Méthode LQG/LTR 

Méthode LQG/LTR 

MODÈLES MATHÉMATIQUES DU SYSTÈME:

Dans cette section, deux modèles linéaires du bras flexible seront développés. Pour le premier, le modèle simplifié, la flexibilité du bras est considérée comme un ressort ayant une certaine rigidité (Kstiff). Dans le second modèle, par modes supposés, la membrure est étudiée comme une poutre d’Euler-Bernoulli encastréelibre. Pour chacun des modèles, un résumé de la théorie sera présenté, les équations seront posées et développées sous forme de modèles d’état (algébriquement). Ensuite, les valeurs numériques des paramètres du système réel seront introduites pour obtenir un modèle d’état fonctionnel. À partir de ce modèle d’état, on déterminera la fonction de transfert, les zéros et les pôles de chacun des modèles, pour finalement les comparer.

Modèle simplifié
Pour obtenir un modèle linéaire, des hypothèses doivent nécessairement être effectuées pour simplifier le modèle. D’abord, l’amortissement interne du bras est considéré nul; cela annule donc une bonne partie de la non-linéarité. De plus, on considère le bras comme étant un ressort de torsion, avec une constante de ressort dépendant des paramètres physiques de la membrure. La masse du bras est considérée ponctuelle et concentrée à son extrémité. Le schéma du système simplifié est donné à la figure 5.

Modèle par modes supposés
Ce modèle, à la différence du précédent, considère la déformation du bras sur toute sa longueur et que son poids est distribué linéairement tout le long de la membrure. On suppose la déformation comme étant le produit d’une fonction de forme, caractérisant la géométrie du bras déformé, et d’une fonction temporelle.

Comme pour le modèle précédent, des hypothèses simplificatrices s’imposent. L’inertie de rotation et les effets de l’effort tranchant ont été négligés, ainsi que l’amortissement du bras. Finalement, la déformation et la vitesse de rotation de la membrure sont considérées faibles.

Équations de Lagrange
Toujours dans le but de calculer le lagrangien, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle doivent être exprimées en fonction des variables d’état. Dans ce cas-ci, la position angulaire du moteur, sa vitesse de rotation, les modes de déformation du bras ainsi que leur dérivées sont considérés. La déformation est définie par la variable v.

MÉTHODE LQG/LTR:

Dans le cadre de ce travail, la méthode de contrôle LQG/LTR, développée dans [9], sera appliquée. Elle consiste d’abord à déterminer le gain pour un retour d’état à l’aide de la méthode LQR. Ensuite, il suffit de déterminer les gains du filtre de Kalman en régime permanent pour minimiser l’impact des bruits et des hautes fréquences. Finalement, il ne reste plus qu’à construire la fonction de transfert du contrôleur qui sera appliqué au système.

COMMANDE PAR PLACEMENT DE PÔLES:

Une autre méthode de contrôle classique destinée aux systèmes linéaires est considérée. Il s’agit du contrôle par placement de pôles; à l’aide d’un retour d’état, on place chacun des pôles du système afin de s’assurer d’excellentes performances. Cependant, pour réaliser ce genre de contrôle, les valeurs de chacune des variables d’état sont nécessaires. Comme il est présentement impossible, avec les capteurs installés sur le module, de mesurer la vitesse angulaire et la dérivée de la déformation de façon précise. Un observateur d’état sera nécessaire pour l’implantation du correcteur en pratique. Sa conception sera détaillée, avant celle du correcteur, dans la suite du chapitre.

Design de l’observateur d’état
Le design de l’estimateur d’état est semblable à un système standard où il faut contrôler, effectivement, l’erreur entre l’observation des variables et leur valeur réelle de la même façon que la sortie du système. La méthode utilisée sera donc le placement de pôles par retour d’état.

Simulations
Le modèle simulé de l’observateur d’état et du correcteur par retour d’état est illustré à la figure 15. Il est important de rappeler que les deux systèmes sont imbriqués. En effet, l’observateur compare la sortie réelle du système et la sortie de l’observateur pour l’analyser en fonction du modèle mathématique choisi (le modèle simplifié). La partie de l’observateur dépend donc beaucoup du modèle; dans le montage, l’observateur et le modèle sont regroupés dans le bloc « Modèle simplifié ».

Analyse
D’abord, l’observateur remplit de façon satisfaisante son rôle. En effet, l’erreur est nulle en régime permanent pour chacune des variables d’états et le temps de réponse est très rapide. Cet observateur d’état pourra d’ailleurs être utilisé plus tard pour d’autres méthodes nécessitant un signal dépendant de ces variables difficiles à mesurer.

Pour ce qui est du correcteur par placement de pôles, les résultats en simulations sont très bien eux aussi, assurant un temps de réponse de 0,75 sec et une erreur statique nulle. Pour ce qui est de l’expérimentation, les résultats sont tous aussi satisfaisants qu’en simulation; le temps de réponse est un peu plus court, mais une petite erreur en régime permanent est présente (ce qui n’est pas le cas en simulation).

La réponse du système physique ne comporte presque pas d’oscillation en régime permanent. Rappelons que les petites oscillations peuvent être expliquées par les facteurs énumérés dans l’analyse du chapitre précédent.

Cette méthode est un bon point de comparaison pour bien analyser les autres méthodes faisant l’objet de ce projet. Les résultats obtenus ici seront donc utilisés en tant que référence pour les autres méthodes.

PARAMÉTRISATION DE YOULA:

Cette méthode est plus récente que les méthodes appliquées précédemment. Le but est de déterminer l’ensemble des correcteurs apportant la stabilité au système, pour ensuite choisir les paramètres d’une fonction stable qui fait partie du contrôleur. Ainsi, par le choix de cette fonction stable, on influence les performances du système, tout en étant assuré de sa stabilité [13].

Analyse des résultats
D’abord, les résultats de simulation sont satisfaisants. Le temps de réponse est bon, la courbe suit bien la référence, avec un retard d’environ 0.25 secondes. Le fait d’avoir utilisé une référence graduelle a effectivement beaucoup aidé à avoir une réponse rapide, évitant les dépassements et les oscillations résiduelles.

Pour ce qui est de l’expérimentation, la réponse tout aussi satisfaisante, le temps de réponse est conforme aux simulations et l’erreur en régime permanent est nulle. Des oscillations minimes sont aussi présentes dans la section en régime permanent de la réponse, mais ont été expliquées dans les chapitres précédents.

Somme toutes, cette méthode est efficace et prometteuse; le choix de la fonction Q(s) est donc primordial pour le succès de la méthode, et pourrait être approfondi dans le cadre d’une analyse subséquente.

MÉTHODE H-INFINI:

La méthode H-infini est une autre méthode de commande optimale; elle permet d’identifier le correcteur stabilisant le système et offrant les performances adéquates en fonction de matrices de pondérations. Elle consiste à minimiser la norme infinie des sorties du système [15]. Ces sorties sont la sortie actuelle du bras flexible et les deux autres sorties ajoutées, l’erreur de poursuite et le signal de commande. Le schéma de contrôle de ce système est illustré à la figure 25.

Ensuite, les résultats pratiques présentent eux aussi une erreur nulle en régime permanent. Le temps de réponse est court, la réponse suit de très près la consigne. De plus, aucun dépassement n’est présent, mais une petite oscillation résiduelle apparaît en régime permanent; elle a cependant été expliquée dans les analyses des chapitres précédents. Il serait judicieux, dans le cadre de nouvelles analyses, de concevmr ce correcteur en utilisant une fonction W 1 différente de celle proposée dans ce projet. L’augmentation du gain de cette fonction devrait réduire encore plus le temps de réponse, jusqu ‘à un certain point. Finalement, la différence entre les simulations et l’expérimentation est minime; les paramètres non-linéaires mis de côtés lors de la modélisation n’affectent presque pas les résultats. La méthode démontre donc une robustesse envers cette incertitude.

THÉORIE DE LA PASSIVITÉ:

La théorie de la passivité des systèmes sert à déterminer la stabilité des points d’équilibre. Cependant, elle peut aussi être utilisée pour définir un contrôleur qui, en boucle fermée, rend le système complet passif [17] (et cela, même s’il n’est pas passif en boucle ouverte).

CONCLUSION:

Dans le cadre de ce projet, les trois modèles, soit le modèle simplifié, le modèle par modes supposés ainsi que le modèle non-linéaire ont été développés et validés, puis ont servi à développer les correcteurs des différentes méthodes. Une fois ces correcteurs conçus, ils sont d’abord simulés pour en ajuster les paramètres une première fois. Ensuite, ils ont été appliqués sur le module concret avant d’être ajustés une dernière fois. Finalement, la comparaison des différentes méthodes a été faite et des pistes pour perfectionner les différents correcteurs ont été données, à titre de point de départ pour d’éventuelles expériences de raffinement.

Table des matières

Introduction
Chapitre 1 Montage physique
1.1. Composants du module
1.2. Système d’acquisition
1.3. Modules SimuLink
Chapitre 2 Modèle mathématique
2.1. Modèle simplifié
2.1.1. Partie mécanique
2.1.2. Partie électrique
2.1.3. Modèle d’état
2.1.4. Fonction de transfert
2.1.5. Zérosetpôles
2.2. Modèle par modes supposés
2.2. 1. Équations de Lagrange
2.2.2. Modèle d’état
2.2.3. Fonction de transfert
2.2.4. Zéros et pôles
2.3. Modèle non-linéaire
Chapitre 3 Méthode LQG/LTR 
3 .1 . Design du contrôleur
3 .2. Simulations et expérimentation
3.3. Analyse des résultats
Chapitre 4 Placement de pôles 
4.1. Design de l’observateur d’état
4.2. Design du correcteur par retour d’état
4.3. Simulations
4.4. Expérimentation
Chapitre 5 Paramétrisation de Youla
5 .1 . Design du correcteur
5 .2. Simulation
5.3. Expérimentation
Chapitre 6 Méthode H infini 
6.1. Design du correcteur
6.2. Simulation
6.3. Expérimentation
Chapitre 7 Méthode de passivité
7 .1. Design du correcteur
7 .2. Simulations
7.3. Expérimentation
7.4. Analyse des résultats
Chapitre 8 Contrôle non-linéaire 
8.1. Définition des points d’équilibre
8.2. Nature des points d’équilibre
8.3. Étude de la dynamique interne
8.4. Forme normale
8.5. Dynamique des zéros
8.6. Fonction de Lyapunov assignable
8.7. Simulations et analyse des résultats
8.8. Résultats expérimentaux
8.9. Analyse des résultats
Chapitre 9 Comparaison des méthodes 
9.1 Temps de réponse
9.2 Dépassement
9.3 Erreur en régime permanent
9.4 Stabilité en régime permanent
9.5 Résumé
Conclusion

Télécharger le rapport complet