Méthodes et techniques des résolutions du problème de diffraction sur les strips gratings

Le développement incessant actuel que connaissent les technologies de la téléphonie mobile, des réseaux de télécommunication, des systèmes de contrôle de position, des systèmes de transmission sans fils pour les applications militaires, les réseaux multimédia et l’Internet, exige une innovation continue dans des domaines tels que les circuits à haut débit, les antennes miniatures multifonctions, les peaux intelligentes, et autres composants et dispositifs pour la transmission et la réception de l’information sur une large bande du spectre électromagnétique. Parmi les éléments contribuant à l’amélioration des performances des systèmes de télécommunication, les matériaux  » électromagnétiques  » structurés, jouent un rôle particulièrement important. En effet, tous ces systèmes de communication sont réalisés avec des materiaux dont la réponse électromagnétique affectera leur conception et leur réalisation.

Ces matériaux sont caractérisés par une nature fondamentalement hétérogène. Leur constitution microscopique relève de l’assemblage des différents constituants selon une géométrie, en générale, compliquée. Il est possible de prédire les propriétés électromagnétiques moyennes de tels matériaux afin de les remplacer par un matériau homogène effectif équivalent et d’en étudier la réponse structurale au niveau macroscopique. La théorie de l’homogénéisation répond à cette attente[1, 2].

Méthodes et techniques des résolutions du problème de diffraction sur les strips gratings

La structure diffractive de base utilisée dans ce travail est le réseau de diffraction dont la période sera de l’ordre de ou plus petite que la longueur d’onde de travail. Il est bien connu que dans ce cas, nous sommes au-delà du domaine de validité de la théorie scalaire qui fournit habituellement les champs diffractés grâce à une simple transformée de Fourier ( en champ lointain) ou une transformée de Fresnel ( pour le champ proche)[16].

En effet les efficacités diffractées dépendent fortement de l’état de polarisation de la lumière incidente. Il est alors nécessaire d’utiliser des outils de simulations prenant en compte la nature vectorielle de l’onde optique. Lors de l’étude de la conception d’un composant optique, la phase de modélisation présente un double intérêt :
– Avant la réalisation, un dimensionnement pertinent peut être effectué de façon à ce que les effets escomptés soient bien mis en évidence. Cette étape permet à moindre coût de faire un premier ajustement du processus de fabrication.
– Ensuite lors de la phase de caractérisation des composants réalisés, les mesures effectuées couplées aux outils de modélisation permettent de remonter à des estimations des paramètres principaux de ces composants. Ceci permet d’avoir une meilleure compréhension des processus mis en jeu ainsi qu’une meilleure maîtrise technologique.

Résolution du problème de diffraction par un réseau de strips métalliques par l’approche classique(coordonnées cartésiennes)

Résolution du problème de diffraction par la méthode MMFE combinée avec la méthode CBCM

Cette structure est divisée en deux régions, région 1( y>0) et région 2(y<0), séparées par des rubans métalliques d’epaisseur nulle périodiques de période d suivant x et de longueur infinie suivant z. Nous notons Ω1 le  domaine où se trouve le ruban métallique et Ω2 son complémentaire sur la période d. Les deux régions sont des milieux diélectriques et homogènes respectivement de permittivité ε1, ε2 et de perméabilité µ1, µ2.

Mise en équations dans le système de coordonnées adaptatives

Systèmes de coordonnées adaptatives

Dans cette partie, nous reprenons la méthode développée par Granet et Guizal[10, 12]. La résolution numérique implique une discrétisation qui détermine le maillage de l’espace. Ceci vaut aussi bien dans le cas apériodique que dans le cas périodique. Plus précisément dans le cas périodique, la fonction représentant les variations spatiales de la permittivité est approximée par sa série de Fourier tronquée et calculée par FFT, ce qui revient à définir la permittivité à partir d’un nombre fini de points régulièrement espacés ; les zones de l’espace ou ε varie brusquement sont maillées de la même façon que dans celles où elle est constante. On introduit alors un nouveau système de coordonnées permettant de resserrer le maillage dans les zones de discontinuités des milieux physiques. Le changement de coordonnées s’écrit :

x = h(u = x¹)
y = x²
z = x³

où h est une fonction continûment dérivable monotone. Dans le domaine transformé, les variations de ε sont adoucies par rapport au domaine physique. Plus précisement, sur les arêtes du ruban métallique, x = 0 et x = w, la composante tangentielle du champ électrique des strips présente une singularité difficile à représenter avec des fonctions périodiques. Le nouveau système de coordonnées (u(x), y, z) accroît alors la résolution spatiale au voisinage des points de discontinuité. Autour de ces derniers, nous voulons qu’une variation ∆u de u entraîne une variation ∆x de x infiniment plus petite.

Etudes physiques des structures diffractives périodiques présentant des effets de resonance

• Historique et description des anomalies de diffraction : C’est en 1902 [24] que R. W. Wood met en évidence les « ‘anomalies »’ présentées par les réseaux de diffraction. Il remarqua qu’une très faible variation de longueur d’onde pouvait faire varier brusquement l’intensité diffractée par un réseau. Sans explication théorique, il nomma alors les effets observés sous le terme d’anomalies de diffraction(variation brutale des efficacités de diffraction avec un faible changement des paramètres de l’onde incidente). Ce phénomène étant dépendant de l’état de polarisation de l’onde incidente, il a fallu développer les premières théories vectorielles de la diffraction . La première explication permettant de localiser ces anomalies a été fournie par Lord Rayleigh [25] en 1907 notamment lorsque les ordres diffractés sont rasants par rapport à la surface du réseau (ils passent de l’état d’onde propagative à celui d’onde évanescente). Cette théorie ne pouvait pas prédire la forme ou la largeur spectrale de ces anomalies.

L’idée que ces anomalies pouvaient être provoquées par l’excitation d’ondes de surfaces a été avancée par Fano en 1938 [26]. Cette piste a été développée et généralisée par Hessel et Oliner en 1965 [27] qui interprètent ces anomalies par des effets de résonance provenant du couplage entre l’onde incidente et les modes propres du réseau. Ce fut au cours des années 1970 que Nevière montra qu’il était possible de déterminer la position ainsi que l’allure de ces anomalies par la résolution du problème homogène (en l’absence de champ incident) par la détermination des pôles et des zéros de la matrice de diffusion [28].

Le nom d’anomalies attribué à ces phénomènes s’est alors avéré inapproprié puisque prédits par la résolution rigoureuse des équations de Maxwell.

Les anomalies de diffraction peuvent être classées en deux catégories :

• Les anomalies dites de Rayleigh lorsque les ordres diffractés sont en émergence rasante. L’énergie diffractée est redistribuée entre tous les ordres propagatifs lorsque l’un des ordres devient évanescent, ce qui entraîne une brusque variation d’efficacité de diffraction.
• Les anomalies dites de résonance dues à un couplage entre un ordre diffracté et un mode propre du réseau. Elles se classent elle mêmes en deux catégories :

⋆ Les résonances de mode guidé surviennent dans les réseaux diélectriques où les paramètres de l’onde incidente sont tels que l’un des ordres évanescents est couplé à l’un des modes guidés de la structure. Le champ accumulé dans le mode guidé est rayonné en dehors de la structure guidante de façon à interférer destructivement avec le faisceau direct transmis (ordre 0 en transmission). Dans des conditions d’excitation optimales, le faisceau incident peut être totalement réfléchi. On parle alors de réflexion anormale.

L’idée d’utiliser la résonance de modes guidés à des fins de filtrage optique bande étroite est apparue au cours des années 1980 notamment grâce aux travaux théoriques et expérimentaux d’équipes russes [29, 30, 31]. Plus récemment, de nombreux travaux ont été menés pour étudier la possiblité d’utiliser cet effet en tant que filtre pour les télécommunications optiques. Les aspects dépendance en polarisation et tolérance angulaire des filtres ont particulièrement été regardés [32, 33, 34].

⋆ Les résonances de plasmons de surface : Par analogie avec le mode guidé pour les structures diélectriques, le plasmon de surface correspond à un mode propre d’une structure comportant une interface diélectrique / métal. Cette résonance se traduit par une brusque variation de la réflectivité de la couche métallique. Une onde incidente peut être totalement absorbée par le plasmon de surface dans des conditions optimales d’excitation (qui seront évoquées par la suite).

La position du minimum de réflectivité lors de l’excitation d’un plasmon de surface est très dépendante des paramètres de l’onde, du milieu incident et de la géomètrie de la structure (angle d’incidence, longueur d’onde, indice du milieu diélectrique). Ainsi, pour une incidence fixe, une faible variation de l’indice du milieu diélectrique va entraîner un déplacement du minimum de réflectivité.

L’expérience d’Ebbesen [35] a montré qu’en gravant un réseau de trous en sub-longueur d’onde dans un film métallique opaque, celui-ci peut devenir partiellement transparent à certaines longueurs d’onde. Ce phénomène correspond à une résonance de la structure qui donne une transmission/réflexion importante. Depuis, de nombreuses équipes ont essayé de comprendre comment elle se construit à partir des différentes résonances des composants de la structure : modes de cavité, plasmon -polaritons de surface, ou résonances géométriques ([36] ;[37]  [38] ;[39] ;[40] ;[41] ;[42]). La périodicité du réseau permet en effet le couplage entre l’onde incidente et les ondes de surface ( ou les modes de cavité).

Table des matières

INTRODUCTION
1 Méthodes et techniques des résolutions du problème de diffraction sur les strips gratings
I Résolution du problème de diffraction par un réseau de strips métalliques par l’approche classique(coordonnées cartésiennes)
1.1 Résolution du problème de diffraction par la méthode MMFE combinée avec la méthode CBCM
1.1.1 Introduction et présentation du problème
1.1.2 Résolution des équations de Maxwell
1.1.3 Les composantes tangentielles du champ
1.1.3.1 Polarisation TM
1.1.3.2 Polarisation TE
1.1.4 Conditions aux limites
1.1.4.1 Polarisation TM
1.1.4.2 Polarisation TE
1.1.5 Calcul des efficacités de diffraction
1.1.6 Résultats numériques
1.2 Résolution du problème de diffraction par la méthode C combinée avec la méthode CBCM
1.2.1 Introduction et position du problème
1.2.2 La méthode des coordonnées curvilignes
1.2.3 Changement de coordonnées
1.2.4 Résolutions
1.2.5 Expression des composantes tangentielles du champ
1.2.6 Conditions aux limites
1.2.7 Résultats numériques
II Résolution du problème de diffraction par un réseau de strips métalliques par l’approche paramétrique(coordonnées adaptatives)
1.3 Mise en équations dans le système de coordonnées adaptatives
1.3.1 Systèmes de coordonnées adaptatives
1.3.2 Résolution des équations de Maxwell sous forme covariante
1.4 L’Equation d’Helmohltz
1.5 Expression des composantes tangentielles du champs électromagnétique
1.5.1 Polarisation TM
1.5.2 Polarisation TE
1.6 Conditions aux limites
1.6.1 Polarisation TM
1.6.2 Polarisation TE
1.7 Résultats numèriques
III Validation et Avantages de la méthode ASR
1.8 Validation de la méthode adaptative
1.8.1 Comparaison avec les autres méthodes
1.8.2 Calcul du champ proche
1.8.3 Le principe de réciprocité
1.9 Avantages de la méthode adaptative
1.10 Conclusion
2 Extension des méthodes ASR et CBCM à la diffraction oblique. Application : résolutions du problème de diffraction sur les strip gratings
2.1 Introduction
2.2 Présentation de la diffraction conique
2.3 Résolution par la méthode de discrétisation spatiale adaptative
2.3.1 Géomètrie et position du problème
2.3.2 Les Equations de Maxwell
2.3.3 Résolutions des Equations de Maxwell
2.3.4 Expression des Composantes du champ électromagnétique
2.3.5 Conditions aux limites
2.3.6 Calcul des efficacités et du champ
2.4 Résolution par la méthode des coordonnées curvilignes (méthode C)
2.4.1 Position du problème et mise en équation
2.4.2 Résolution Générale
2.4.3 Expression des champs en coordonnées curvilignes
2.4.4 Solutions numériques au problème
2.4.5 Conditions aux limites
2.4.6 Calcul des efficacités
2.5 Résultats Numériques
2.5.1 Cas de la méthode MMFE en coordonnées paramètriques
2.5.2 Cas de la méthode des coordonnées curvilignes en paramètriques
2.6 Conclusions
3 Etudes physiques des structures diffractives périodiques présentant des effets de resonance
3.1 Etudes physiques des phénomènes de resonance d’un strip suspendu
3.1.1 Position du problème
3.1.2 Mise en équation du problème dans le système de coordonnées adaptatives
3.1.2.1 Résolutions des Equations de Maxwell
3.1.2.2 L’Equation d’Helmohltz
3.1.3 Expression des composantes tangentielles du champs électromagnétique
3.1.3.1 Polarisation TM
3.1.3.2 Polarisation TE
3.1.4 Conditions aux limites
3.1.4.1 Principe de CBCM pour la polarisation TM
3.1.4.2 Principe de CBCM pour la polarisation TE
3.1.5 Calcul des efficacités
3.1.6 Présence d’ondes de surfaces à la résonance de réflexion
3.1.6.1 Résonance des ordres évanescents
3.1.6.2 Structure de l’intensité du champ à la résonance
3.1.7 Calcul numériques des pôles de résonance en théorie de propagation
3.1.7.1 La méthode de Müller
3.1.7.2 La méthode d’intégrale de Cauchy
3.1.7.3 Résultats numériques
3.1.8 Relation de dispersion des ondes de surface
3.1.9 Conclusions
3.2 Etudes physiques des phénomènes de resonance d’un strip insérés dans une structure multicouche
3.2.1 But de l’étude et présentation de la structure étudiée
3.2.2 Condition de résonance et caractérisation
3.2.2.1 Excitation des plasmons de surface à l’aide d’un réseau de diffraction
3.2.2.2 Caractérisation de la résonance : Saut de phase à la traversée de la résonance
3.2.2.3 Calcul numérique des pôles de résonance en théorie de propagation
3.2.3 Les paramètres influençant la résonance
3.2.3.1 Influence de la forme des structures sur le pic et la fréquence de résonance
3.2.3.2 Effet de l’influence de l’épaisseur de la couche sur la fréquence de résonance
3.2.3.3 Effet de l’influence du facteur de remplissage sur la fréquence de résonance
3.2.3.4 Effet de l’influence de la polarisation δ sur la fréquence de résonance
3.2.4 Synthèse : Conception de la structure optimale
3.2.5 Conclusion
CONCLUSION

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