Méthodes de calcul de la propagation radar

Méthodes de calcul de la propagation radar

La modélisation de la propagation radar a d’abord été limitée aux modèles en deux dimensions qui peuvent être traités par des solutions analytiques. Ensuite, les études ont été améliorées pour arriver à traiter des scénarios de propagation en trois dimensions plus réalistes grâce à des méthodes de calcul numérique développées. Dans ce qui suit, nous présenterons une description générale de la méthode d’équation parabolique et des méthodes de rayons qui sont caractérisées par un temps de calcul raisonnable par rapport aux méthodes numériques (MoM et FDTD) dans des scénarios 3D de propagation, nous exposerons certaines de leurs applications dans le domaine de propagation radar tout en mentionnant les difficultés et les limitations qu’elles rencontrent.

Equation parabolique
L’idée de l’approximation parabolique a été introduite par Leontovich et Fock [6] pour traiter les problèmes de diffraction des ondes radio. La méthode d’équation parabolique est basée sur une approximation asymptotique de l’équation d’onde en supposant que la propagation d’énergie est modélisée par un cône dont l’axe désigne la direction de propagation privilégiée [7]. Considérons un scénario de propagation 2D défini dans le plan (xOz) tel que le demi axe (z > 0) désigne la direction paraxiale de propagation, et soit n l’indice de réfraction du milieu de propagation supposé homogène.

La méthode d’équation parabolique a été utilisée dans plusieurs domaines d’applications : la propagation acoustique sous-marine 2D [8], l’optique et la propagation des ondes sismiques. Au départ, la méthode d’équation parabolique a été appliquée dans les problèmes de propagation sous-marine ou sur terrain plat. Mais dans les dernières années, cette méthode a été très utilisée pour modéliser les effets de la propagation radar, et les techniques ont été améliorées pour gérer les problèmes de diffraction et de réflexion des champs électromagnétiques dans un milieu de propagation terrestre urbain [9–13]. La méthode la plus efficace de résolution de l’équation parabolique est de type Split-Step Fourier (SSF). Cette méthode tire son nom du fait que la propagation est modélisée, grâce à un passage dans le domaine spectral en utilisant la transformée de Fourier, par un calcul itératif. Cette résolution est développée pour la première fois en 1973 [14]. Cette technique a été perfectionnée [15] pour permettre de considérer un sol d’impédance quelconque en tenant compte de la condition aux limites de Léontovich dans la résolution SSF. Cette méthode, basée sur la résolution de l’équation parabolique par SSF, est développée dans [13, 16] pour calculer les champs électromagnétiques dans des scénarios 3D de propagation radar en environnement terrestre (en présence des bâtiments).

Méthodes de rayons

L’idée générale des méthodes de rayons est basée sur la décomposition d’un champ électromagnétique en une sommation d’un nombre fini de rayons (tracé ou lancer de rayons) ou de tubes de rayons. Le principe du tracé de rayons est simple : si on connaît la position de l’antenne émettrice et du point d’observation, il suffit de tracer la liste des rayons (directs et indirects) qui peuvent se propager physiquement entre ces deux positions. Une application directe de la méthode de tracé de rayons incluant les rayons diffractés dans un scénario complexe de propagation augmente le nombre total de tests à effectuer pour trouver tous les rayons participant à la propagation. Par conséquent le temps de calcul croît énormément avec le nombre d’obstacles existant dans le milieu de propagation et le nombre de réflexions/diffractions par rayon. Une deuxième approche a été alors proposée, le lancer de rayons, qui consiste à définir un volume de réception autour du point d’observation. Dans la plupart des modèles, ce volume est une sphère centrée au point de réception. Le champ électromagnétique total est alors obtenu par sommation des champs de tous les tubes de rayons « utiles ». Cette méthode a aussi plusieurs limitations : le nombre de rayons à lancer avec la complexité de l’environnement et l’utilisation d’une sphère de réception peuvent causer d’importantes erreurs de calcul (mauvaise estimation de phases). Le lancer de tubes de rayons permet de surmonter le second problème mais engendre une multiplication des tests (le point d’observation est-il à l’intérieur ou à l’extérieur du tube ?). Dans toutes les méthodes de rayons, l’utilisation d’une approximation « champ lointain » rend la méthode incapable de traiter avec précision les interactions des champs électromagnétiques avec les obstacles situés dans les zones « champ proche » et même « intermédiaire ». Un autre problème inhérent à toutes les méthodes de rayons est le problème de caustiques dans le cas où le milieu contient des surfaces courbes concaves, particulièrement dans les simulations de propagation en environnement terrestre urbain en présence d’obstacles naturels, ce problème se traduit dans les simulations par l’apparition de zones brillantes dans les images radar. Bien que les méthodes de rayons soient souvent appliquées dans la modélisation de la propagation pour les systèmes de communication [17–19], elles sont aussi utilisées pour simuler la propagation radar. Ces méthodes sont très utilisées dans le calcul et la prédiction de la surface équivalente radar (SER) [20–22]. L’une des plus célèbres méthodes basées sur la théorie de rayons est la méthode connue en anglais par « Shooting and Bouncing Rays » qui a été utilisée dans [23] pour la prédiction de la surface équivalente radar d’objets complexes. Les méthodes de rayons basées sur la théorie géométrique de diffraction (GTD) [24] et sa version uniforme (UTD) [25] ont été utilisées aussi pour calculer le champ diffracté par superposition d’un nombre de rayons lancés à partir des points de diffraction localisés sur la surface diffractante. Les positions de ces points de diffraction sont obtenues par tracé de rayons basé sur le principe de Fermat (trajet optimal). Des travaux de recherches ont été développés pour coupler les méthodes asymptotiques (Optique Géométrique, GTD et UTD) avec une technique de lancer de rayons. Ce couplage permet de traiter : la simulation de SER, l’étude de rayonnement d’antenne et la modélisation de la propagation en milieux homogènes ou inhomogènes [26].

Autres approches et perspectives

Plusieurs méthodes de calcul hybrides ont été développées pour adapter les méthodes de calcul existantes et les rendre plus aptes à traiter des situations de calcul de champs plus compliquées. La méthode proposée dans [27] est basée sur la combinaison de l’équation parabolique avec le lancer de faisceaux gaussiens pour étudier la propagation dans des milieux inhomogènes à grande échelle. La méthode proposée dans [28] utilise l’équation parabolique et les méthodes de différences finies avec les fonctions de Green pour calculer les pertes de transmission dans une atmosphère inhomogène et sur un terrain irrégulier, celle proposée dans [29] combine le tracé de rayon avec l’optique physique et la théorie physique de diffraction pour calculer la SER d’objets complexes, et finalement l’équation parabolique est combinée avec les rayons optiques pour modéliser la propagation radar dans [30]. L’optique physique a été aussi utilisée pour traiter les effets de la diffraction, complétée par des intégrales de frontières faisant appel notamment à des « Incremental Length Diffraction Coefficients » (ILDC) [31], des « elementary edge waves » (EEW) [32], et à « Incremental Theory of Diffraction » (ITD) [33–35]. Toutes ces techniques sont basées sur le calcul du champ diffracté par superposition de tous les champs rayonnés à partir de l’obstacle diffractant. Dans cette thèse, nous proposons d’utiliser une méthode basée sur le principe de lancer de faisceaux gaussiens pour tenter de surmonter les limites des autres méthodes dans des environnements où le LFG est connu pour son efficacité (réflexions multiples en 3D).

Faisceaux gaussiens

On trouve dans la littérature de nombreuses représentations des faisceaux gaussiens : modes gaussiens, champs rayonnés par des sources complexes ou par des distributions sources dans un plan… Dans tous les cas, un faisceau gaussien possède une « largeur » non nulle à la fois dans les domaines spatial et spectral, puisque le spectre d’une fonction gaussienne est lui-même gaussien. Cette « épaisseur » des faisceaux gaussiens fournit à la méthode de LFG plusieurs propriétés intéressantes :
• L’épaisseur du faisceau gaussien est différente de zéro dans les deux domaines spatial et spectral. Par conséquent, les faisceaux gaussiens ne souffrent pas de problèmes de caustiques, ce qui est particulièrement important dans des scénarios contenant des interfaces courbes, ou dans des milieux de propagation non homogènes.
• Le nombre de faisceaux à lancer dans des scénarios en trois dimensions est plus petit que le nombre de rayons à lancer dans les méthodes de rayons, pour des résultats de précision équivalente.
• La représentation discrétisée des champs sous la forme d’une superposition de faisceaux n’introduit pas de discontinuités « non physiques » car elle n’est pas basée sur un échantillonnage ou une approximation discontinue (marches d’escaliers) du spectre rayonné, comme c’est le cas avec les méthodes de lancer de rayons ou de tubes de rayons.

Table des matières

1 Introduction
1.1 Méthodes de calcul de la propagation radar
1.1.1 Equation parabolique
1.1.2 Méthodes de rayons
1.1.3 Autres approches et perspectives
1.2 Faisceaux gaussiens
1.2.1 Modes gaussiens et faisceaux gaussiens paraxiaux généralisés
1.2.2 Sources complexes
1.3 Discrétisation initiale
1.3.1 Transformée de Fourier à fenêtre
1.3.2 De la décomposition de Gabor aux frames de Gabor
1.3.3 Principe du « LFG de base » à partir d’un frame
1.4 Transformations des faisceaux gaussiens en présence d’obstacles
1.4.1 Transformations paraxiales
1.4.2 Diffraction
a Rayons diffractés
b Incremental Complex Point Source diffraction
c Beam to Beam diffraction
1.5 Approche proposée
2 Formulation du lancer de faisceaux gaussiens à partir d’un frame
2.1 Théorie générale des frames
2.1.1 Définitions et propriétés
2.1.2 Frames de Gabor dans L2 (R)
2.1.3 Calcul des coefficients de décomposition
2.1.4 Limites des sommations
2.2 Faisceaux gaussiens astigmatiques généralisés
2.2.1 Approximation paraxiale à partir d’une intégrale spectrale
2.2.2 Transformation d’un faisceau gaussien par une interface
2.2.3 Quelques problèmes de faisceaux gaussiens
a Élargissement spatial d’un faisceau gaussien
b Faisceau gaussien rencontrant une discontinuité physique
2.3 Conclusion
3 Formulation de la re-décomposition d’un faisceau gaussien 3D
3.1 Principe de l’algorithme de re-décomposition
3.2 Calcul des coefficients de re-décomposition sur le frame à fenêtres étroites
3.2.1 Relation entre spectres d’onde plane (SOP) définis dans deux plans différents
3.2.2 Formulation et approximation paraxiale
3.2.3 Illustration numérique et paramétrisation
3.2.4 Comparaison avec l’échantillonnage par sources complexes
3.3 Changement de frame
3.3.1 Formulation
3.3.2 Illustration numérique et paramétrisation
a Matrice de changement de frame
b Re-décomposition complète
3.4 Conclusion
4 Application de la re-décomposition au lancer de faisceaux gaussiens
4.1 Limites des indices spatiaux et spectraux pour la re-décomposition
4.1.1 Faisceau gaussien re-décomposé sur un plan infini
4.1.2 Faisceau gaussien rencontrant un obstacle ou une ouverture rectangulaire limité
a La zone spectrale est liée aux dimensions de l’obstacle
b La zone spectrale est limitée par le domaine visible
c La zone spectrale est liée à la zone d’observation (ou zone cible)
4.2 Intérêt de la re-décomposition pour limiter les erreurs paraxiales
4.3 Diffraction d’un faisceau gaussien par une ouverture rectangulaire
4.4 Réflexion-diffraction d’un faisceau gaussien partiellement incident sur un obstacle
4.5 Scénario réaliste
4.6 Conclusion
Conclusion
Bibliographie

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