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Le rˆole des syst`emes d’assimilation
Mˆeme si les techniques de t´el´ed´etection peuvent fournir une estimation spatiale de plu-sieurs variables de la surface, elles ne peuvent pas le faire pour toutes et encore moins d’une mani`ere continue. C’est pourquoi nous avons recours aux sch´emas de surface, capables de simuler l’´evolution spatio-temporelle de ces variables sur un domaine d´etermin´e. Le probl`eme est que, habituellement, ces simulations peuvent s’´ecarter de la r´ealit´e a` cause des incertitudes portant sur la connaissance des param`etres du sol et de la v´eg´etation, le for¸cage atmosph´erique, et aussi a` cause des imperfections des mod`eles. Les pr´evisions du mod`ele et les estimations d´eduites de mesures satellitaires sont deux types d’informations qui peuvent ˆetre associ´ees pour obtenir un niveau de pr´ecision impossible a` obtenir autrement Talagrand (1997). C’est le rˆole des sch´emas d’assimilation qui, par le biais des observations de t´el´ed´etection forcent les variables pronostiques des LSM. Par exemple, l’observation de l’humidit´e de la surface d´eriv´ee des diffusiom`etres des satellites ERS-1 et ERS-2 (European Remote Sensing satellites) (Wagner et al., 2003) a et´ utilis´ee par Fran¸cois et al., (2003) pour r´einitialiser l’humidit´e de la zone racinaire.
Analyse de donn´ees : concepts
Il existe de nombreuses d´efinitions pour l’analyse des donn´ees. En g´eneral, on pourrait la d´efinir comme un processus math´ematique par lequel on essaie de d´ecrire, de la fa¸con la plus r´ealiste possible, l’´etat d’un syst`eme en combinant toute l’information dont on dispose (mod`ele, observations, incertitudes, etc.). L’analyse est le r´esultat de ce processus math´ematique. La complexit´ de la m´ethode d’analyse utilis´ee d´epend des caract´eristiques physiques du syst`eme etudi´e, de la quantit´e et de la distribution spatio-temporelle des observations, de l’objectif de l’analyse, etc. Le cas le plus simple est celui o`u l’on fait l’hypoth`ese que les observations d´ecrivant le syst`eme sont parfaites. Dans ce cas, on peut simplement produire une analyse en substituant les observations aux simulations du mod`ele. C’est le principe de la m´ethode d’insertion directe (Walker, 1999). Cependant, dans la r´ealit´ soit (i) les observations ne co¨ıncident pas avec cet ´etat du mod`ele dans l’espace ou dans le temps, ou bien (ii) a` cause du processus d’observation, des erreurs de repr´esentativit´ ou les erreurs instrumentales, les observations sont imparfaites. On peut classer les m´ethodes d’analyses de donn´ees en fonction de la quantit´e d’information qu’elles utilisent (observations, incertitudes sur les observations, du mod`ele, etc.).
M´ethodes d’analyse de donn´ees
Interpolation classiques, fonctions d’interpolation
Quand l’´etat du mod`ele est compl`etement caract´eris´ par les observations (suppos´ees par-faites), le probl`eme d’analyse se r´eduit a` un probl`eme d’interpolation. Des m´ethodes d’inter-polation qui n’utilisent que les observations peuvent ˆetre utilis´ees pour estimer la distribution d’une variable inconnue.
Voisin le plus proche (Proximal/Nearest Neighbours)
Il s’agit essentiellement de substituer, pour chaque variable du mod`ele, chaque point de l’estimation par la valeur de l’observation la plus proche. Dans ce type d’interpolation rentre aussi les polygones de Thiessen (Thiessen, 1911) et les m´ethodes Pycnophylactic (Tobler, 1979).
Interpolation lin´eaire
L’interpolation lin´eaire est une technique simple pour laquelle la valeur d’une variable f a` un point particulier X est calcul´ee a` partir des observations qui l’encadrent dans l’espace et/ou dans le temps. Elle consiste a` relier les deux observations, x0 et x1, avec une ligne droite et a` en d´eduire la valeur au point inconnu X par des triangles ´equivalents de Newton :
f (X) − f (x0) = f (x1) − f (x0) (2.1)
f (X) = f (x ) + f (x1) − f (x0) (X − x ) (2.2)
Cependant, le principal probl`eme de l’interpolation lin´eaire est qu’elle n’est pas tr`es pr´ecise. Pour l’interpolation lin´eaire, l’erreur d’estimation est proportionnelle au carr´e de la distance entre les observations. D’autres m´ethodes d’interpolation, comme l’interpolation par polynˆomes ou ”spline interpolation” (d´ecrits ci-dessous), permettent d’obtenir des fonctions d’interpolation plus lisses, o`u l’erreur d’estimation est inf´erieure a` celle de l’interpolation lin´eaire.
Interpolation par polynˆomes
L’interpolation par polynˆomes est la g´en´eralisation de l’interpolation lin´eaire. Dans l’exemple pr´ec´edent d’interpolation lin´eaire, on fait une erreur en approximant une courbe avec une ligne droite. Cette estimation peut ˆetre am´elior´ee si on introduit certaines courbures a` la ligne qui joint les deux observations. Le plus simple est un polynˆome d’ordre deux : polynˆome quadratique. Pour cela on a besoin de trois observations x0 , x1 et x2 . Dans ce cas, en utilisant les triangles de Newton, la valeur d’une variable quelconque au point X est donn´ee par :
f (X) = b0 + b1(X − x0) + b2(X − x0)(X − x1) (2.3)
b0 = f (x0)(2.4)
b1 = f (x1) − f (x0)(2.4)
x1 − x0 f (x1)−f (x0)
f (x2)−f (x1) − b2 = x2−x1 x1−x0 x2 − x0(2.4)(2.6)
Cette analyse peut ˆetre g´en´eralis´ee en ajustant un polynˆome d’ordre n aux n + 1 observations x0 a` xN : fn(X) = b0 + b1(X − x0) + b2(X − x0)(X − x1) + . . . + bn(X − x0)(X − x1) . . . (X − xn−1)(2.7).
Interpolation par splines
L’interpolation par splines utilise des polynˆomes de bas-degr´ par intervalles et choisit les morceaux des polynˆomes qui s’adaptent le mieux aux observations, c.a`.d., les polynˆomes qui sont les plus proches des observations. Par exemple, l’interpolation cubique par splines est cubique par segments. La fonction interpolante est plus facile a` ´evaluer et sa d´eriv´ee seconde est nulle aux extr´emit´es, ce qui ´evite le probl`eme cit´e pr´ec´edemment.
Autres fonctions d’interpolation
On peut construire toute une famille de fonctions interpolantes en choisissant diff´erents types de fonctions : fonctions trigonom´etriques, fonctions rationnelles, etc. Si l’analyse comprends plusieurs variables, il existe des m´ethodes d’interpolation multivari´ees : interpolation bilin´eaire, trilin´eaire, etc. (Isaacson et Bishop Keller, 1994).
Probl`emes de l’analyse par fonctions d’interpolation
L’analyse par fonctions interpolantes pose plusieurs probl`emes : dans les syst`emes non-lin´eaires, l’interpolation lin´eaire est une fa¸con tr`es brutale d’approximer la valeur d’une variable entre deux observations, surtout si les observations sont distantes dans le temps ou dans l’es-pace. Dans l’interpolation par polynˆomes, les extrˆemes du champ peuvent donner des valeurs sans aucun sens physique. Un autre aspect important est la repr´esentativit´e des valeurs inter-pol´ees : si la densit´ des observations est inf´erieure a` celle de la grille du mod`ele, cela conduit a` des analyses lin´eaires par morceaux. Si un point de la grille du mod`ele est tr`es eloign´e de l’observation la plus proche, l’interpolation sera tr`es incertaine. L’interpolation peut aussi poser des probl`emes si, au contraire, la densit´ d’observations est sup´erieure a` celle de la grille. Les points d’analyse seront le r´esultat de l’interpolation des points au voisinage des points de grille, tandis que les observations qui sont eloign´ees des point de grille n’auront aucune influence, de sorte que l’analyse ne prendra pas en compte la distribution des observations.
Interpolation avec ´ebauche
On rentre ici dans une nouvelle cat´egorie d’interpolation lorsque on ajoute un terme supple-mentaire issu d’une estimation a` priori ou ´ebauche. Cela permet de r´esoudre en partie quelques-uns des probl`emes pr´ec´edents de l’interpolation. La base de ce type d’interpolation est l’analyse de Cressman, qui consiste a` d´eterminer un ´etat du mod`ele qui est ´egal aux observations au voi-sinage de l’endroit o`u elles sont disponibles, et qui est relax´ vers un ´etat arbitraire xb ailleurs. Si on d´enote xb l’´ebauche d’une variable mod´elis´ee x, et yi un vecteur de p observations de la variable x, l’´etat du mod`ele xja en chaque point de grille j est d´efini par : xj = xj n [yi − xbi] + i=1 wi,j a b n i=1 wi,j.
avec R2 − d2i,j wi,j = max(0, R2 + d2i,j ) (2.16).
o`u di,j est la distance entre les point i et j, et R est appel´ ”rayon d’influence”, de fa¸con que si la distance entre deux points est plus grande que R les observations n’ont pas de poids par rapport `a l’´ebauche. Les observations plus proches du point de grille ont un poids plus important. A mesure que la distance augmente, le poids des observations diminue. Notons que si le point de grille est au mˆeme endroit que l’observation, alors di,j = 0 et wi,j = 1. La m´ethode de corrections successives ou de nudging (Bratseth, 1986) est une am´elioration de la m´ethode de Cressman, en permettant que la fonction poids w soit inf´erieure `a 1 lorsque i=j, et en cons´equence relˆachant le poids des observations par rapport `a l’´ebauche. De plus, elles prennent en compte la dimension temporelle de l’assimilation.
Les principaux avantages de ces techniques d’analyse de donn´ees sont la simplicit´e et la rapidit´e du calcul num´erique, et en g´eneral elles sont plus pr´ecises que d’autres m´ethodes d’in-terpolation plus simple. Par contre, elles peuvent provoquer des probl`emes de stabilit´e si la densit´ des points de grille est plus grande que les observations disponibles. Elles sont aussi assez sensibles aux erreurs d’observation, et ne prennent pas en compte les corr´elations spatiales entre les observations. Le principal probl`eme est que l’on ne sait pas bien comment sp´ecifier les poids des corrections de mani`ere optimale et donc ces fonctions sont caract´eris´ees par leur empirisme (Bouttier et Courtier, 1999).
M´ethodes statistiques
Les m´ethodes d´ecrites dans les sections pr´ec´edentes sont assez faciles a` mettre en œuvre. Par contre, elles pr´esentent certains probl`emes identifi´es pr´ec´edemment que l’ont peut (diffici-lement) r´esoudre avec des approches empiriques. Par contre, il est possible de d´evelopper des syst`emes optimaux qui prennent en compte la qualit´e de l’information dont on dispose sur le syst`eme etudi´e, l’´ebauche et les observations. Ce type de m´ethodes doit ˆetre capable d’accorder davantage de confiance au mod`ele lorsque les observations sont de mauvaise qualit´e et inverse-ment. Cette approche probabiliste consiste, fondamentalement, a` minimiser la distance qui existe entre les observations et l’estimation du mod`ele sous contrainte des informations disponibles. Par exemple, on peut citer la m´ethode de Krigeage (Journel, 1977), dont le principe est le mˆeme que pour la m´ethode de Cressman, mais la fonction de poids est d´efinie en prennant en compte les caract´eristiques statistiques des variables a` analyser. La section suivante se consacre a` l’´etude plus d´etaill´ee des m´ethodes d’interpolation statistique. En particulier, on va pr´esenter la th´eorie statistique d’estimation lin´eaire qui aboutit aux ´equations g´en´erales d’estimation optimale.
Estimation statistique lin´eaire
Le probl`eme de l’estimation des valeurs inconnues d’un processus stochastique relatif a` un ensemble d’observations se posait d´ej`a au d´ebut du XIXI`EME si`ecle, quand le c´el`ebre astronome Karl Friedrich Gauss essayait d’´etablir l’orbite de la plan`ete Ceres (aujourd’hui un ast´ero¨ıde). Gauss trouvait cette orbite en ajustant un ensemble d’observations astronomiques y0 a` une fonction math´ematique f , et en d´eterminant les param`etres de f qui minimisaient la somme des carr´es des distances entre les observations y0 et la fonction f . Cet approche par moindres carr´es constitue la base et le point de d´epart pour la recherche des m´ethodes d’assimilation optimale.
Cette partie du chapitre a pour but d’expliquer, d’une fa¸con p´edagogique et simplifi´ee, des fondements de la th´eorie d’estimation statistique lin´eaire qui constitue la base des m´ethodes d’assimilation de donn´ees. Les d´eveloppements math´ematiques seront appliqu´es a` un exemple pratique, pour les rendre plus compr´ehensibles aux lecteurs qui ne sont pas familiaris´es avec cette th´eorie.
D´efinition d’un probl`eme d’estimation
Le probl`eme que l’on aborde ici est l’estimation d’un ensemble d’inconnues x d’un processus al´eatoire ou stochastique a` partir d’un ensemble d’observations y0 d’un autre processus, al´eatoire lui aussi. Imaginons, par exemple, le parcours d’une route passant a` cˆot´e d’un village appel´ Villarejo, constituant un point dangereux de la route et soumis a` une limitation de vitesse fix´ee a` 100 km/h. Deux agents de police contrˆolent avec un radar la vitesse vt des v´ehicules passant par ce point. L’inconnue x est la vitesse de la voiture vt. Est-ce que les policiers devront arrˆeter et verbaliser le v´ehicule uniquement a` partir de la mesure donn´ee par le radar ?
Cas trivial
A un instant donn´e les agents de police re¸coivent une lecture radar v0 d’une voiture roulant a` une vitesse de 105 km/h. Forts de cette information, les policiers arrˆetent la voiture pour un exc`es de vitesse, en lui montrant qu’il a roul´e a` plus de 5 km/h au dessus de la vitesse autoris´ee. Le conducteur de la voiture affirme qu’il roulait a` 97 km/h, selon son tableau de bord. Les agents de police n’ayant pas d’autre source d’information, pour eux, la meilleure estimation vˆa de la vitesse r´eelle vt de la voiture a` l’instant t est donn´ee par v0. En cons´equence, le conducteur est condamn´e a` une amende pour exc`es de vitesse. Or, a` la mesure v0 du radar routier est associ´ee une incertitude. Sur les sp´ecifications du radar, suite a` un grand nombre de mesures, l’´ecart type de ces mesures est fix´e a` 10 km/h. Cet ´ecart type d´etermine l’erreur absolue d’observation du radar. En cons´equence, la vitesse r´eelle n’est d´efinie qu’`a une incertitude pr`es dans l’intervalle compris entre 95 km/h est 115 km/h et, l’automobiliste n’aurait peut-ˆetre pas dˆu ˆetre verbalis´.
Estimateurs lin´eaires `a partir de deux observations
Imaginons que la Police ait re¸cu plusieurs contestations d’amendes ´etablies au mˆeme endroit proche de Villarejo. Ils d´ecident donc d’installer un autre radar, ind´ependant du premier, au mˆeme endroit. Ce nouvel appareil, plus pr´ecis, a une incertitude de mesure de 5 km/h. Le probl`eme qui consiste a` trouver le meilleur estimateur vˆa de la vitesse de la voiture devient maintenant un peu plus complexe. Les policiers seront tent´es maintenant d’utiliser la moyenne des deux mesures radar. Par exemple, si la lecture du deuxi`eme radar donne 98 Km/h, la moyenne des deux observations est de 101.5 Km/h, et le conducteur sera encore verbalis´. Par contre, cette estimation sera incompl`ete tant qu’ils n’utiliseront pas l’information sur l’erreur des deux radars. Une bonne estimation doit tenir compte des incertitudes sur la mesure. Maintenant on va d´evelopper trois approches diff´erentes de l’estimation ”optimale” de la vitesse r´eelle de la voiture vt avec toute l’information dont nous disposons. On verra que les trois approches coincident en proposant des estimateurs identiques si on fait des hypoth`eses sur les moments statistiques et sur la forme de la fonction de distribution de probabilit´e des erreurs d’observation et d’estimation.
BLUE’s : Best Linear Unbiased Estimators
Etant donn´e que les mesures radar ont pour but d’estimer la vitesse r´eelle vt de la voiture et sachant que ces observations son imparfaites, on peut alors les exprimer comme suit :
v10 = vt + ǫ1 (2.17)
v20 = vt + ǫ2 (2.18)
o`u ǫ1 et ǫ2 repr´esentent les erreurs associ´ees aux moyennes des mesures de v10 et v20 (imperfections des capteurs radar, imperfections sur leur construction, etc.). On ne connaˆıt pas la forme exacte de la fonction de distribution de probabilit´e des erreurs ǫ1 et ǫ2. Par contre, on peut d´efinir une classe d’estimateurs optimaux en s’appuyant sur plusieurs hypoth`eses :
1. supposons que les deux radars sont calibr´es de fa¸con que l’on puisse s’assurer que l’esp´erance math´ematique des erreurs ǫ1 et ǫ2 est nulle, c’est a` dire, que les observations ne sont pas biais´ees : E{ǫ1} = 0 E{ǫ2} = 0 (2.19)
2. puisque chaque radar est ind´ependant de l’autre, on fait l’hypoth`ese que les erreurs des mesures ne sont pas corr´el´ees : E{ǫ1 · ǫ2} = 0 (2.20)
3. on suppose aussi que les moments d’ordre deux sont ´egaux aux carr´es des ´ecarts types, c’est a` dire, la variance des observations : E{ǫ21} = σ12 E{ǫ22} = σ22 (2.21)
L’objectif est de chercher une estimation optimale de la vitesse vˆa comme une combinaison lin´eaire des observations v10 et v20 (`a laquelle se r´ef`ere le ” L ” de BLUE, de l’anglais ” Linear ”) : vˆa = C1v10 + C2v20 (2.22)
Assimilation de donn´ees
L’assimilation de donn´ees est aussi un probl`eme d’estimation. Elle rassemble toute l’infor-mation fournie par les observations et le mod`ele simulant la dynamique du syst`eme pour d´ecrire, de fa¸con la plus coh´erente et pr´ecise possible, l’´etat d’un syst`eme. L’assimilation de donn´ees est d´ej`a utilis´ee dans de nombreuses applications, notamment dans les domaines de la m´et´eorologie et de l’oc´eanographie. Son utilisation en hydrologie est plus r´ecente. La majorit´e des m´ethodes d’assimilation est fond´ee, en r´ealit´e, sur l’application de l’estimation statistique lin´eaire, d´ecrite pr´ec´edemment. Ces m´ethodes ont et´ d´evelopp´ees sous deux formes diff´erentes, pour l’essentiel :
– si l’´etat du syst`eme est analys´e s´equentiellement chaque fois que l’on trouve une observa-tion ou un ensemble d’observations, on parlera d’assimilation s´equentielle. Dans cette cat´egorie entrent toutes les m´ethodes d´eriv´ees du Filtre de Kalman standard ;
– si l’´etat initial d’un syst`eme est ajust´e globalement a` toutes les observations qui sont disponibles pendant la p´eriode d’assimilation, on parlera, g´en´ralement, d’assimilation variationnelle.
Une caract´eristique importante d’une bonne m´ethode d’assimilation est que non seulement elle fournit une estimation ”optimale” de l’´etat du syst`eme, mais qu’elle caract´erise aussi l’incer-titude avec laquelle cet ´etat a et´ estim´. Maintenant on va pr´esenter les algorithmes g´en´eraux du Filtre de Kalman et des m´ethodes variationnelles, utilis´es plus loin.
Filtres de Kalman
Le probl`eme que l’on veut r´esoudre ici est l’estimation de l’´etat d’un syst`eme et de son incertitude associ´ee, chaque fois que l’on dispose d’un ensemble d’observations et en utilisant une premi`ere estimation du mod`ele dynamique. Pour ˆetre coh´erent avec la notation utilis´ee dans ce document, on va ´ecrire l’´etat pr´evu par notre syst`eme xf , o`u l’exposant (f ) fait r´ef´erence au mot anglais ”forecast”. La premi`ere ´etape consiste a` initialiser le filtre. Ensuite deux ´etapes suivent : les variables d’´etat et leur covariance sont propag´ees en temps, ensuite l’analyse est effectu´ee.
Assimilation de donn´ees
Imaginons qu’`a un instant donn´e la seule information que l’on a de l’´etat d’un syst`eme est d´eduite seulement de la pr´evision d’un mod`ele dynamique. Par exemple, a` partir d’un sch´ema de surface on pourrait imaginer les champs de temp´erature, d’humidit´e de la surface ainsi que les flux de chaleur et d’humidit´e echang´es avec l’atmosph`ere. Les erreurs sur la param´etrisation de la physique des processus de surface, sur les variables de for¸cage atmosph´erique, etc., font que cette estimation au temps i est imparfaite. Les ´ecarts par rapport a` l’´etat vrai xti sont repr´esent´es par ǫfi : xif = xit + ǫif (2.76).
Les deux premiers moments sont suppos´es connus :
E{ǫif } = 0 (2.77).
E{ǫif (ǫif )T } = P0f (2.78).
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Table des matières
Chapitre 1 Introduction
1.1 Contexte g´en´eral
1.2 Le rˆole des syst`emes d’assimilation
1.3 Objectifs
1.4 Contexte particulier de l’´etude
1.5 Plan de manuscrit
Chapitre 2 Vers l’assimilation de donn´ees dans les mod`eles de surface
2.1 Analyse de donn´ees : concepts
2.2 M´ethodes d’analyse de donn´ees
2.2.1 Interpolation classiques, fonctions d’interpolation
2.2.1.1 Voisin le plus proche (Proximal/Nearest Neighbours)
2.2.1.2 Interpolation lin´eaire
2.2.1.3 Interpolation par polynˆomes
2.2.1.4 Interpolation par splines
2.2.1.5 Autres fonctions d’interpolation
2.2.1.6 Probl`emes de l’analyse par fonctions d’interpolation
2.2.2 Interpolation avec ´ebauche
2.2.3 M´ethodes statistiques
2.3 Estimation statistique lin´eaire
2.3.1 D´efinition d’un probl`eme d’estimation
2.3.2 Cas trivial
2.3.3 Estimateurs lin´eaires `a partir de deux observations
2.3.3.1 BLUE’s : Best Linear Unbiased Estimators
2.3.3.2 Moindres carr´ees pond´er´ees
2.3.3.3 Maximum de vraisemblance
2.3.3.4 Convergence des trois approches
2.3.4 G´en´eralisation
2.3.5 Introduction de l’´ebauche dans les estimateurs lin´eaires
2.4 Mod`eles dynamiques
2.5 Assimilation de donn´ees
2.5.1 Filtres de Kalman
2.5.2 M´ethodes variationnelles
2.6 Mod`eles non-lin´eaires
Chapitre 3 SMOSREX et ISBA-A-gs
3.1 Le site exp´erimental. Caract´eristiques principales.
3.2 ´Evolution temporelle des variables de for¸cage atmosph´erique
3.3 Humidit´e du sol et biomasse de la v´eg´etation
3.4 Mesures des instruments de t´el´ed´etection
3.4.1 Temp´eratures de brillance en bande L
3.4.2 R´eflectances
3.4.2.1 R´eflectances journali`eres sur SMOSREX
3.4.2.2 Indices de v´eg´etation
3.4.3 Temp´erature infrarouge de la surface
3.5 Heating Rates
3.6 Le mod´ele de surface
3.6.1 ISBA-A-gs
3.6.2 Simulations d’ISBA-A-gs
Chapitre 4 M´ethodes d’assimilation des observations de wg dans ISBA-A-gs
4.1 Introduction
4.2 ”From near-surface to root-zone soil moisture using different assimilation techniques.”
4.2.1 R´esum´e
4.2.2 Article
4.2.2.1 Introduction
4.2.2.2 M´ethodologie
4.2.2.3 R´esultats et discussion
4.2.2.4 R´esum´e et conclusions
4.2.2.5 Bibliographie
4.3 Une m´ethode d´eriv´ee de l’EnKF
Chapitre 5 Assimilation des observations de wg et LAI dans ISBA-A-gs en mode interactif
5.1 Introduction
5.2 Assimilation des wg avec LAI interactif
5.2.1 Strat´egie d´efensive
5.2.2 Strat´egie offensive
5.2.3 Fenˆetre s´equentielle vs fenˆetre glissant pour le 1D-VAR simplifi´e
5.2.4 Conclusion
5.3 Assmilation d’observations de LAI
5.4 ”Joint assimilation of surface soil moisture and LAI observations using a simplified 1D-VAR : The SMOSREX case study.”
5.4.1 R´esum´e
5.4.2 Article
5.4.2.1 Introduction
5.4.2.2 M´ethodologie
5.4.2.3 R´esultats
5.4.2.4 R´esum´e et discussion
5.4.2.5 Conclussion
5.4.2.6 Bibliographie
5.5 Assimilation d’observations des instruments de t´el´ed´etection
5.5.1 Temp´eratures de brillance
5.5.1.1 M´ethode directe
5.5.1.2 Inversion des TB
5.5.2 R´eflectances
5.5.3 Erreur des pseudo-observations
5.5.4 assimilation des produits de t´el´ed´etection
5.5.5 Conclusion
Chapitre 6 Conclusions
6.1 Conclusions
6.2 Perspectives
Bibliographie
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