Méthodes de NMF informées pour l’étalonnage d’un réseau de capteurs mobiles à réponse affine

État de l’art en étalonnage de capteurs 

Le terme étalonnage, souvent remplacé par l’anglicisme calibration, peut avoir plusieurs définitions suivant les domaines. En traitement d’images ou de vidéos, l’étape d’étalonnage correspond généralement à estimer les distorsions induites par le dispositif d’acquisition [208, 188, 199, 236, 90] ou l’orientation des caméras [208, 88, 233] dans des applications comme par exemple la vision par ordinateur. En réseau de microphones, l’étalonnage a principalement pour objectif de déterminer la géométrie du réseau, c.-à-d. la position des microphones, par une estimation du déphasage entre les signaux reçus [202, 161, 110]. En modélisation, l’étalonnage peut consister à apprendre les paramètres d’un modèle physique, par exemple par des approches d’assimilation de données.

Dans l’application considérée dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étalonnage d’un réseau de capteurs électroniques. Cet étalonnage consiste à estimer les paramètres permettant de retrouver le champ physique mesuré à partir de la grandeur électrique en sortie des capteurs. La section suivante introduit ce problème d’étalonnage auquel nous serons confrontés par la suite, et dresse un état de l’art des méthodes existantes.

Modèles d’étalonnage de capteurs 

Avec le développement relativement récent de nouveaux capteurs et micro-contrôleurs bas-coût ainsi que celui de réseaux sans fils de plus en plus étendus, les applications utilisant des données en provenance de réseaux de capteurs mobiles se sont multipliées. Une problématique inhérente à l’exploitation de données issues de telles structures est l’étalonnage des capteurs. De façon générale, lors de l’utilisation d’un capteur électronique, celui-ci convertit un phénomène physique d’entrée auquel il est sensible, par exemple un taux de luminosité, une température, une concentration de gaz ou un taux d’humidité, en un signal de sortie à un instant t, cette conversion effectuée par le capteur lie sa valeur de sortie x(t) (souvent une tension, expimée en Volts) à la valeur physique d’entrée y(t) par une fonction d’étalonnage F non accessible à l’utilisateur et qui est propre au capteur. Le but de l’étalonnage est alors d’inverser la fonction F pour permettre de reconstruire à partir de la tension de sortie du capteur, la valeur physique d’entrée correspondante. Étalonner un capteur revient donc à résoudre un problème inverse.

Les approches de type régression linéaire/non-linéaire

La méthode classique d’étalonnage de capteurs consiste à exposer les capteurs à étalonner à des valeurs d’entrée contrôlées. Connaissant la valeur physique d’entrée, il est alors possible d’estimer les paramètres d’étalonnage des capteurs pour faire coïncider la tension de sortie avec la valeur physique d’entrée, par simple régression. Cette méthode d’étalonnage est notamment utilisée dans [224, 168]. Si cette façon d’étalonner les capteurs permet une grande précision dans l’estimation des paramètres, le contrôle de la valeur physique à laquelle sont exposés les capteurs est cependant assez difficile et nécessite bien souvent un équipement spécifique tel qu’un laboratoire sous atmosphère contrôlée pour l’étalonnage de capteurs de gaz, température, humidité ou particules. Ces équipements sont souvent extrêmement coûteux, de plus, la tendance actuelle est à l’utilisation de réseaux constitués de très nombreux capteurs. La taille importante de ces réseaux ne permet donc pas de manipuler manuellement tous les capteurs pour les étalonner en laboratoire. De plus, ces capteurs sont souvent bas-coût, et de ce fait moins stables. L’étape d’étalonnage peut donc être à répéter régulièrement, entraînant alors de nombreuses manipulations. Les méthodes proposées dans [224, 168] s’appliquent donc à des réseaux de petite taille et/ou facilement accessibles, constitués de capteurs relativement stables, sous réserve de disposer des installations nécessaires.

Dans le cas de capteurs à réponse affine, une simple régression linéaire entre la mesure physique de sortie du capteur et la valeur physique d’entrée permet une estimation efficace des paramètres d’étalonnage [224, 168]. Dans le cas de modèle de réponse non-linéaire plus complexe dont l’expression n’est pas forcément connue a priori, les réseaux de neurones sont généralement utilisés. Ils permettent alors un apprentissage automatique des paramètres.

Les approches non-supervisées ou faiblement supervisées

Les méthodes d’étalonnage non-supervisées ne nécessitent pas de connaître à l’avance une grande base de données d’apprentissage. Ces méthodes travaillent directement sur les données en provenance des capteurs et sont donc particulièrement adaptées aux réseaux mobiles pour lesquels il peut être par exemple difficile d’avoir un apprentissage du signal observé, principalement à cause de la mobilité des capteurs qui n’est souvent pas contrôlée.

Ces approches non-supervisées peuvent être ordonnées en deux sous-groupes, d’un côté des méthodes dites de macro-étalonnage, de l’autre les méthodes de micro-étalonnage, dont les définitions sont données ci dessous.

Définition 2.1
Les méthodes de macro-étalonnage consistent à harmoniser en même temps les données en provenance de tous les capteurs, pour obtenir un ensemble de mesures cohérentes.

Définition 2.2
Les méthodes de micro-étalonnage travaillent capteur par capteur et font souvent intervenir des données de référence pour étalonner le réseau.

Approche multi-sauts 

Dans l’application visée dans [85], des capteurs environnementaux ont été placés sur un réseau de tramways. Tout au long de la journée, les mesures brutes, c.-à-d. non étalonnées, issues des différents capteurs sont datées, géolocalisées et collectées. À ces mesures de capteurs mobiles viennent s’ajouter des mesures de référence issues de capteurs fixes précis et préétalonnés répartis à différents endroits le long des lignes de tramway. La méthode d’étalonnage proposée exploite alors les informations fournies par la mobilité des capteurs ainsi que les données de référence des stations fixes. En particulier, l’approche décrite exploite les rendezvous entre les capteurs mobiles à étalonner et les capteurs de référence.

Grâce à la configuration particulière du réseau de capteurs mobiles utilisé ici, c.-à-d. grâce au passage régulier des tramways à proximité des capteurs de référence, l’accumulation de mesures en rendez-vous entre tous les capteurs (mobile/mobile et mobile/référence) est assurée. Ces rendez-vous ont alors permis aux auteurs de [85] de proposer une approche d’étalonnage dite multi-sauts étalonnant un à un l’ensemble des capteurs du réseau. Cette approche en trois étapes répétées jusqu’à étalonnage de l’ensemble du réseau consiste à :

1. Sélectionner un capteur à étalonner ayant effectué des mesures en rendez-vous avec une référence.
2. Étalonner ce capteur par régression linéaire entre ses mesures et les mesures de référence.
3. Considérer ce capteur étalonné comme étant une nouvelle référence.
4. Répéter l’opération pour un autre capteur.

Une extension de cette méthode a été proposée [182], remplaçant la régression par moindres carrés classique par une régression moyenne géométrique (GMR pour geometric mean regression), permettant de pallier au problème de propagation de l’erreur d’étalonnage d’un capteur à un autre. Plus récemment, la même équipe a proposé une extension de [85, 182] à des capteurs non plus à réponse gain/offset mais à réponses multi-linéaires, en tenant compte de la possible sensibilité des capteurs à différents phénomènes physiques [134].

Les très bons résultats obtenus en utilisant cet étalonnage multi-sauts en situation réelle, sont en grande partie dûs à la configuration du réseau, permettant d’assurer une grande quantité de mesures croisées entre les capteurs. La notion de rendez-vous ainsi que l’intégration de mesures de références sont les points clés développés par [85, 182] et sont particulièrement bien adaptés à une utilisation dans un réseau de capteurs mobiles. Récemment, une version distribuée de [182] a été proposée dans [https://www.chatpfe.com/].

Dans une application de mobile crowdsensing classique, où les porteurs des capteurs sont humains, ces derniers se déplacent de façon non contrainte et un nombre suffisant de rendez vous entre tous les capteurs n’est pas assuré pour permettre un étalonnage précis du réseau. Il est alors nécessaire de développer de nouvelles approches.

Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Contexte
1.2 Objectifs
1.3 Plan
2 État de l’art en étalonnage de capteurs
2.1 Introduction
2.2 Modèles d’étalonnage de capteurs
2.3 Méthodes d’étalonnage
2.3.1 Les approches de type régression linéaire/non-linéaire
2.3.2 Étalonnage par apprentissage/correction
2.3.3 Les approches non-supervisées ou faiblement supervisées
2.3.3.1 Macro-étalonnage
2.3.3.2 Micro-étalonnage
2.4 Conclusion
I Le problème de l’étalonnage de capteurs vu comme un problème de factorisation matricielle
3 État de l’art en factorisation matricielle
3.1 Introduction
3.2 Critères et contraintes usuelles en NMF
3.2.1 Critères usuels d’attache aux données
3.2.1.1 La norme de Frobenius
3.2.1.2 Divergence de Kullback-Leibler
3.2.1.3 Divergence d’Itakura-Saito
3.2.1.4 Les divergences paramétriques
3.2.1.5 Critère pondéré
3.2.1.6 Prise en compte de structures dans le critère
3.2.2 Les contraintes vues comme des pénalisations
3.2.2.1 Pénalisations d’évolution lente
3.2.2.2 Pénalisations de lissage
3.2.2.3 Pénalisations de parcimonie
3.2.2.4 Pénalisations douces d’égalité
3.2.2.5 Pénalisations de faible rang
3.2.3 Autres pénalisations : contraintes de bornitude
3.2.4 Unicité et exactitude de la NMF
3.3 Optimisations usuelles pour les algorithmes alternés
3.3.1 Méthode heuristique
3.3.2 Descente de gradient
3.3.3 Approche Majoration-Minimisation (MM)
3.3.4 Méthode par moindres carrés alternés (ANLS)
3.4 Méthodes « historiques » de NMF
3.5 Méthodes de NMF pour les problèmes de grandes dimensions
3.5.1 Méthodes de NMF accélérées
3.5.1.1 Méthode de NMF par mises à jour itératives alternées
3.5.1.2 NMF par gradient de Nesterov
3.5.1.3 Méthode de NMF aléatoire (Randomized NMF)
3.5.1.4 NMF distribuée
3.5.2 NMF pour flux de données
3.5.3 Co-factorisation
3.5.4 Factorisation tensorielle
3.6 Cas des données manquantes
3.7 Conclusion
4 Méthodes de NMF informées pour l’étalonnage d’un réseau de capteurs mobiles à réponse affine
4.1 Définitions et hypothèses
4.2 Mise en place de l’étalonnage par factorisation
4.2.1 Écriture matricielle du problème d’étalonnage
4.2.2 Prise en compte des données manquantes
4.2.3 Contrainte de non-négativité
4.2.4 Prise en compte de données de référence
4.2.5 Conditions nécessaires à l’étalonnage
4.3 Une première approche d’étalonnage par complétion de matrice (NMF/C-Cal)
4.4 Étalonnage de capteurs par factorisation matricielle informée
4.5 Régularisation par utilisation de données constructeur
4.6 Initialisation des méthodes
4.7 Conclusion
5 Méthodes de Semi-NMF informées pour l’étalonnage d’un réseau de capteurs mobiles non-linéaires
5.1 Hypothèses et introduction de structures dans les matrices facteurs
5.2 Étalonnage par complétion
5.3 Étalonnage par factorisation matricielle informée
5.3.1 Mise à jour de la matrice de Vandermonde
5.3.2 Mise à jour du deuxième facteur
5.4 Extension à la régularisation par utilisation de données constructeur
5.5 Initialisation et astuces algorithmiques
5.6 Conclusion
6 Conclusion générales

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