Modèle de Navier-Stokes Incompressible

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Généralités sur la Couche Limite

Nous présentons, la couche limite et les nombres sans dimensions. Nous exposons aussi sur le transfert de chaleur par convection. En particulier,celle de la convection naturelle ou libre. Dans la suite, on suppose que l’écoulement est bidimensionnel plan, permanent. Le fluide est incompressible, visqueux et que les forces volumiques sont négligeables.
La notion de couche limite est reliée aux deux critères suivants :
Domination des forces de viscosité sur les forces d’inertie. Existence de gradient de vitesse très intenses.

Couche Limite

La couche limite est la zone d’interface entre un corps et le fluide visqueux environnant lors d’un mouvement relatif entre les deux. On y observe les effets de la viscosité.
La notion de couche limite peut, cependant, être étendue aux zones où deux écoulements se rencontrent.
Les zones de sillage sont aussi considérées comme étant les zones de couche limite.

Epaisseur de la couche limite

Sur le plan phénoménologique, il y a plusieurs façons de définir l’épaisseur d’une couche limite. En particulier, l’épaisseur conventionnelle est définie de la manière suivante. L’épaisseur conventionnelle d’une couche limite [BiL14] est la distance à la paroi pour laquelle la vitesse dans la couche limite atteint 99% de la valeur de la vitesse extérieure (voir fig 1.2 )

Grandeurs sans dimensions

L’adimensionnalisation est une étape importante dans l’étude d’un problème de mécanique. Dans notre problème, elle permet de mettre en relief les ordres de grandeurs entre les différents termes d’une équation en utilisant les temps caractéristiques de chaque terme[Bat73]. Les rapports de ces temps caractéristiques sont des nombres sans dimension.
Ces nombres résument en eux-mêmes les caractéristiques de l’écoulement.

Convection

Le terme  » convection  » désigne le mécanisme qui implique le transport des propriétés des particules de ce fluide par ces même particules (quantité de mouvement,énergie, chaleur, …) au cours de son déplacement.
Convection libre ou naturelle
La « convection libre » ou « naturelle » est le régime d’écoulement obtenu lorsque l’on chauffe un fluide sans qu’il n’y ait d’écoulement extérieur imposé.
C’est la force d’Archimède provoquée par les variations de densité induites par le chauffage qui fait déplacer le fluide [Dar96].
La convection naturelle est un phénomène important dans de nombreux procédés indus-triels : refroidissement d’appareils électriques collecteurs solaires chauffage des locaux centrales nucléaires
Dans le cadre des hypothèses de couche limite, les équations de la convection naturelle thermique bidimensionnelle pour un écoulement laminaire externe sur une surface de géométrie sont exprimées par les équations de la couche limite. A savoir, l’ équation de continuité, la projection de l’équation de quantité du mouvement suivant (ox) , (oy) et l’équation de la chaleur [Sol16].

Présentation du problème de Couche Limite en convection libre autour d’un cylindre de section elliptique

Dans la suite, on suppose que l’écoulement est incompressible, permanent, à un nombre de Reynolds Re quelconque pour traduire l’existence de la couche limite laminaire. On suppose de plus que l’écoulement se fait autour d’un cylindre elliptique avec un flux de chaleur surfacique.

Formulation analytique

En général, l’existence et l’unicité d’une solution aux équations aux dérivées partielles restent encore des vrais défis pour les mathématiciens. Cependant, il est possible de trouver les solutions ou même d’approximer les solutions avec des polynômes connaissant quelques conditions nécessaires. Il existe beaucoup de techniques pour résoudre les E.D.P. Parmi eux, la « Méthode des Itérations Variationnelles » ( M.I.V) [JunL07].

Table des matières

1 Rappels préliminaires 
1.1 Rappels et propriétés des fluides
1.2 Catégories des fluides
1.3 Classification des écoulements
1.4 Modèle de Navier-Stokes Incompressible
1.5 Théorèmes de Bernoulli
1.6 Frottement pariétal
1.7 Généralités sur la Couche Limite
1.8 Epaisseur de la couche limite
1.9 Grandeurs sans dimensions
1.10 Convection
1.11 Présentation du problème
1.12 Formulation du problème
1.13 Solutions autosemblables
2 Résolution du problème 
2.1 Formulation analytique
2.2 Présentation de la Méthode des Itérations Variationnelles
2.3 Application de la méthode de Méthode des Itérations Variationnelles
2.4 Approximation de Padé
2.5 Résultats et Discussions
Conclusion 
Annexe A
Annexe B
Bibliographie

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