Soutenance mémoire
Les interfaces entre milieux fluides sont présentes dans de nombreux problèmes de mécanique des fluides. Selon l’écoulement étudié, cette interface est amenée à évoluer et est souvent le siège d’instabilités. On peut citer les problèmes d’écoulements à ‘surface libre’ comme par exemple l’écoulement d’une rivière. Dans ce cas, l’interface entre l’eau et l’air peut changer de forme à cause d’une perturbation locale comme la présence d’un obstacle. Les explosions entrainent de fortes perturbations de l’interface séparant les produits de détonation et l’air. Ces instabilités d’interface jouent un rôle dominant dans la détermination du volume de la ‘boule de feu’. Un calcul unidimensionnel sphérique classique conduit à un volume de cette sphère 5 fois inférieur à celui mesuré ! De plus, des réactions de postcombustion peuvent se produire dans la zone de mélange, libérant une énergie deux fois supérieure à l’énergie de détonation, déjà considérable. En effet, le TNT libère dans la zone de réaction de la détonation environ 5 MJ/kg et fournit une énergie de 10 MJ/kg lors de la postcombustion des produits de détonation avec l’air.
Modèle d’interfaces diffuses sans interpénétration
Avant de présenter les modèles d’interpénétration, on présente dans ce chapitre le modèle de Kapila et al. (2001) qui est l’élément essentiel de l’approche ‘interfaces diffuses’ car sa résolution permet le calcul du champ moyen d’écoulement, en particulier la détermination de la position moyenne de l’interface. Le modèle de Kapila et al. (2001) est à la base un modèle d’écoulement diphasique pour des milieux en équilibre mécaniques, c’est-à-dire des situations assez marginales. Cependant, de part et d’autres d’une interface, les conditions à respecter sont précisément l’égalité des vitesses normales et des pressions. Le modèle de Kapila et al. (2001) va forcer l’équilibre mécanique en tout point de l’écoulement et en particulier dans la zone diffuse d’interface. Ceci va permettre le raccord parfait entre la pression à droite et la pression à gauche de l’interface, c’est-à-dire de part et d’autre de la zone diffuse. Il en est de même pour les vitesses normales. Cette stratégie de ‘forçage’ ou ‘relaxation raide’ dans la zone de mélange est due à Saurel et Abgrall (1999).
Construction du modèle de Kapila et al. (2001)
Le modèle de Kapila et al. (2001) est un modèle d’écoulement diphasique dans lequel les deux phases sont en équilibre de vitesse et de pression. Il est obtenu par un développement asymptotique à l’ordre 0 du modèle de Baer and Nunziato (1986) dans la limite des forts effets de relaxation des vitesses et des pressions .
Il est important de noter que la pression obtenue à la fin du processus de relaxation n’est pas nécessairement en accord avec la conservation de l’énergie. En effet, la pression de relaxation est calculée à partir des énergies internes qui ne sont pas correctement calculées à cause du schéma numérique utilisé . On doit donc corriger cette pression en recalculant correctement les énergies de chacune des phases.
Réinitialisation des énergies
L’équation d’énergie du mélange est résolue à partir d’un schéma conservatif. On obtient la pression du mélange grâce à la loi d’état de mélange (2.15).Le point essentiel à ce niveau est de remarquer que le calcul de la pression est basé sur l’énergie interne de mélange, elle-même déterminée à partir de l’équation d’énergie totale et de la fraction volumique, qui a été estimée lors de l’étape de relaxation des pressions.
Résumé de la méthode de résolution numérique
Pour chaque pas de temps :
• Résoudre le problème de Riemann à chaque bord de mailles pour le modèle à (6+1) équations avec le solveur HLLC.
• Faire évoluer chacune des variables avec le schéma numérique (2.27)-(2.28)-(2.29)
• Déterminer la pression de relaxation puis en déduire les fractions volumiques des phases.
• Réinitialiser les énergies avec la pression de mélange calculée à partir de l’énergie de mélange et des fractions volumiques de l’étape précédente.
Tests et validations
Tube à choc Air-Hélium
Un tube à choc d’un mètre de long est divisé en deux chambres séparées par une interface à la position x=0.5m. On cherche à traiter une situation où l’air est initialement à gauche dans la chambre haute pression et l’hélium à droite dans la chambre basse pression. La densité initiale de l’air est de 1 kg.m-3 et les paramètres de l’équation d’état stiffened gas sont γair=1.4 et Pa p 0 ∞ air, = . La densité initiale de l’hélium est 0.2 kg.m-3 et les paramètres de l’équation d’état stiffened gas sont γhélium=1.667 et Pa p 0 ∞,hélium = . Les deux chambres sont remplies de gaz pratiquement purs. La chambre de gauche est à la pression initiale de 10 bars et contient une très faible fraction volumique d’hélium 6 hélium 10− α = . La chambre de droite contient les mêmes gaz mais les fractions volumiques sont inversées. Sa pression initiale est de 1 bar. Dans tout le tube, la vitesse initiale du mélange est nulle. On compare les solutions numériques du modèle de Kapila et al. (2001) calculées avec la méthode présentée dans ce chapitre avec la solution exacte des équations d’Euler. Le maillage utilisé comporte 1000 cellules. On montre les résultats au temps t=272µs.
La précision des résultats peut être améliorée en étendant à des ordres supérieurs la méthode. Ceci a été réalisé dans Saurel et al. (2009).
Tube à choc Eau-Air
On se place maintenant dans un cas plus difficile pour montrer la robustesse de la méthode numérique. Comme précédemment, un tube à choc d’un mètre de long est divisé en deux chambres séparées par une interface qui est maintenant à la position x=0.75m. La densité initiale de l’air est 1 kg.m-3, et les paramètres de l’équation d’état stiffened gas sont γeau=1.4 et p 0Pa ∞ air, = . La densité initiale de l’eau est 1000 kg.m-3, et les paramètres de l’équation d’état stiffened gas sont γeau=1.667 et p 10.6 Pa 8 ∞ eau, = . La chambre de gauche contient une très faible fraction volumique d’air 6 air 10− α = et sa pression initiale est de 1 GPa. La chambre de droite contient les mêmes gaz mais les fractions volumiques sont inversées, et sa pression initiale est de 1 bar soit 0.1MPa. Dans tout le tube, la vitesse initiale du mélange est nulle. Encore une fois, on compare les solutions numériques du modèle de Kapila et al. (2001) avec la solution exacte des équations d’Euler. Le maillage utilisé comporte 1000 cellules. On montre les résultats au temps t=240µs.
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Table des matières
Chapitre 1 : Introduction Générale
I. Objectif
II. Organisation de l’étude
III. Résumé des modèles réduits
III.1 Modèle d’interfaces diffuses sans interpénétration
III.2 Modèle d’interpénétration de type Darcy
III.3 Modèle d’interpénétration diffusif
Chapitre 2 : Modèle d’interfaces diffuses sans interpénétration
I. Introduction
II. Construction du modèle de Kapila et al. (2001)
III. Résolution numérique
III.1 Difficultés de la résolution numérique du modèle de Kapila et al. (2001)
III.2 Modèle à 6 équations (hors d’équilibre des pressions)
III.3 Méthode de résolution numérique
IV. Tests et validations
IV.1 Tube à choc Air-Hélium
IV.2 Tube à choc Eau-Air
V. Conclusion
Chapitre 3 : Modèle d’interpénétration de type Darcy
I. Introduction
II. Asymptotic analysis and drift model
II.1 Non equilibrium model
II.2 Stiff mechanical relaxation limit at zero order
II.3 Drift force and velocity fluctuations
III. Derivation of the flow model with interpenetration effects
III.1 Volume fraction and entropy equations
III.2 Pressure equation
III.3 Internal energy equations
IV. Numerical method
IV.1 Hydrodynamic step
IV.2 Drift step
IV.3 Gravity step
V. Test problems
V.1. Fluid separation under gravity
V.2. Water faucet
VI. Unstable interface in a shock tube
VII. Conclusion
Chapitre 4 : Modèle d’interpénétration par déséquilibre de vitesses
I. Introduction
II. Conventional two-phase hyperbolic model
II.1 Non equilibrium model
II.2 Supplementary equations
III. Reduced model in pressure equilibrium
IV. Hyperbolic subsystems
V. Numerical approximation
V.1 Interface dynamics solver
V.2 Interpenetration solver
V.3 Test of the interpenetration solver
VI. Test problems
VI.1. Fluid separation under gravity
VI.2. Water faucet
VI.3 Comparison with the DEM on two-phase shock tube test problems
VII. Unstable interface in a shock tube
VII.1. Light/heavy fluid configuration
VII.2. Heavy/light fluid configuration
VIII. Conclusion
Chapitre 5 : Conclusion
