Méthodes numériques usuelles & Equations d’Euler Linéarisées

Méthodes numériques usuelles & Equations d’Euler Linéarisées

Méthodes numériques usuelles

Très peu d’équations aux derivées partielles peuvent être résolues de façon exacte par un algorithme (méthode directe). Cependant, plusieurs méthodes permettent de discrétiser un système d’équations, c’est-à-dire, certains problèmes continus peuvent parfois être remplacés par un problème discret dont la solution est connue pour approcher celle du problème continu. Pour cette raison et d’une manière générale, le problème exact est approché par un problème discret formulé dans un espace de dimension finie, ce qui conduit à la résolution d’un système linéaire. Les deux critères principaux de choix d’une de ses approches numériques sont souvent, d’une part la complexité de la géométrie du domaine de calcul et d’autre part le niveau de précision requis. Ces méthodes peuvent être cataloguées sous 5 grandes familles : les différences finies, les éléments finis, la méthode Galerkin Discontinue (GD), les méthodes spectrales et les méthodes volumes finis, chacune de ces méthodes a ses avantages et ses inconvénients.

Méthode des différences finies 

La méthode consiste en une discrétisation des opérateurs différentiels sur une grille de pas d’espace fixe, à l’aide de développements de Taylor tronqués. Donc sa mise en œuvre utilise la formulation différentielle du problème en remplaçant chacun des opérateurs différentiels par un quotient aux différences. Pour illustrer le mode de fonctionnement de la méthode à résoudre, on cite à titre d’exemple, le problème de Dirichlet.

Avantages et inconvénients de cette méthode
Cette méthode, par sa grande simplicité d’écriture et sa facilité de mise en œuvre, présente un faible coût de calcul. Elle permet également d’atteindre aisément des ordres de précisions élevés. Mais elle reste limitée à des géométries simples, ce qui rend son application impossible pour notre cas, où l’on est confronté à des géométries complexes.

Méthode des éléments finis

Cette méthode consiste à approcher dans un sous-espace de dimension finie, un problème écrit sous forme variationnelle (comme minimisation de l’énergie en général) dans un espace de dimension infinie. Dans ce cas, la solution approchée est une fonction déterminée par un nombre fini de paramètres, comme par exemple, ses valeurs en certains points ou nœuds du maillage. La formulation variationnelle est obtenue en intégrant le produit scalaire de l’équation par une fonction test. Puis, en effectuant des intégrations par partie on arrive à affaiblir la régularité demandée aux inconnues et/ou à faire apparaître des termes de bord qui correspondent aux conditions aux limites du problème.

Avantages et inconvénients de cette méthode
Cette méthode a été initialement développée pour résoudre des problèmes de mécanique des milieux continus à géométrie complexe. Elle présente une facilité de prise en compte des conditions aux limites, mais celle-ci est très délicate à mettre en œuvre lors de la définition des éléments finis utilisés dans la résolution des problèmes d’ordres élevés (>2). Elle présente également un grand coût en temps de calcul et de mémoire.

Méthode Galerkin Discontinu (GD)

La méthode Galerkin Discontinu (GD) repose sur une base de fonctions discontinues d’un élément de maillage à un autre, l’ordre d’interpolation pouvant varier d’une cellule à une autre. De plus, le champ approché peut être discontinu à l’interface entre deux cellules voisines. La méthode peut être interprétée comme une approche éléments finis où aucune continuité entre les éléments n’est imposée, ou comme une généralisation des méthodes volumes finis d’ordres élevés. Cette méthode a été initialement introduite par Reed et Hill en 1973 pour la résolution de l’équation de transport de neutrons [84], un an plus tard Lesaint [85] présente les premiers résultats numériques de cette méthode . Cependant, cette méthode n’est que récemment devenue populaire comme une méthode pour résoudre la dynamique des fluides ou des problèmes électromagnétiques, plus particulièrement cette méthode présente une capacité à appréhender des problèmes en aéroacoustique [86, 87] .

Avantages et inconvénients de cette méthode
Elle fournit un cadre pratique pour le développement des méthodes d’ordres élevés en utilisant des maillages non structurés. La méthode est bien adaptée pour des calculs à grande échelle en fonction du temps dans lequel une grande précision est requise. Une distinction importante entre la méthode GD et la méthode habituelle des éléments finis, il est à noter : dans la méthode GD, les équations qui en résultent sont locales à l’élément générateur. La solution au sein de chaque élément n’est pas reconstruite par rapport à l’élément voisin. Sa formulation compacte peut être appliquée à proximité des frontières sans traitement spécial, ce qui augmente considérablement la robustesse et la précision de mise en œuvre des conditions aux limites. Toutefois des problèmes récurrents apparaissant dans ce contexte : la diffusivité, les conditions aux limites et le traitement des instabilités de type Kelvin-Helmholtz.

Les méthodes spectrales

Ces méthodes n’ont connu un essor qu’à partir des année 70, après que Cooley et Tukey [88] ont proposé en 1965 le premier algorithme (FFT) de résolution rapide des Transformées de Fourier. Contrairement à la méthode des éléments finis qui est une approche locale (elle se rapproche de la solution comme une combinaison linéaire des fonctions par morceaux qui sont non nulles sur les sous-domaines de petite taille), la méthode spectrale prend sur une approche globale pour laquelle la géométrie du domaine est capitale, elle se rapproche de la solution comme combinaison linéaire de fonctions continues qui sont généralement non nulles sur le domaine de la solution. Ces méthodes reposent sur un changement d’espace, entre l’espace physique du domaine de calcul et un espace de fonction qui sont définies sur tout le domaine de calcul, connues analytiquement et forment une base de représentation convergente des fonctions de l’espace physique [89].

Avantages et inconvénients de cette méthode
Ces méthodes spectrales sont connues pour leurs propriétés de convergence rapide et de précision. Elles présentent une erreur qui décroit rapidement avec N pour atteindre des taux exponentiels pour les fonctions les plus régulières. Virtuellement, elles sont libres de toute erreur dissipative ou dispersive. Ces méthodes peuvent donc apporter des niveaux de précision supérieurs à toutes autres méthodes mais restent très limitées par la nécessité d’obtenir le jeu de fonctions de base précédent qui dépend de la simplicité et de la régularité du domaine de calcul. Il est impossible d’obtenir des niveaux de résolution différents dans les parties différentes du domaine.

Table des matières

Introduction générale
Contexte et motivations
Description du projet
Particularités des fluctuations acoustiques par rapport au champ aérodynamique
Approche directe
Les méthodes hybrides
Méthodes et schémas numériques
Conditions aux limites
Méthodologie
1 Méthodes numériques usuelles & Equations d’Euler Linéarisées
1.1 Méthodes numériques usuelles
1.1.1 Méthode des différences finies
1.1.2 Méthode des éléments finis
1.1.3 Méthode Galerkin Discontinu (GD)
1.1.4 Les méthodes spectrales
1.1.5 Méthode des volumes finis
1.2 Équations d’Euler et leurs linéarisations
1.2.1 Forme générale des équations d’Euler
1.2.2 Forme conservatrice des équations d’Euler
1.2.3 Linéarisation des équations d’Euler autour d’une solution stationnaire 2D
1.2.4 Forme matricielle et diagonalisation
2 Résolution numérique des équations d’Euler linéarisées
2.1 Formulation et intégration numérique
2.2 Discrétisation des flux convectifs
2.2.1 Flux numérique centré
2.2.2 Flux numérique décentré (UPWIND)
2.2.3 Flux Vector splitting de Steger-Warrming
2.2.4 Flux numérique de Roe (Flux Diffence Splitting)
2.2.5 Flux numérique de Rusanov
2.2.6 Flux numérique Local Lax-Friedrichs LLF
2.3 Schéma haute résolution en volumes finis avec approximation par moindres carrés mobiles (Finite Volume and Moving Least Square Approximations, FV-MLS)
2.3.1 Principe du fonctionnement de la méthode FV-MLS
2.3.2 Les Stencils et la distribution des particules
2.3.3 Les fonctions noyaux (kernel functions)
2.3.4 Cas d’une distribution anisotropique des nœuds
2.3.5 Estimation des dérivées
2.3.6 Estimation des dérivées de la fonction de forme
2.3.7 Reconstruction de la variable U(x)|I à l’ordre N
2.4 Conditions aux limites
2.4.1 Construction d’une condition aux limites parfaitement réfléchissante pour un écoulement uniforme
2.4.2 Construction d’une condition aux limites absorbante pour un écoulement uniforme
2.4.3 Construction d’une condition aux limites parfaitement réfléchissante pour un écoulement non uniforme
2.4.4 Construction d’une condition aux limites absorbante pour un écoulement non uniforme
2.4.5 Construction d’une condition aux limites dite zone éponge pour un écoulement uniforme
2.4.6 Construction d’une condition aux limites absorbantes hybride
3 Méthodes explicites
3.1 Discrétisation temporelle
3.2 Validation des calculs explicites
3.2.1 Validation en champ libre
3.2.2 Conclusions et remarques concernant la validation
Conclusion générale

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