Mises en équations modélisation numérique

Formulation mathématique

L’étude du mouvement d’un corps fait introduire divers paramètres qui le décrivent, d’où la nécessité d’examiner la conservation de certaines quantités pendant ce mouvement, comme la masse, la quantité de mouvement et le moment cinétique. Dans ce contexte, et face à un problème typique de la mécanique des solides, on s’intéresse au calcul des déplacements, des déformations et des contraintes. La contrainte est le paramètre qui caractérise l’interaction mécanique d’un corps avec son environnement. Cette contrainte est la cause du mouvement, d’où la nécessité d’une formulation mathématique. Plusieurs théories ont été développées et sont actuellement utilisées en ingénierie. Chacune de ces approches vise à modéliser certains aspects spécifiques du comportement des matériaux. Nous donnons dans, la première section de ce chapitre une description mathématique des équations générales qui traduisent le comportement du solide, représenté par les deux modèles d’états de contraintes planes ou d’état de déformations planes, ces équations sont appliquées dans la théorie des plaques. La deuxième section est consacrée aux équations régissant le milieu fluide, suivit d’une troisième consacrée au couplage des deux milieux.

Théorie des plaques : modèles de plaques

Par définition une plaque est une structure tridimensionnelle plane, caractérisée par une surface de référence plane (plan x, y) et par une épaisseur notée h(x, y) bien plus petite devant les autres dimensions, Le plan moyen de la plaque est défini comme étant le plan parallèle aux faces de la plaque et partageant l’épaisseur en deux. Figure (1-2)) [2]. Cette caractéristique particulière, est à la base des simplifications des équations de la mécanique des milieux continus tridimensionnels qui conduisent aux modèles classiques des milieux minces c.à.d. un problème bidimensionnel. Dans ces deux modèles de plaques, on se place dans le cadre de l’élasticité linéaire, ce qui correspond à supposer que les déformations et les déplacements sont petits. Les axes de coordonnées sont choisis de telle manière que le plan xy coïncide avec le plan moyen et l’axe z sera perpendiculaire à ce dernier. On dit qu’une plaque travaille à la flexion quand les charges auxquelles elle est soumise sont parallèles à l’axe z (perpendiculaire au plan moyen) et que les déplacements sont dans le plan transversal, appelée flèche « w » fonction des coordonnées x et y figure (1-2). La vibration en flexion des plaques est modélisée essentiellement par deux théories (hors la théorie des milieux continus), celles des plaques minces et celle des plaques épaisses. Ces théories sont désignées respectivement sous le nom de théorie de plaque de Love -Kirchhoff et Reissner- Mindlin.

Modélisation numérique

Ce chapitre est consacré l’implémentation du modèle numérique, la méthode des éléments finis pour une plaque rectangulaire mince en vibration. Aujourd’hui la méthode des éléments finis (FEM) est considérée comme étant une technique numérique bien établie et commode pour la résolution des problèmes complexes dans différents domaines d’ingénierie: la construction mécanique, le génie civil, le génie atomique, la technologie biomédicale, l’hydrodynamique, la conduction de chaleur, etc. d’un autre côté, les éléments finis peuvent être examinés comme un outil puissant pour la recherche de solution approximative des équations décrivant différents processus physiques déduites de mécanique des milieux continus. L’objectif de la méthode est de déterminer des fonctions inconnues telles que les fonctions de déplacements, contraintes ou déformations.

On parle alors de « champs de déplacement, contraintes ou déformations pour indiquer qu’il y’a autant de fonctions inconnues que de points différents. Un champ de fonction regroupe donc une infinité de fonctions inconnues. Dans notre cas on se place à un certain intervalle de temps « dt » fixé. Alors la connaissance du champ est équivalente à celle d’une infinité de scalaires correspondant aux valeurs de la fonction en chaque point. Nous utilisons une méthode de discrétisation pour simplifier le problème. La méthode retenue consiste à rechercher une solution approchée aux fonctions inconnues sous forme d’une somme finie de fonctions pondérées par des coefficients inconnus à déterminer. Le mouvement de la structure est décrit par un champ de déplacement d = {di} défini en tout point de la structure Ωs, les déformations sont représentées par le tenseur de déformations {ε(d)}= εij(d), ces déformations induisent un champ de contraintes {σ(d)} = σij(d). L’hypothèse de comportement linéaire élastique de la structure permet d’écrire la relation entre les déformations et les contraintes de la structure.

Formulation de la méthode des Equations intégrales et couplage

La plupart des phénomènes physiques qui peuvent être décrits en termes d’équations différentielles partielles PDE peuvent être décrits en termes d’équations intégrales. La forme intégrale de PDE a été à l’origine développée par Fredholm (1903) [14] comme outil pour prouver l’unicité et l’existence des solutions des équations différentielles partielles relatives. Certaines des représentations intégrales peuvent être transformées en utilisant des identités mathématiques ainsi leur dimensionnalité est réduite d’une, impliquant les quantités inconnues seulement sur la frontière du domaine. Ce type spécial d’équations intégrales s’appellent les équations intégrales de frontière (BIE) et fournissent parfois une manière très commode de représenter un phénomène physique. La méthode des éléments finis, si elle se prête bien à l’analyse des problèmes en milieu borné est délicate à mettre en oeuvre lorsque les domaines sont illimités et dans ce cas en lui préfère la méthode des éléments aux frontières. Cette méthode est d’utilisation courante pour traiter les problèmes de fluide, aussi bien en acoustique, en aérodynamique et en hydrodynamique. Cette méthode s’appuie sur la solution de l’équation Helmholtz ou de Laplace (pour un fluide compressible ou incompressible) [43] dans laquelle les fonctions inconnues sont la pression et la vitesse acoustique. La solution de cette équation est la fonction de Green, ainsi que ses dérivées premières et seconde par rapport à la normale. L’utilisation judicieuse de la fonction de Green permet en effet de prendre en compte un certain nombre de conditions aux limites et de restreindre ainsi le domaine d’intégration des formules intégrales qui interviennent.

La formulation utilisée est basée sur l’utilisation de la théorie des potentiels de couche. En guise d’illustration, nous présentons le cas d’une plaque mince immergée dans un milieu infini. Dans cette analyse, la surface immergée est idéalisée au moyen des éléments de frontière appropriés, désignés sous le nom des panneaux hydrodynamiques. La matrice de masse structurale globale est fusionnée avec la matrice globale de la masse-ajoutée, dans le but d’obtenir la matrice de masse totale et résoudre le problème aux valeurs propres. Pour évaluer l’influence du fluide environnant sur le comportement dynamique de la structure de la plaque immergée, les fréquences et les formes associées de mode sont calculées.

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Table des matières

Introduction générale
Revue bibliographique
Chapitre 1 : formulation mathématique
A : Equations du solide
1-1 Equations mécaniques du solide
1.1.1. Equations locales
1.1.2. Conditions aux limites
1-2Théorie des plaques : modèles de plaques
1-2-1 Généralités
1-2-2 Théorie des plaques mince : modèle de Love-kirchhoff
1-2-2 Théorie des plaques épaisses : modèle de Reissner-Mindlin
B : Equations de fluide
1-3 Equations en mécanique des fluides
1-4 Conditions aux limites
I-4-1 Condition de surface libre sur ΓL
I-4-2 conditions à l’infini
I-4-3 conditions de glissement sur les parois du solide
C : Couplage
Chapitre 2 : Mises en équations modélisation numérique
2-1 Introduction
2-2 Discrétisation par la méthode des éléments finis
2-3 calcul du champ de déplacements
2-4 Champ de déformations et de contraintes:…
2-5 Matrice masse et matrice de rigidité et de masse
2-6 Formulation discrète du problème aux valeurs propres
2-7 Fonctions de forme standards
Chapitre 3 : Equations intégrales et méthode de singularités
3-1 Introduction
3-2 Formulation intégrale
3-2-1 Intégrale de Stieltjes
3-2-2 Equation intégrale
3-1-2-1 Problème intérieur
3-1-2-2 Problème extérieur
3-3 Méthode des singularités et Solution de l’équation de Laplace
3-3-2 Distribution mixte de Green –domaine extérieur
3-3-4 Distribution mixte de green sur ΓSF
3-4 Résolution et discrétisation
3-5 Méthodes de calculs des équations intégrales pour un problème à deux dimensions.
3-6 Couplage entre le solide et le fluide
3-6-1 Définition du couplage
3-6-2 mise en équation du couplage
Chapitre 4 : Organisation de la programmation
4-1Introduction
4-2 Description du programme
4-3 Résolution
4-4 : Organigramme
Chapitre5 : Résultats et interprétations
5-1Introduction
5-2 Validation du programme
5-3 Tracé des formes propres
5-4Influences des paramètres géométriques
Conclusion
Annexes
Références bibliographique