Soutenance mémoire
Schémas pour l’ingénierie pétrolière
Ces travaux s’intéressent tout particulièrement à la classe de schémas dits de volumes finis pour approximer un flux diffusif de type Darcy. L’esprit d’une méthode dite de volume fini est de subdiviser le domaine en volumes de contrôle et à intégrer une équation de conservation sur ces derniers. La finalité de cette technique est d’évaluer les flux sur les bords de ces volumes. Dès lors, le flux entrant dans un volume donné est identique au flux sortant du volume adjacent, ces méthodes sont donc dites conservatives.
L’introduction a souligné l’importance pour les applications pétrolières de développer des outils numérique de simulation capables de tenir compte des fortes contraintes imposées par le milieu naturel. Un schéma numérique ad-hoc doit donc respecter le cahier des charges suivant :
• Stabilité et Robustesse. Produire une solution discrète stable en norme L2 , robuste vis-à-vis de la variation de caractéristiques tel que le ratio d’anisotropie d’aspect et/ou de perméabilité, tout en évitant de générer des singularités algébriques.
• Convergence. Disposer d’un cadre théorique démontrant la convergence du schéma sur cas généraux pour garantir une solution précise en dépit de fortes valeurs d’hétérogénéités, ratios d’anisotropie et d’aspect.
• Performance. Avoir un stencil compact. L’expression du flux numérique ne doit faire intervenir qu’un nombre limité d’inconnues discrètes afin de réduire au mieux l’occupation mémoire et minimiser les échanges pour les applications parallèles.
• Linéarité. Une expression linéaire des flux est préférable pour la mise en œuvre des écoulements polyphasiques.
Chronologiquement, l’une des premières techniques utilisée est le schéma TPFA pour Two Point Flux Approximation [30]. Le flux à travers la face d’un volume de contrôle donné est exprimé à l’aide des valeurs discrètes des deux mailles adjacentes. L’approche TPFA satisfait les conditions de linéarité et de performance, performance qu’il est d’ailleurs difficile d’égaler tant l’expression du flux est minimale. Cependant, son principal défaut, la convergence qui est établie sous réserve stricte d’orthogonalité du maillage avec les directions du tenseur de perméabilité, hypothèse faisant fréquemment défaut face à la complexité des maillages bassins et réservoirs. A titre d’exemple on peut citer les réservoirs fracturés, les érosions sédimentaires ou les grilles localement raffinées près des puits. De multiples travaux de recherches ont ainsi permis, en l’absence de méthode universelle, la genèse d’une vaste gamme de nouveaux schémas volumes finis visant à remplir pleinement ce cahier des charges mais rendant vain tout objectif d’exhaustivité. Nous ne présentons donc, dans la section suivante, que les méthodes sélectionnées sous la plate-forme Arcane [39] et qui feront par la suite l’objet de tests numériques.
Les schémas disponibles dans la plate–forme Arcane
Ces dernières années ont vu apparaître des nouveaux schémas visant à s’affranchir des carences du schéma TPFA. Cette section introduit les schémas volumes finis qui sont disponibles sur la plate-forme Arcane [39]. Ces méthodes appartiennent à la famille des schémas MPFA (MultiPoint Flux Approximation) et peuvent être perçues comme une extension du schéma TPFA ; extension dite multi-points car l’approximation du flux local à travers une face donnée fait intervenir des mailles additionnelles aux deux mailles adjacentes à la dite face. La notion de voisinage, dénommé stencil, est dépendante du schéma considéré. Cette classe de schémas présente de surcroît l’intérêt de ne faire intervenir que des inconnues aux mailles, caractéristique très recherchée dans l’industrie pétrolière. Le développement en 3D des schémas cités ci-après au sein de la plate-forme Arcane s’inscrit dans les travaux de thèse de Léo Agèlas [8].
O-schéma
Les idées relatives au O-schéma ont été introduites séparément par Aavatsmark et al. [1, 2, 3, 4] et Edwards et al. [27, 28] au milieu des années 90. En guise de préambule, la version historique du O-schéma est brièvement présentée, puis une version généraliste, plus récente, est décrite. Le concept historique est de considérer un volume d’interaction entre mailles partageant un sommet donné. L’objectif est alors d’expliciter des sous-flux sur chaque sous-face incluse dans ce volume. Le flux global à travers une face s’exprimera alors simplement comme la somme des sous flux aux sous-faces concernées. Un sous-flux est déterminé à l’aide d’un gradient constant par sous-maille. Les sous-mailles sont esquissées pour former une partition du volume d’interaction. Ces gradients, et par conséquent les sous-flux, s’expriment en fonction d’inconnues discrètes à la fois aux centres des mailles, et sur les sous faces. Ces valeurs aux sous-faces sont dites intermédiaires car, sous réserve que le problème soit algébriquement bien posé, elles sont éliminées par propriété de conservativité des sous-flux. Le O-schéma est donc bien un schéma cell-centered, les inconnues discrètes étant aux centres des mailles à partir desquelles s’expriment, linéairement, les flux.
Discussion
Les schémas présentés précédemment appartiennent à la famille des schémas volumes finis dits cell-centered car ils présentent l’avantage de ne faire intervenir que des inconnues aux mailles. De surcroît, ces méthodes ont la caractéristique d’expliciter le flux darcéen comme fonction linéaire des inconnues. Ces particularités, centré, linéarité et compacité, rendent cette classe de méthode très appréciée au sein de la communauté pétrolière. Cependant ces schémas ne sont pas symétriques et donc conditionnellement coercifs et convergents. Parallèlement on peut citer comme seconde classe de méthode celle des schémas symétriques et centrés mais c’est au prix de la perte de la compacité car ils présentent un stencil en voisin des voisins par les nœuds [38, 11, 31].
Enfin, il existe une troisième classe de méthode regroupant les schémas symétriques, compacts mais leur particularité est de comporter des inconnues supplémentaires aux faces ou aux nœuds ce qui explique leur faible écho dans la communauté pétrolière du fait de la taille accrue des systèmes à résoudre en polyphasique tout particulièrement. On retrouve dans cette famille les schémas Volumes Finis Hybrides (VFH) [36] connue aussi sous le nom de Mimetic Finite Difference schemes (MFD) [19], ou encore les schémas (DDFV), pour Discrete Duality Finite Volume [15, 25, 24]. Cet état des lieux, aussi rapide que partiel, pointe du doigt la difficulté de combiner centré, symétrie, linéarité et compacité. Il n’existe pas de schéma universel qui réunisse ces propriétés.
|
Table des matières
INTRODUCTION
I Introduction et présentation du manuscrit
1 Introduction
1.1 Simulation numérique en ingénierie pétrolière
1.2 Contexte et objectifs de la thèse
1.3 Plan du manuscrit
II Méthodes numériques pour des problèmes d’ingénierie pétrolière
2 Schémas pour l’ingénierie pétrolière
2.1 Motivation et Contexte
2.1.1 Problème Modèle
2.1.2 Formulation Volumes Finis
2.2 Les schémas disponibles dans la plate–forme Arcane
2.2.1 O-schéma
2.2.2 L-schéma et G-schéma
2.2.3 Schéma GradCell
2.3 Discussion
2.4 Nouveaux schémas gradient
2.4.1 Notion de schéma gradient
2.4.2 Schéma VAG
2.4.3 Schéma HAG
2.5 Résultats numériques
2.5.1 Simulation proche puits
2.5.2 Bassin sédimentaire
2.5.3 Benchmark 3D
2.5.4 Hétérogénéité et Anisotropie
2.6 Conclusion
3 Simulation des écoulements compositionnels polyphasiques en milieux poreux
3.1 Motivation et Contexte
3.2 Formulation du modèle d’écoulement
3.2.1 Discussion
3.2.2 Formulation de type Coats
3.3 Discrétisation du modèle
3.3.1 Jeu d’inconnues et équations discrètes
3.3.2 Algorithme de résolution du système
3.4 Application au schéma VAG
3.4.1 Présentation de la méthode
3.4.2 Bilan
3.5 Résultats numériques
3.5.1 Propagation de front de type traceur
3.5.2 Injection de CO2 immiscible dans un réservoir hétérogène
3.5.3 Injection de CO2 miscible sur grille proche puits
3.5.4 Assèchement et précipitation de sel par injection de CO2
3.6 Conclusion
3.7 Annexe – Flash thermodynamique
3.7.1 Flash diphasique
3.7.2 Flash triphasique
Bibliographie
III Etude mathématique
4 Small stencil 3D schemes for diffusive flows in porous media
4.1 Introduction
4.2 Approximate gradient schemes
4.2.1 Definition and properties
4.2.2 Examples
4.3 A small-stencil hybrid vertex scheme
4.3.1 Construction of the scheme
4.3.2 Implementation of the scheme
4.3.3 Mathematical properties
4.4 A small-stencil cell-centred scheme
4.4.1 Harmonic averaging points
4.4.2 Definition of the scheme
4.4.3 Mathematical analysis
4.5 Numerical results
4.5.1 Randomly distorted Cartesian meshes
4.5.2 Near-well meshes
4.6 Conclusion
Bibliography
CONCLUSION
