Methodes quantitatives de l’economie (mqe)

ANALYSE DE L’EQUILIBRE 

L’équilibre est une situation où rien ne bouge. Celle-ci peut être statique, statique comparative ou dynamique.

Analyse statique 

L’analyse statique de l’équilibre consiste à déterminer le niveau d’équilibre de certaines variables économiques issues d’un ensemble donné des conditions statiques parce qu’on fait abstraction du déroulement dans le temps.

Equilibre partiel ou équilibre sur un marché

L’équilibre partiel consiste à décrire les mécanismes de la détermination des prix de marché et des quantités achetées et vendues. La fonction linéaire décroissante du prix

?? = ? − ?? (a, b>0)

La fonction linéaire croissante du prix

?? = −? + ?? (c, d>0)

Exemple : résoudre le modèle de marché suivant :

?? = 3 − 5? →  ?? + 5? = 3
?? = −1 + 3? →  ?? − 3? = −1

Analyse statique comparative

L’analyse statique comparative de l’équilibre consiste à comparer deux situations dans deux environnements différents sans connaitre les causes de la modification des Etats.

? = ?0 + ?1?? ; ? = ?0 + ?1? ; ? = ?0 + ?1?? et ?? = ? − ?
? = ? + ?0 + ?0 + ?0 − ?
? = ?0 + ?1?? + ?0 + ?0 + ?0 − ?0 − ?1??
? = ?0 + ?1? − ?1? + ?0 + ?0 + ?0 − ?0 − ?1? + ?1?
? = ?0 + ?1? − ?1?0 − ?1?1? + ?0 + ?0 + ?0 − ?0 − ?1? + ?1?0 + ?1?1?
? − ?1? + ?1?1? + ?1? − ?1?1? = ?0 − ?1?0 + ?0 + ?0 + ?0 − ?0 + ?1?0

Analyse en temps discret et en temps continu (Analyse dynamique)

Dans l’analyse dynamique, l’économiste introduit la variable temps dans ses modèles, il se retrouve confronté soit à des équations différentielles si le temps est considéré comme une variable continue, soit à des équations de récurrence si le temps est une variable discrète. Nous traiterons principalement ici du comportement des solutions des équations supposées linéaires.

Exercices

1) Le modèle ci-après est un modèle de marché avec prévision sur l’évolution des prix. ??? = 40 − 2?? + 2(??+1 − ??−1 ) ; ??? = −5 + 3?? ?? ??? = ??? où ??? est la fonction de demande à l’instant t, et ??? la fonction d’offre à l’instant t.

a) Le niveau d’équilibre est-il globalement stable ?
b) Utilisez le théorème approprié sinon.
c) Donnez l’ensemble de stabilité.

L’ensemble de stabilité
?? = ?? + ??
?? = ?1 (2,85) ? + ?2 (−0,35) ? + 9
?? ? = 0 ; ?? ? ?0 = ?1 (2,85) 0 + ?2 (−0,35) 0 + 9 = ?1 + ?2 + 9
?? ? = 1 ; ?? ? ?1 = ?1 (2,85) 1 + ?2 (−0,35) 1 + 9 = 2,85?1 − 0,35?2 + 9

PROGRAMMATION LINEAIRE 

Généralité

La programmation linéaire est un modèle ou un programme mathématique qui consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction objectif F(Xj ) ou fonction économique de n variables liées par m relations ou contraintes de la forme

gi(Xj) ≤ B pour la maximisation
gi(Xj) ≥ B pour la minimisation

De nombreux problèmes de l’entreprise peuvent s’exprimer en termes d’optimisation sous contraintes. On rencontre de multiples applications de la programmation linéaire dans pratiquement tous les domaines de la gestion, notamment dans :

➤ La gestion de production
– Elaboration du plan de production et de stockage
– Choix de techniques de production
– Affectation de moyen de production
– Détermination de la composition de produits

➤ Marketing
– Choix des plans média
– Détermination de la politique de prix
– Répartition des efforts de la force de vente
– Sélection des caractéristiques du produit

➤ Finance : choix de programme d’investissement
➤ Logistique : gestion des transports
➤ Gestion des ressources humaines : affectation de personnel

La programmation linéaire a d’abord été utilisé par l’armée américaine dans les années suivi la seconde Guerre Mondiale. L’utilisation de cette technique s’est par la suite étendue à plusieurs secteurs industriels. Mais généralement, les applications économiques de la programmation linéaire peuvent être regroupées en trois types de problèmes :
– Les problèmes d’allocations des ressources ;
– Les problèmes de transport ;
– Les problèmes d’affectation.

La fonction économique ainsi que les contraintes liées doivent être des fonctions linéaires. Chacune de ces contraintes peut être équation linéaire ou une inégalité linéaire. Une fonction est dite linéaire lorsque les différents termes ou variables qui la compose sont du premier degré. Généralement, les contraintes s’énoncent par les termes suivants : « pas plus que », « pas moins que », « au moins », « au plus » et s’exprime mathématiquement par un système d’inéquation.

Le programme linéaire est formé de :
– Une fonction « objectif » (max ou min) ou fonction économique ;
– Des contraintes fonctionnelles (S/C) ;
– Des contraintes de non négativité (?? ≥ 0)

Formulation d’un programme linéaire 

Exemple :
??? ? = 7?1 + 4?2
s/c
2?1 + ?2 ≤ 140
?1 + ?2 ≤ 104
5?1 + 3?2 ≤ 360
?1, ?2 ≥ 0

Exemple :
??? ? = 30?1 + 60?2
s/c
2?1 + 2?2 ≥ 26
2?1 + 5?2 ≥ 30
5?1 + 3?2 ≥ 80
?1, ?2 ≥ 0

Pour mieux comprendre les algorithmes qui permettent de résoudre les programmes linéaires, il faut avant tout examiner les théorèmes ci-après :

Théorème 1 : Condition nécessaire de comptabilité d’un programme linéaire Soit m le nombre de contraintes et n le nombre de variables, pour qu’un programme linéaire soit comptable, il faut que ? > ?. Il faut noter que n est le nombre de toutes les variables de choix et variables d’écart.

Théorème 2 : Théorème de Weyl Dans ?? tout système d’équations ou d’inéquations linéaires du type ?? ≤ ? détermine un ensemble convexe qui est soit l’ensemble vide, soit un polyèdre convexe, soit un ensemble convexe non borné.

Théorème 3 : Théorème d’optimalité Dans un programme linéaire quelconque, l’ensemble de choix (ou ensemble de faisabilité) est un polyèdre convexe. L’optimum est nécessairement atteint en unsommet de polyèdre.

Théorème 4 : Condition nécessaire Dans un programme linéaire avec ? variables et ? contraintes, si ? < ?, alors la solution optimale contient au moins (? − ?) variables nulles, donc au plus ? variables non nulles.

Un programme linéaire peut être résolu en utilisant l’une de quatre méthodes ciaprès:
– La méthode graphique
– La méthode algébrique
– L’algorithme de dénombrement
– L’algorithme du simplexe

Concernant ce document de travail, nous allons nous focaliser sur la méthode d’algorithme du simplexe.

Règles de passage du primal au dual 

➤ Si le primal contient n variables structurelles et m contraintes, alors le dual aura m variable structurelles et n contraintes liées ;
➤ Les seconds membres du primal correspond aux coefficients économiques du dual ;
➤ Les coefficients économiques du primal correspondent aux second membres
du dual ;
➤ Si le PL à max est le primal, donc le PL à min sera son dual ;
➤ La matrice des coefficients des variables dans les contraintes du dual est la matrice transposée des coefficients de variables du primal ;
➤ Les signes des inégalités des contraintes du dual sont les signes renversés des contraintes du primal, mais la contrainte de non négativité sur les variables de décision subsiste.

Table des matières

INTRODUCTION
RAPPEL SUR L’ALGEBRE LINEAIRE
CHAPITRE 1 : ANALYSE DE L’EQUILIBRE
1.1. Analyse statique
1.2. Analyse statique comparative
1.3. Analyse en temps discret et en temps continu (Analyse dynamique)
Exercices
CHAPITRE 2 : PROGRAMMATION LINEAIRE
2.1. Généralité
2.2. Formulation d’un programme linéaire
2.3. Dual et Primal
2.4. Standardisation
2.5. Algorithme de simplexe
2.6. Solution du primal à partir du tableau optimal du dual
2.7. Dégénérescence
2.8. Solution du simplexe à partir du tableau optimal partiel
Exercices
CHAPITRE 3 : THEORIE DES JEUX
3.1. Généralités
3.2. Typologie des jeux
3.3. Représentation d’un jeu stratégique
3.4. Jeux contre la nature
3.5. Jeux à deux personnes et à somme nulle
3.6. Stratégie dominante (la dominance)
3.7. Equilibre de NASH
Exercices
CHAPITRE 4 : ANALYSE DU TABLEAU D’ENTRÉES-SORTIES
4.1. Généralités
4.2. Notation
4.3. Conditions de Hawkins et Simon
Exercices
CONCLUSION
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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