Méthodes proximales pour la résolution de problèmes inverses

La Tomographie par Emission de Positrons est une modalité d’imagerie médicale qui permet, suite à l’injection au patient d’une molécule marquée radioactivement, d’obtenir une cartographie spatiale d’un paramètre physiologique. Ce dernier se déduit de la mesure dans les tissus de la concentration radioactive de la molécule injectée. Il peut par exemple s’agir de molécules analogues au glucose qui permettent de détecter certaines masses cancéreuses par leur activité métabolique, ou encore de molécules ayant une affinité pour le système dopaminergique qui est impliqué dans les maladies psychiatriques (dépression, schizophrénie,. . . ) et certaines maladies neurodégénératives (maladie de Parkinson,. . . ).

Les données récupérées en sortie du tomographe ne permettent pas d’effectuer directement la cartographie multidimensionnelle du paramètre physiologique considéré. Retrouver la distribution volumique du traceur injecté dans les organes à partir des observations acquises constitue un problème inverse faisant intervenir un opérateur linéaire de projection et une perturbation aléatoire modélisée par du bruit de Poisson (variance dépendante de l’intensité locale du signal). La précision de la restitution de la concentration radioactive du traceur dans les tissus au cours du temps impactera directement la précision du diagnostic du médecin, d’où l’importance de proposer une méthode fiable et donnant des résultats de bonne qualité.

La résolution de problèmes inverses est présente dans de nombreuses applications de traitement d’images comme l’imagerie multispectrale, l’échantillonnage comprimé ou la stéréoscopie ; elle passe généralement par la minimisation d’un critère. De récentes méthodes d’optimisation convexe, nommées approches proximales, permettent de minimiser des critères non différentiables et ainsi d’exploiter des décompositions sur des trames. Ces dernières sont généralement dérivées d’analyses par ondelettes et elles fournissent d’une part, des représentations creuses des masses de données traitées, et d’autre part, des « modèles a priori » simples et efficaces pour modéliser ces données (par exemple, des données physiologiques).

Vue d’ensemble du travail effectué

Algorithmes imbriqués et extension quadratique 

Les algorithmes proximaux comme l’algorithme explicite-implicite ou l’algorithme de Douglas-Rachford ont montré leur intérêt pour la résolution de problèmes inverses. Ces algorithmes permettent de minimiser un critère composé de deux fonctions convexes. Il en résulte que des problèmes de restauration/reconstruction en présence de bruit gaussien sont résolus efficacement avec l’algorithme explicite implicite, alors que l’algorithme de Douglas-Rachford permet de gérer des problèmes de débruitage en présence de bruit nonnécessairement additif gaussien. Afin d’utiliser le formalisme proximal pour la résolution de problèmes de restauration ou de reconstruction en présence de bruit de Poisson, nous combinerons deux outils : (i) des algorithmes proximaux imbriqués qui permettent de minimiser un critère composé d’une somme de trois fonctions et pour lesquels nous fourniront les preuves de convergence associées ; (ii) une extension quadratique permettant d’approximer l’antilogvraisemblance poissonienne.

Algorithme proximal parallèle et régularisation hybride

L’algorithme de Douglas-Rachford formulé dans un espace produit conduit à l’algorithme parallèle proximal (PPXA). Cet algorithme permet de minimiser des critères convexes composés d’une somme de plus de deux fonctions. Cet algorithme, ses preuves de convergence et son application à des problématiques de restauration d’images en présence de bruit gaussien ont été proposés dans [Combettes, Pesquet, 2008]. Son application à des problématiques de restauration d’images en présence d’un bruit qui ne serait pas additif gaussien n’est pas immédiate. Le problème provient du calcul de l’opérateur proximal, associé au terme d’attache aux données, qui ne prend pas de forme explicite. Nous proposerons dans ce chapitre de décomposer le terme d’attache aux données en une somme de fonctions dont l’opérateur proximal se calcule explicitement. Ce type de décomposition nous permettra en particulier de gérer efficacement des problèmes de déconvolution et de super-résolution en présence de bruit non-additif gaussien. De plus, nous proposerons d’utiliser une régularisation, que nous nommerons hybride, composée d’un terme de variation totale et d’un terme favorisant la parcimonie sur les coefficients de trames d’ondelettes du signal recherché. Ce type de régularisation a été précédemment utilisé pour résoudre des problèmes de déconvolution en présence de bruit gaussien. Nous verrons dans ce chapitre son influence lorsque le bruit est poissonien.

Formulations à l’analyse et à la synthèse

Dans les méthodes précédemment citées pour résoudre des problèmes inverses, nous faisons appel à des représentations sur des trames. L’utilisation de tels outils permet de formuler le critère de deux façons : la formulation à l’analyse et la formulation à la synthèse. Ces deux formulations sont équivalentes sous certaines hypothèses que nous clarifierons dans ce paragraphe. De plus, nous verrons dans ce chapitre que les algorithmes proximaux s’appliquent, d’une part, plus facilement à des critères formulés à la synthèse et, d’autre part, pour des trames dites ajustées. Nous proposerons des solutions pour utiliser l’algorithme explicite-implicite et une version étendue de l’algorithme PPXA, nommée PPXA+, pour les deux formulations, dans le cas de certaines trames non-ajustées.

Algorithmes proximaux multicomposantes

De nombreux problèmes notamment dans les domaines de l’analyse de données à valeurs complexes, la stéréoscopie, l’imagerie couleur ou la décomposition d’images en composantes de géométrie et de texture sont des problématiques de traitement d’images multicomposantes. Ce chapitre s’intéressera à la formulation multicomposante des algorithmes proximaux et aux preuves de convergence associées. Nous proposerons également diverses applications à la résolution de tels problèmes inverses.

Reconstruction dynamique d’images TEP

Pour résoudre des problèmes de déconvolution en présence de bruit de Poisson nous avons d’une part proposé l’utilisation d’algorithmes imbriqués combinés avec une extension quadratique et, d’autre part, l’utilisation de PPXA pour minimiser un critère incluant une régularisation hybride. Dans ce chapitre, après une brève introduction à la reconstruction de données TEP dynamiques, nous adapterons les méthodes proposées dans le cadre de la déconvolution au problème de reconstruction d’images TEP dynamiques. Pour évaluer les performances de nos méthodes nous avons créé un fantôme adapté à nos problèmes. Les résultats obtenus sur des données dynamiques réelles seront également présentés.

Table des matières

1 Introduction
1.1 Contexte de l’étude
1.2 Vue d’ensemble du travail effectué
1.2.1 État de l’art
1.2.2 Algorithmes imbriqués et extension quadratique
1.2.3 Algorithme proximal parallèle et régularisation hybride
1.2.4 Formulations à l’analyse et à la synthèse
1.2.5 Algorithmes proximaux multicomposantes
1.2.6 Reconstruction dynamique d’images TEP
1.3 Publications
1.3.1 Articles de revus acceptés ou publiés
1.3.2 Articles soumis
1.3.3 Articles de conférences invités
1.3.4 Autres articles de conférences
1.3.5 Autres présentations
2 Introduction aux problèmes inverses et à l’optimisation convexe
2.1 Problèmes inverses
2.1.1 Quelques exemples
2.1.2 Problème mal posé, mal conditionné et régularisation
2.2 Résolution de problèmes inverses
2.2.1 Interprétation bayésienne
2.2.2 Terme d’attache aux données
2.2.3 Terme de régularisation
2.3 Optimisation convexe
2.3.1 Quelques rappels d’analyse convexe
2.3.2 Résultats d’analyse convexe
2.3.3 Algorithmes
2.3.4 Conclusion sur les algorithmes
2.4 Bruit de Poisson : quelle méthode adopter ?
2.4.1 Maximum de vraisemblance
2.4.2 Approche MAP : traiter le bruit comme s’il sagissait d’un bruit gaussien
2.4.3 Approche MAP : transformées stabilisatrices de variance
2.4.4 Approches proximales
2.5 Conclusion
3 Imbrication d’algorithmes proximaux et extension quadratique
3.1 Motivations
3.2 Opérateur proximal
3.2.1 Définition
3.2.2 Quelques propriétés
3.3 Algorithmes pour minimiser une somme de deux fonctions convexes
3.3.1 Algorithme explicite-implicite (FB : forward-backward)
3.3.2 Algorithme de Douglas-Rachford (DR)
3.4 Opérateur proximal d’une somme de deux fonctions
3.4.1 Algorithme explicite-implicite
3.4.2 Algorithme de Douglas-Rachford
3.4.3 Algorithme de type Dykstra
3.5 Algorithmes imbriqués
3.5.1 Première méthode proposée : DR[FB]
3.5.2 Seconde méthode proposée : FB[DR]
3.5.3 Troisième méthode proposée : FB[Dyk]
3.6 Résolution de problèmes de restauration d’images
3.6.1 Modélisation du problème
3.6.2 Comparaison expérimentale des algorithmes imbriqués sur un exemple de restauration en présence de bruit gaussien
3.6.3 Approximation inférieure du terme d’attache aux données pour la résolution d’une classe plus large de problèmes de restauration
3.7 Conclusion
4 Algorithme proximal parallèle et régularisation hybride pour la résolution de problèmes inverses en présence de bruit non-additif
4.1 Motivations
4.2 Formulation du problème
4.3 Formes explicites de quelques opérateurs proximaux
4.3.1 Opérateurs proximaux de fonctions usuelles
4.3.2 Opérateur proximal impliquant un opérateur linéaire
4.3.3 Formes discrètes de la variation totale et opérateurs proximaux associés
4.4 Algorithme proximal parallèle (PPXA)
4.4.1 Présentation de l’algorithme
4.4.2 Version accélérée en présence de trames ajustées
4.5 Application à la restauration d’image
4.5.1 Régularisation hybride
4.5.2 Résultats expérimentaux pour la résolution de problèmes inverses en présence de bruit de Poisson
4.6 Conclusion
5 Conclusion

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