Méthodes géométriques pour la construction des ensembles invariants

 Repère historique sur la commande prédictive et la commande basée sur optimisation temps réel

Il existe dans la littérature récente des monographies qui jalonnent les développements de la commande basée sur l’optimisation en temps réel et qui conduit généralement (par l’utilisation d’un modèle de prédiction et l’application du principe de l’horizon glissant pour le choix de la trajectoire) vers ce qu’on appelle dans le langage courant de l’automaticien la commande prédictive. Un des premiers ouvrages sur le sujet est celui de M. Gevers et coauteurs [1] qui pose les premières questions sur la base théorique de cette méthodologie (émergente à cette époque là- 1990) mais qui, paradoxalement, montre un succès certain dans le monde industriel . Il est intéressant à remarquer dans cette première référence le lien établi avec la commande adaptative qui place les racines de la commande prédictive dans une perspective historique. Une monographie qui apparaît dans le moment de plein essor de la théorie MPC est celle de E. Camacho et C. Bordons [3] qui traite en détail la mise en équation du problème d’optimisation sur un horizon f ni à base d’un modèle de prédiction en représentation par fonction de transfert ou en représentation d’état. Agrémenté par des exemples ponctuels qui soutiennent l’adaptation de cette méthodologie à différentes classes de systèmes (instables, phase non-minimale, affectées par un retard), le volume devient très populaire et il est réédité (sans doute à cause de son succès et de développements ultérieurs qui n’étaient pas traitées dans la première édition) au début des années 2000, [4]. L’école anglaise qui a eu une contribution majeure dans le développement de la commande prédictive (voir les travaux des pionniers de la formulation GPC -Generalized predictive control- [5]) a proposé à son tour par J. A. Rossiter [6] et J. M. Maciejowski [7] deux livres de références. Si [6] reste à un niveau descriptif et est fort indiqué pour ceux qui veulent faire la connaissance du domaine, on retrouve dans [7] une analyse poussée de l’état de l’art au niveau théorique et méthodologique avec un effort apprécié en ce qui concerne la prise en compte des contraintes et les limitations associées à ce type de synthèse de lois de commande. Les travaux de recherche provenant des centres de recherche d’Australie sont marquants dans la généalogie MPC (le titre déjà mentionné [1] étant un exemple dans ce sens). A part les travaux des pionniers, il faut remarquer plus récemment une référence signif cative pour l’analyse des problèmes d’optimisation et des conditions d’optimalité dans le cadre prédictif [8] avec une mention particulière pour la présence des chapitres dédiés au traitement du problème dual d’estimation à horizon glissant.

Géométrie de la commande prédictive

Les avancées au niveau de la mise en forme des problèmes de commandes basées sur la prédiction mettent en évidence à la f n des années 90 et au début des années 2000 le fait qu’une révolution conceptuelle peut avoir lieu seulement en exploitant la structure des problèmes d’optimisation et notamment la géométrie du domaine faisable. Dans cette période les approches basées sur les LMI ont suscité de l’intérêt puisqu’elles promettaient d’apporter des solutions intéressantes par la manipulation de contraintes de façon systématique ainsi que pour la prise en compte des incertitudes. Un vrai renouvellement au moins du point de vue de la perception de la commande prédictive est venue par les formulations explicites des lois de commandes prédictives en évitant donc la résolution d’un problème d’optimisation à chaque pas d’échantillonnage. Plusieurs approches ont émergé simultanément et on mentionne ici :
– la programmation multiparamétrique [18] [19],
– la dualité des représentations géométriques des contraintes [20], [8]
– l’utilisation des polyèdres paramétrés [21], [22], [13]
– la programmation dynamique [23]
Le travail de cette thèse se place dans la continuité de ces travaux récents sur les formulations explicites par l’intérêt qu’on porte sur l’analyse structurelle des résultats avec des implications sur la complexité et par l’attention donnée à la reformulation des problèmes de commande pour tirer prof t de la formulation analytique des solutions optimales associées.

Analyse des système PWA – Invariance positive

Structurellement, une solution explicite d’un problème de commande prédictive dans le cadre linéaire prend la forme d’un retour d’état aff ne par morceaux (polyédral) dans l’espace d’état et donc globalement le système en boucle fermée est décrit par un système dynamique aff ne par morceaux. Il faut souligner les avantages structurels hérités de la synthèse MPC tels que la distribution disjointe des régions par rapport à la loi de commande aff ne associée et éventuellement leur continuité (si le critère optimisé est quadratique).

L’opération d’analyse d’une solution explicite MPC sera réduite donc à l’analyse de la stabilité des systèmes PWA. Notons au passage qu’il s’agit des systèmes PWA en temps discret pour lesquels la stabilité ne peut pas se réduire au traitement de la région de frontière du domaine faisable car les trajectoires se caractérisent par des sauts et l’incidence de la trajectoire avec la frontière ne peut pas prof ter de la continuité de la dynamique. L’objectif principal devient donc la construction des ensembles positifs invariants (voir les travaux de F. Blanchini et ses coauteurs pour une familiarisation avec ces concepts classiques et leur déclinaison dans le cas des dynamiques linéaires [24], [25]) pour les systèmes PWA en temps discret vus dans leur ensemble. Les propriétés contractives de la dynamique directe ou expansive de la dynamique en temps inverse seront les éléments de base pour notre approche qui veut identif er les ensembles invariants comme des points f xes pour une dynamique déf nie sur un ensemble compact de l’espace d’état. Au passage on mentionne que les aspects de convergence en temps f ni des itérations sur les ensembles se rapprochent de la théorie classique des ensembles maximaux admissibles par rapport aux contraintes sur les sorties [26]. D’autre part, l’analyse d’atteignabilité [27] et la théorie de la viabilité [28] peuvent être aussi considérés comme des domaines proche de la problématique traitée.

Table des matières

1 Introduction
1.1 Repère historique sur la commande prédictive et la commande basée sur optimisation temps réel
1.2 Géométrie de la commande prédictive
1.3 Analyse des système PWA – Invariance positive
1.4 Contribution
1.5 Organisation
2 Commande Prédictive
2.1 Introduction
2.2 Les bases de la commande prédictive
2.2.1 Modèle de prédiction à temps discret
2.2.2 Modèle de prédiction avec intégrateur
2.2.3 Séquence de commande optimale
2.2.4 Commande à horizon glissant
2.2.5 Commande MPC avec contraintes
2.3 Commande prédictive et optimisation paramétrique
2.3.1 Optimisation paramétrique
2.3.2 Méthodes de construction de la solution explicite
2.3.3 Analyse des solutions explicites
2.3.4 Commande prédictive explicite
2.3.5 Implémentation de la commande explicite
2.4 Invariance
2.4.1 Ensembles invariants
2.4.2 Ensemble invariant maximal par rapport à la commande
2.5 Stabilité de la commande prédictive
2.5.1 Faisabilité
2.5.2 Loi MPC avec garantie de stabilité
2.6 Conclusion
3 Systèmes affines par morceaux
3.1 Introduction
3.2 Systèmes hybrides
3.2.1 Système PWA (Piecewise Aff ne Systems)
3.2.2 Systèmes MLD (Mixed Logical Dynamical systems)
3.2.3 Systèmes à complémentarité linéaire LC
3.2.4 Systèmes à complémentarité linéaire étendu ELC
3.2.5 Systèmes MMPS (min-max plus scalling)
3.2.6 Équivalence entre les différents modèles
3.3 Exemples illustratifs
3.3.1 Système aff ne par morceaux : véhicule avec plusieurs dynamiques
3.3.2 Système hybride : convertisseur DC-DC
3.3.3 Système hybride : balle bondissante
3.3.4 Systèmes LTI en boucle fermée avec une loi prédictive explicite
3.4 Analyse des systèmes PWA
3.5 Stabilité des systèmes LTI et PWA
3.5.1 Notions de stabilité pour systèmes dynamiques
3.5.2 Notions de stabilités pour systèmes LTI et avec incertitudes
3.5.3 Notions de stabilités pour les systèmes PWA
3.6 Conception de la commande pour système PWA
3.6.1 À partir d’une fonction de Lyapunov quadratique
3.6.2 À partir d’une fonction de Lyapunov quadratique par morceaux
3.7 Conclusion
4 Calcul des ensembles invariants
4.1 Introduction
4.2 Calcul et approximation des ensembles invariants
4.2.1 Calcul de la borne supérieur du MPI
4.2.2 Calcul de la borne inférieure du MPI
4.2.3 Phénomène de cycle limite
4.2.4 Convergence des constructions et le rapport avec l’ensemble MPI
4.3 Amélioration du temps de calcul
4.3.1 Analyse par intervalles
4.4 Analyse par graphe de transitions
4.4.1 Propriétés des graphes de transitions
4.5 Calcul basé sur les graphes de transitions
4.5.1 Calcul en nombre d’itérations f ni
4.6 Conclusion
5 Extension de la commande prédictive
6 Commande et suivi de trajectoire
7 Conclusion

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