Méthodes de modélisation de la couche limite

Méthodes de modélisation de la couche limite

La notion de couche limite a été introduite par Ludwig Prandtl en 1904(Schetz et Bowersox, 2012), qui a observé, après expérimentation, que, pour un nombre de Reynolds suffisamment élevé, de l’ordre 10⁶ , il existe une mince région à proximité de la paroi où les effets visqueux sont au moins aussi importants que les effets d’inertie, peu importe la grandeur de la viscosité du fluide. La grande réussite de Prandtl a été de démontrer l’importance de la partie visqueuse de l’écoulement dans la résolution de la couche limite, partie qui avait été négligée jusqu’a ce moment là, pour simplifier les équations de Navier-Stokes. Prandtl a aussi déduit que les équations réduites de Navier-Stokes pouvaient être utilisées dans certaines conditions. Il a dérivé les équations de la couche limite en tenant compte des hypothèses suivantes :

1. « L’hypothèse géométrique », selon laquelle l’épaisseur de la couche visqueuse est beaucoup plus petite par rapport à la longueur de la surface de propagation de l’écoulement. L et δ sont les échelles de longueur, normales et respectivement parallèles à la paroi ; en effet δ est l’épaisseur de la couche limite et L est la longueur de référence sur le long du mur.

2. La taille du terme visqueux le plus important doit avoir le même ordre de grandeur que le terme d’inertie (Schetz et Bowersox, 2012),

Prandtl a développé un modèle simplifié de la couche limite, qui était basé sur la décomposition du domaine de l’écoulement en deux sous-domaines:

1. Le « sous-domaine de la couche limite », situé dans le voisinage immédiat du corps où les forces de frottement sont de même ordre de grandeur que les forces d’inertie;

2. Le « sous-domaine du mouvement visqueux », en dehors du champ de mouvement, situé à une distance du corps telle que les forces de frottements sont considérées négligeables par rapport aux forces d’inertie.

Le mouvement dans chaque sous-domaine est décrit par différents modèles mathématiques, mais, avec des conditions limites pour leur connexion dans l’interface commune. Dans la zone extérieure de la couche limite, les équations qui décrivent le mouvement des fluides sont des équations du fluide parfait qui sont exprimées par le système d’Euler ou l’équation du potentiel, selon le modèle adopté. Le système d’Euler est un système d’équations différentielles non-linéaires avec des dérivées partielles du premier ordre et peut être obtenu à partir des équations de Navier-Stokes en supprimant les termes visqueux et la conduction thermique. L’équation du potentiel est obtenue en introduisant une troisième hypothèse: première, l’hypothèse géométrique », selon laquelle l’épaisseur de la couche visqueuse est beaucoup plus petite par rapport à la longueur de la surface de propagation de l’écoulement, deuxième, la taille du terme visqueux le plus important doit avoir le même ordre de grandeur que le terme d’inertie et la troisième, le champ de vitesses est nonrotationnel.

Dans la zone intérieure, les équations simplifiées de Navier-Stokes sont utilisées. Elles sont simplifiées selon les hypothèses de Prandtl ci-haut mentionnées et sont appelées les équations de la couche limite.

Les solutions numériques

• La méthode intégrale
Dans la pratique, une solution approximative des équations de la couche limite est généralement suffisante. Les méthodes intégrales offrent une telle approximation et ont été introduite pour la première fois par Von Karman et Pohlhausen (Katz et Plotkin, 2001). Von Karman a obtenu l’équation intégrale de la quantité de mouvement, en l’intégrant à travers de la couche limite. Pohlhausen a appliqué cette méthode, en utilisant un polynôme du quatrième ordre pour exprimer la distribution de vitesses afin d’élaborer un ensemble de solutions comprenant l’effet du gradient de pression à l’intérieur de la couche limite .

L’approche de Pohlhausen donne des résultats moins satisfaisants dans les régions proches du bord de fuite de l’écoulement. Thwaites a suggéré une méthode différente d’intégration de l’équation de quantité de mouvement. Cette méthode améliore l’idée originale de Holstein et Bohlen de réécrire l’équation de quantité de mouvement en fonction d’un meilleur paramètre (Ryhming, 2004). Thwaites a regardé toute la collection des résultats analytiques et expérimentaux connus, pour le relier à un ensemble de fonctions moyennes à un paramètre (Katz et Plotkin, 2001).

• La méthode différentielle
Il existe plusieurs méthodes numériques pour résoudre les équations de la couche limite sous forme différentielle. La méthode Crank-Nicolson (Burden et Faires, 2011), la méthode de Keller (Cebeci et Cousteix, 2005), la méthode avec différences finies (Fletcher, 1991) sont les méthodes les plus pratiques et connues.

La méthode de Keller est une méthode implicite qui transforme l’équation de quantité de mouvement. Au lieu de résoudre l’équation aux dérivées partielles du second ordre, cette équation est transformée en deux équations aux dérivées partielles du premier ordre. Cela permet à toutes les dérivées dans les équations de la couche limite d’être approximées par de simples différences centrées, en utilisant uniquement la moyenne entre deux points situés aux coins de la boîte. Cette méthode est une méthode numérique flexible qui peut résoudre, avec précision, l’écoulement inverse, ainsi que la séparation.

La méthode avec différences finies, résout directement les équations de la couche limite sous la forme différentielle. Les dérivées sont calculées par de différences implicites entre les deux points consécutifs sur des normales à la paroi. Plus l’intervalle entre ces points sur la normale et entre les normales à la paroi est petit, plus la précision de calcul est grande.

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Table des matières

INTRODUCTION
CHAPITRE 1 COUCHE LIMITE LAMINAIRE ET TURBULENT
1.1 Méthodes de modélisation de la couche limite
1.1.1 Méthodes pour modéliser l’écoulement visqueux
1.1.1.1 Les solutions de similarité
1.1.1.2 Les solutions numériques
1.1.2 Méthodes pour modéliser l’écoulement non visqueux
1.2 Les équations de Navier-Stokes
1.3 Les équations du mouvement moyen
1.3.1 Grandeurs moyennes et fluctuations turbulentes
1.3.1.1 Moyennes statistiques
1.3.1.2 Moyennes temporelles (Reynolds)
1.3.1.3 Moyennes pondérées par la masse (Favre)
1.3.2 Les équations moyennes de Reynolds
CHAPITRE 2 LES ÉQUATIONS DE LA COUCHE LIMITE
2.1 Couche limite laminaire incompressible
2.2 Couche limite turbulente incompressible
2.2.1 Les caractéristiques des écoulements turbulent
2.2.2 Les équations de l’écoulement turbulent
2.3 Les équations de l’écoulement non-visqueux
2.4 Les équations de quantité de mouvement sous la forme intégrale
2.5 Conditions limites et initiales
CHAPITRE 3 MÉTHODES DES PANNEAUX POUR LE CALCUL DE PROFILS
3.1 Introduction
3.2 Méthode de Hess et Smith.
3.3 Méthode des panneaux avec tourbillon par formulation de vitesse
CHAPITRE 4 MÉTHODE NUMÉRIQUE AVEC DIFFÉRENCES FINIES POUR
LE CALCUL DE LA COUCHE LIMITE
4.1 Équation de Falkner-Skan. Conditions initiales et aux limites
4.2 Méthodes avec des différences finies pour résoudre la couche limite laminaire
4.3 Méthodes avec des différences finies pour résoudre la couche limite turbulent
4.4 Prédiction de la transition
4.5 Description du programme
CHAPITRE 5 LA SOUFFLERIE PRICE-PAÏDOUSSIS
5.1 Introduction
5.2 Description de la soufflerie Price-Païdoussis
5.2.1 Unité de puissance
5.2.2 Unité de conduite
5.2.3 Buse convergente
5.2.4 Chambres d’expérience
5.2.5 Salle mécanique
5.3 Instruments
5.3.1 Profil ATR-42
5.3.2 Le tube de Pitot
5.3.3 Système de mesure de la pression
CHAPITRE 6 VÉRIFICATION ET VALIDATION DES RÉSULTATS
6.1 Introduction
6.2 Analyse des résultats pour le profil NACA 4412
6.2.1 Variation des coefficients aérodynamiques pour le profil NACA 4412 avec l’angle d’attaque α
6.2.2 Analyse des paramètres de la couche limite pour le profil NACA 4412 pour l’angle d’attaque de 4 dégrée
6.2.3 Analyse des paramètres de la couche limite pour le profil NACA 4412 pour l’angle d’attaque de 0 dégrée
6.3 Analyse des résultats pour le profil NACA 0012
6.3.1 Variation des coefficients aérodynamiques pour le profil NACA 0012 avec l’angle d’attaque α
6.3.2 Analyse des paramètres de la couche limite pour le profil NACA 0012 pour l’angle d’attaque de -4 dégrée
6.4 Les coefficients de pression du profil ATR-42
CONCLUSION