Méthodes de synthèse employées dans les cristaux photonique

Les méthodes pour l’analyse des cristaux photonique

La Méthode FEM

Cette méthode très utilisée en électromagnétisme peut être appliquée à l’étude des cristaux photoniques, de dimension finie ou non, via l’emploi de conditions aux limites absorbantes ou miroir. Elle se révèle toutefois assez lente et est peu employée pour les CPs.
Elle est par contre un outil de choix dans l’étude des métas matériaux :
L’utilisation de maillage très petit devant la longueur d’onde permet à des logiciels commerciaux comme HFSS de traiter par exemple les métas matériaux à base de pistes de cuivre dans le domaine micro-onde [Réf 16].

La TMM (Transfert Matrix Method)

Développée par Pendry et McKinnon c’est une méthode aux différences finies dans le domaine fréquentiel : elle repose sur la discrétisation des équations de Maxwell pour des champs électromagnétiques.
Au lieu de passer en espace de Fourier comme dans la FFF ou la RCWA, on reste ici en espace réel et l’on détermine la matrice de transfert de chaque fine « tranche » de notre cristal photonique.
Le calcul de la matrice de transfert de l’ensemble se fait via un algorithme récursif :la méthode S.
La méthode fournit bien sûr la transmission et la réflexion du cristal mais aussi les modes de Bloch via la détermination des valeurs propres de la matrice de transfert.
Le maillage était à l’origine cartésien, mais une méthode de transformation des coordonnées donne aujourd’hui de meilleurs résultats.
Le code est disponible librement sous le nom de Translight, et la méthode est largement utilisée [Réf 16].

La méthode FDTD (Finite Difference Time Domain)

La méthode FDTD (Finite Difference Time Domain) ou la méthode des différences finies dans le domaine temporel, est une approche numérique permettant la résolution des équations de Maxwell portant sur les variables spatiales et la variable temporelle [Réf 4].
Abordons tout de suite la méthode la plus communément utilisée actuellement dansles simulations de structures complexes faces à des ondes électromagnétiques, ils’agit de la FDTD.
Issue de l’algorithme présenté par Yee en 1966 cette méthode revient à mailler finement l’intégralité de la structure ainsi qu’une partie du vide qui l’entoure puis à appliquer les équations de Maxwell discrétisées dans le temps et l’espace en chaque point du maillage afin d’obtenir l’évolution temporelle du champ en réponse à une excitation donnée. Les autres points importants de la méthode sont un artefact mathématique se comportant comme la source d’une onde électromagnétique et des conditions sur les bords de l’espace maillé qui empêchent toute réflexion (On utilise couramment la condition de Bérenger, plus connue sous le nom de PML (Perfectly Matched Layer).
Extrêmement versatile cette méthode peut en théorie traiter tous les problèmes (de l’Airbus complet au coupleur optronique), d’où sa popularité dans les laboratoires de R&D.
Elle traite les matériaux linéaires comme non linéaires et fournit les cartes de champ, la transmission et les diagrammes de rayonnement.
Elle souffre toutefois de deux handicaps : le maillage devant être précis nous sommes très vite menés à des occupations mémoires gigantesques. La réponse fournie étant une évolution temporelle, il faut de nombreux cycles de calculs avant d’atteindre le régime permanent qui caractérise par exemple la réponse à une onde monochromatique .

La FDTD se prête très bien à une exécution en parallèle sur plusieurs processeurs comme dans un supercalculateur ou dans une grappe, plus couramment appelée « cluster » ce qui devrait encore augmenter sa popularité dans les années à venir car de grands progrès sont actuellement faits dans ce domaine. Mais la FDTD peine à simuler rapidement des cristaux photoniques de forme non triviale non linéaires 2D (et encore moins 3D) sur un ordinateur individuel contemporain [Réf 16].

La FDTD d’ordre N

Pour pallier au temps de calcul exagéré et à la quantité de RAM nécessaire à l’emploi de la FDTD pour la simulation des cristaux photoniques. Ward et Pendryont amélioré la FDTD d’ordre N pour en faire une méthode adaptée au problème.
Le principe est de ne traiter via la FDTD qu’une seule maille du cristal photonique et d’appliquer des conditions aux limites tirées des modes de Bloch. La complexité du programme est alors grandement diminuée.
Cette méthode aurait la réputation d’être plus rapide que la méthode des ondes planes pour le calcul des bandes [Réf 16].

La méthode des fonctions localisées

Cette méthode a été conçue afin d’optimiser les calculs dans des guides d’ondes créés dans des cristaux photoniques. Elle n’a pas pour but d’étudier un cristal photonique dénué de guide d’onde.

Il existe deux versions de cette méthode. La première version consiste d’abord à trouver les modes de Bloch du cristal photonique dénué de défaut en utilisant par exemple la méthode des ondes planes puis de construire une base avec des fonctions de Wagnier adaptée à ce cristal. Une fois la base trouvée, on peut y exprimer le cristal photonique avec son guide d’onde en utilisant peu de coefficients et sans recourir aux super cellules.

La deuxième version de cette méthode utilise une base de fonction prédéfinie, les fonctions de Gauss-Hermitte. Elle est utilisée dans le cadre des fibres à cristaux photoniques.

La BPM (Beam Propagation Method)

La BPM est une méthode qui a fait ses preuves dans la simulation des faisceaux optiques. Très peu gourmande en puissance de calcul et simple à mettre en oeuvre c’est aujourd’hui un produit commercial très utilisé dans le domaine des fibres optiques.
La théorie se base sur l’approximation d’une enveloppe lentement variable le long de l’axe de propagation. L’étude n’est possible que pour des faisceaux très peu divergents, l’acceptante angulaire de la méthode étant faible.

L’approximation de variations faibles le long de l’axe de propagation s’accommode mal de la géométrie d’un cristal photonique où la permittivité subit des variations très rapides et contrastées. Pourtant, via une approximation de Padé, on a réussi à adapter la méthode à un cristal photonique 2D présentant un guide d’onde «coudé» brutalement

La FFF (Fast Fourier Factorization)

Avancée relativement récente de la méthode différentielle, Cette méthode est basée sur l’algorithme S. qui permet de traiter le cas d’objets épais ainsi que sur les règles de calcul de Lifeng Li qui permettent la convergence dans les cas difficiles (polarisation TM et/ou forts contrastes d’indices). La nouveauté remarquable de la FFF est l’utilisation d’une base mobile épousant la normale à la surface des inclusions du cristal photonique ce qui permet de profiter du cas le plus favorable des règles de Li en tout point d’un profil diélectrique quelconque. La convergence s’en trouve fortement amélioré [Réf 16].

Applications des cristaux photoniques

Les applications des CPs-1D

Parmi les applications couramment utilisés par l’exploitation des miroirs de Bragg, on trouve :

Les VCSEL (Vertical Cavity Surface Emitting Laser)

Les VCSEL permettant d’obtenir des faisceaux de longueur d’onde comprise entre 650 nm et 1300 nm sont en général fabriqués sur des wafers d’arséniure de galium (GaAs). Les miroirs de Bragg sont composés d’une alternance de couches de GaAs et d’arséniure de galium aluminium (AlxGa(1-x)As). L’alternance GaAs/AlGaAs est intéressante pour la construction de VCSEL, car la constante de réseau du matériau varie peu lorsque la composition change, permettant ainsi la croissance épitaxiale de multiples couches sur substrat GaAs avec accord de maille. Par contre, l’indice de réfraction de l’AlGaAs varie fortement en fonction de la fraction volumique d’aluminium : cela permet de minimiser le nombre de couches requises pour obtenir un miroir de Bragg efficace (en comparaison avec d’autres matériaux). De plus, pour de fortes concentrations d’aluminium, il est possible de former un oxyde d’AlGaAs, pouvant servir à limiter le courant dans un VCSEL, permettant ainsi d’utiliser de très faibles courants de seuil [10].

Filtres de type Fabry –Pérot

Ce sont des filtres sélectifs en longueur d’onde qui fonctionnent sur le principe d’une cavité Fabry-Pérot. Ils sont constitués de deux lames partiellement réfléchissantes L’onde qui s’installe entre ces deux lames ne peut être constituée que de quelques longueurs d’onde bien définies. Ainsi ces filtres permettent de réduire fortement la bande passante de la lumière utilisée. Ils sont souvent utilisés en optique afin de travailler en lumière quasi monochromatique.
Dans la figure I.21, nous retrouvons le schéma typique d’un filtre Fabry-pérot avec une cavité centrale entourée par deux miroirs de Bragg. Nous pouvons remarquer que le miroir supérieur est composé par un nombre impair de couche pour atteindre une réflectivité importante. Dans le cas du miroir inférieur, la dernière couche est constituée par le substrat.

DEMUX-coupler

Les propositions de démultiplexeurs à cristaux photoniques tendent à favoriser des cavités très petites (quelques périodes) et la fonctionnalité « add-drop », la plus exigeante [Réf 20].
Le principe du dispositif proposé est de se servir du couplage par diffraction de Bragg entre un mode fondamental rapide pour la propagation du signal et un mode d’ordre supérieur, lent, pour l’extraction latérale du signal. Pour des guides à cristaux photoniques (CP) « W3 » ou « W5 » , formés de 3 ou 5 rangées manquantes, ce couplage correspond à une ministopband[ Réf 21], dont la largeur typique est de 3-20 nanomètres à 1500 nm, tout fait adaptée au coarse WDM (CWDM), et donc aux réseaux métropolitains.

Comme le montre la figure 22, il suffit en première approximation d’affiner une des parois du guide et de varier lentement un de ses paramètres (la largeur dans l’illustration, mais ce pourrait être aussi la période) : une longueur d’onde donnée est alors aiguillée dans une section donnée parce que le couplage au mode d’ordre supérieur n’a lieu que dans cette section là, et la paroi affinée laisse la lumière du mode d’ordre supérieur sortir latéralement, alors que le guidage du mode fondamental reste très robuste à toutes les longueurs d’onde restantes, l’effet tunnel sur ce mode « réfractif » étant très faible.

Guides d’onde dans les cristaux photoniques

Deux types de guides d’onde ont été principalement développés pour guider des ondes électromagnétiques le long d’une ligne, soit en formant des guides d’onde par des tubes métalliques, soit des guides d’onde diélectriques pour les domaines de l’infrarouge ou du visible. Les guides d’onde mé- talliques permettent des transmissions sans perte uniquement pour le domaine des microondes, alors que les guides d’onde diélectriques ont pour leur part le défaut de provoquer de grandes pertes dans le cas de virage de fortes courbures.
Par contre, si une ligne de défauts est introduite dans un cristal photonique parfait possédant une bande interdite photonique, la lumière y sera guidée, dans les gammes de fréquence comprises dans la BIP, d’un bout à l’autre de cette ligne de défaut, la lumière n’ayant pas la possibilité de se propager dans le cristal photonique. Les études théoriques et expérimentales de ce type de composants ont montré de faibles pertes en transmission, même dans le cas extrême de virage à 90°.Par exemple, le Fig. I.24 montre une transmission de 100% [Réf 22].

Cette propriété semble très prometteuse en application dans les systèmes de communication optique et pourra permettre à terme à une forte miniaturation des composants optiques intégrés si les structures peuvent être fabriquées avec la précision nécessaire.

Les guides d’onde sur cristaux photoniques monomodes ont malheureusement une faible efficacité en couplage avec les fibres optiques ou les guides d’onde optiques conventionnels utilisés. Des études ont permis d’améliorer le couplage dans de telles structures [Réf 22].
Ces études et réalisations sont toutes dans le cadre de CP bidimensionnels, dont la fabrication est plus aisée, mais qui ne garantit pas un confinement de la lumière dans la direction transversale. Des études ont donc été faites dans le but de diminuer les pertes en propagation. D’autres configurations ont été tentées, notamment des guides d’ondes sur des CP formés par des tiges [35] ou encore mieux, des guides d’onde dans des CPs tridimensionnels [Réf 22].

Méthodes de synthèse employées dans les cristaux photonique

Les méthodes d’optimisation stochastiques s’appuient sur des mécanismes de transition probabilistes et aléatoires. Cette caractéristique indique que plusieurs exécutions successives de ces méthodes peuvent conduire à des résultats différents pour une même configuration initiale d’un problème d’optimisation. Les trois méthodes stochastiques les plus répandues sont les algorithmes génétiques, le recuit simulé et la recherche taboue, elles sont capables de trouver le minimum global d’une fonction même dans des cas très difficiles, mais le temps de calcul peut être élevé. Ceci est particulièrement pénalisant lorsque le calcul de la performance de chaque nouvelle solution proposée par le processus aléatoire nécessite la résolution d’un modèle éléments fini [Réf 24].La figure I.25 présente les méthodes stochastiques les plus utilisées.

Table des matières

Remerciements
Liste des acronymes 
Liste des figures
Liste des tableaux
Introduction Générale
Chapitre I
I.1 Introduction
I.2 Matériaux à bandes interdites photoniques naturels
I.2.1. Les Papillons
I.2.2. Les oiseaux
I.2.3. Les Opales
I.3 Les cristaux photoniques artificiels
I.3.1. Les cristaux photoniques unidimensionnels (Miroirs de Bragg) (CPs -1D)
I.3.2. Les cristaux photoniques bidimensionnels (CPs -2D)
I.3.3. Les cristaux photoniques tridimensionnels (CPs-3D)
I.4 Caractéristiques physiques et géométriques d’un cristal photonique unidimensionnel
I.4.1. Contraste d’indice δ
I.4.2. La Période
I.4.3. Facteur de remplissage f
I.5 Quelques concept de base
I.5.1. Maille élémentaire et zone de Brillouin
I.5.2. Cristal photonique 2D –carte de bandes interdites
I.6 Cristaux photoniques avec et sans défauts
I.6.1. Les défauts ponctuels
I.6.2. Les défauts linéaires
I.7 Les méthodes pour l’analyse des cristaux photonique
I.7.1. La Méthode FEM
1.7.2 La TMM (Transfert Matrix Method)
1.7.3 La méthode FDTD (Finite Difference Time Domain)
1.7.4 La FDTD d’ordre N
1.7.5 La méthode des fonctions localisées
1.7.6 La BPM (Beam Propagation Method)
1.7.7 La FFF (Fast Fourier Factorization)
I.8 Applications des cristaux photoniques
I.8.1 Les applications des CPs-1D
I.8.2 DEMUX-coupler
I.8.2 Guides d’onde dans les cristaux photoniques
I.9 Méthodes de synthèse employées dans les cristaux photonique
I.9.1 Algorithmes génétiques
I.9.1.1 Applications de l’AG
I.9.1.2 Principe
I.9.1.3 Codage
I.9.1.4 Création de la population initiale
I.9.1.5 Fonction d’adaptation
I.9.1.6 Opérateurs de l’AG
I.9.1.7 Sélection
I.9.1.8 Croisement
I.9.1.9 Croisement en un point
I.9.1.10 Croisement en deux points
I.9.1.11 Croisement uniforme
I.9.1.12 Mutation
I.9.1.13 Critères d’arrêt
I.9.1.14 Avantages et inconvénients
I.9.2 Recuit simulé
I.9.2.1 Caractéristiques du Recuit Simulé
I.9.2.2 Gestion des déplacements
I.9.2.3 Chaîne de Markov
I.9.2.4 Critère de Metropolis
I.9.2.5 L’algorithme de BOLTZMANN (BA: Boltzmann Annealing)
I.9.3 Recherche Tabou
I.9.3.1 Recherche taboue à variables continues
I.9.3.2 Principe
I.9.3.3 La recherche taboue de Hu
I.9.3.4 Recherche taboue dite universelle
I.9.3.5 Exploration du domaine de recherche
I.9 Conclusion
Chapitre II
II.1 Introduction
II.2 La méthode d’analyse des cristaux photoniques
II.2.1 La méthode de matrice de transfert
II.3 Les méthodes des synthèses des cristaux photoniques
II.3.1 Le modèle hybride
II.3.2 Etape du processus d’optimisation
II.4 Conclusion
Chapitre III
III.1 Introduction
III.2 Défaut dans les cristaux photoniques unidimensionnels CPs-1D
III.3 Optimisation des filtres sélectifs à base des CPs-1D
III.4 Présentation des résultats de simulation
III.4.1 Filtre sélectif à longueur d’onde 1.8 μm
III.4.2 Filtre sélectif à longueur d’onde 1.31μm
III.4.3 Filtre sélectif à la longueur d’onde 1.55 μm
a. Première optimisation
b. Deuxième optimisation
III.5 Conclusion

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