectifs et réalisations de la thèse
II État de l’art des méthodes de réduction d’ordre de modèles
II.1 Méthodes de réduction d’ordre de modèles
II.1.1 Méthodes a priori
II.1.2 Méthodes a posteriori
II.1.3 Outils utilisés par les méthodes de réduction d’ordre de modèles
II.2 Hyper-réduction en élasticité
II.2.1 Résolution par éléments finis d’un problème élastique
II.2.2 Construction d’une base réduite
II.2.3 Construction d’un domaine d’intégration réduit
II.2.4 Définition du problème hyper-réduit
II.3 Réduction d’ordre de modèles en mécanique du contact
II.3.1 Résolution par éléments finis d’un problème de contact élastique
II.3.2 Méthodes de réduction d’ordre de modèles en mécanique du contact
III Hyper-réduction hybride pour la mécanique du contact élastique
III.1 Hyper-réduction hybride pour le contact
III.1.1 Révision du domaine d’intégration réduit
III.1.2 Définition de l’hyper-réduction hybride
III.1.3 Reconstruction a posteriori des multiplicateurs de Lagrange
III.1.4 Indicateur d’erreur
III.2 Implémentation de l’hyper-réduction hybride
III.2.1 Implémentation en Python
III.2.2 Implémentation peu intrusive pour Cast3M
III.3 Hyper-réduction hybride appliquée à un cas test 1D
III.3.1 Cas test
III.3.2 Application de l’hyper-réduction hybride
III.3.3 Comparaison avec la PBM
III.4 Application de l’hyper-réduction hybride à un cas test 2D avec Cast3M
III.4.1 Cas test
III.4.2 Construction du modèle hyper-réduit
III.4.3 Résultats de l’hyper-réduction dans et en dehors de l’espace paramétrique
III.4.4 Étude de la condition LBB en fonction des ddl EF
III.4.5 Traitement d’un espace paramétrique plus grand et comparaison avec la PBM
III.5 Application de l’hyper-réduction hybride à un cas test 3D avec Cast3M
III.5.1 Cas représentatif de chargements thermo-mécaniques sur l’élément combustible
III.5.2 Construction de deux modèles par hyper-réduction hybride
III.5.3 Application de l’hyper-réduction hybride
III.5.4 Erreur du modèle HRH en fonction du seuil POD
IV HRH pour la mécanique du contact entre matériaux non-linéaires
IV.1 Hyper-réduction hybride pour un matériau non-linéaire
IV.1.1 Résolution par éléments finis avec un comportement non-linéaire
IV.1.2 Hyper-réduction hybride pour un matériau non-linéaire
IV.2 Hyper-réduction hybride pour le contact avec des matériaux non-linéaires
IV.2.1 Mécanique du contact avec un comportement non-linéaire
IV.2.2 Hyper-réduction hybride en mécanique du contact pour un comportement non-linéaire
IV.3 Implémentation dans Cast3M
IV.4 Application de l’hyper-réduction hybride à un cas test 2D avec Cast3M
IV.4.1 Cas test 2D non-linéaire
IV.4.2 Réduction de l’ordre du modèle
IV.4.3 Résultats obtenus avec le modèle hyper-réduit hybride
Conclusions et perspectives
A Article
Liste des illustrations
Références bibliographiques
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