Méthode des lignes de courant appliquée à la modélisation des bassins

Formation et migration des hydrocarbures

Le phénomène physico-chimique qui intéresse le plus le pétrolier dans les bassins sédimentaires est le sort des hydrocarbures. Parfois, les formations géologiques contiennent une quantité considérable de matière organique (les roches mères) qui a été déposée dans des conditions spéciales favorisant la préservation de la matière organique pendant l’enfouissement. Avec l’augmentation de la température, cette matière (le kérogène) devient instable thermiquement et craque en hydrocarbures avec une cinétique qui peut être quantifiée expérimentalement. Si suffisamment d’ hydrocarbures ont été générés, ceux-ci coalescent en donnant une phase de fluide hydrocarbures continue qui est différente de l’eau et commence à bouger sous l’effet de la gravité, sa densité étant inférieure à celle de l’eau (entre 700 et 900 Kg/m3, la densité de l’eau étant 1000Kg/m3). Si le craquage thermique est plus avancé, les hydrocarbures générés sont plus légers, avec une densité encore plus faible (100-200 Kg/m3). Les gisements des fluides pétroliers (huile ou gaz) se trouvent principalement dans des formations géologiques à forte porosité et perméabilité, qui sont différentes des roches mères. Parfois la distance entre les deux est très élevée (des dizaines à centaines de kilomètres) ce qui montre l’efficacité de la migration des hydrocarbures dans les bassins sédimentaires. Les chemins de migration empruntés par les hydrocarbures et la vitesse avec laquelle ils se déplacent au cours du temps géologique dépendent de la géométrie des couches sédimentaires et des propriétés pétrophysiques des sédiments (porosité, perméabilité, capillarité) et des fluides hydrocarbures (densité, viscosité). C’est l’interaction très complexe au cours du temps géologique entre l’ évolution géométrique du bassin sédimentaire (le conteneur), les phénomènes de la génération des hydrocarbures dans les roches mères (les termes source) et les propriétés d’écoulement des phases fluides (les contenus) qui détermine la localisation et la quantité des hydrocarbures dans les gisements. Pour résumer, la formation des hydrocarbures et leur migration sont dues à l’ enchaînement de plusieurs causes, dont les principales sont:
• La présence de roches riches en matière organique (kérogène) dans le bassin.
• Une histoire thermique permettant la « cuisson » du kérogène dans les sédiments riches en kérogène. Une roche sédimentaire riche en kérogène et qui a atteint un stade mature, c.-à-d les bonnes conditions de température et de temps nécessaires à la formation d’ huile et de gaz, est appelée une roche-mère.
• Des pressions, surtout provoquées par la compaction, et une quantité d’huile dans les pores de la roche suffisantes pour permettre l’expulsion de l’huile en dehors de la roche-mère. Cette étape est appelée migration primaire.
• L’existence près de la roche-mère des couches perméables (drains) dans lesqu elles l’huile et le gaz expulsés peuvent se déplacer. Cette étape est appelée migration secondaire.

Futures améliorations

Deux points sur lesquels on doit encore travailler sont particulièrement importants:
• Amélioration du schéma numérique pour la partie gravité et pression capillaire : Comme on l’a signalé, les forces de gravité et pression capillaire sont très importantes dans la migration des hydrocarbures dans le cas des bassins. Par conséquent l’amélioration du traitement numérique de ces forces dans la méthode des lignes de courant peut conduire à augmenter la précision de celle-ci. Cette amélioration pourrait être obtenue en essayant d’autres choix, on pourrait par exemple:
1. Séparer les deux forces, et traiter la partie gravité par une méthode des lignes de courant, i.e. résoudre l’équation de la gravité le long des lignes de courant tracées dans le bassin par rapport à −→g , puis résoudrela partie de la pression capillaire par une méthode volume fini. Sur ce choix, on peut faire deux remarques : (a) en traitant la partie gravité par une méthode de type lignes de courant, on perd la conservativité, en revanche on peut avoir plus de précision. (b) on peut penser aussi résoudre la partie pression capillaire par la méthode des lignes de courant, or une telle réalisation semble très difficile à mettre en oeuvre, car −→∇PC n’est pas assez régulier, ce qui compliquerait le traçage des lignes de courant par rapport à −→∇PC.
2. Garder les deux forces ensemble ’ce que nous avons fait’, mais prendre un autre schéma volume fini. On peut s’inspirer du travail du J.Vovelle et N.Seguin ([39]), où on peut trouver d’autres propositions de schémas numériques pour ce type d’équations.
• Chercher des critères pour trouver les points d’origines des lignes de courant: Le fait de rajouter la compaction nous donne des indications sur les points d’origines des lignes de courant. En plus, ces mailles possèdent aussi la divergence de la vitesse totale la plus grande (parmi elles se trouvent les mailles des termes sources ’les roches mères’). On n’a pas encore trouvé un critère “optimal” pour décider le nombre et le placement exact de ces points. Rappelons que dans le cas réservoir ces lignes sont tracées sur les interfaces des mailles qui contiennent des puits d’injection, leur nombre est alors proportionné au volume injecté.
• Amélioration du Bilan : Comme on l’a dit, la méthode des lignes de courant n’est pas conservative. Ce défaut vient du traitement de la partie du flux total par les lignes de courant, plus précisément, il y a deux causes :
1. Le schéma numérique qu’on a adopté sur une ligne de courant n’est pas conservatif lorsque div(−→VT) , 0.
2. Le passage des informations entre les lignes de courant et les mailles. Il semble impossible de rendre cette méthode conservative, mais la question qu’on peut se poser est: comment pourrait-on la rendre « plus conservative » ? A cette question on n’a pas actuellement de réponse précise, en revanche on peut essayer plusieurs pistes :
A- Tracer plus de lignes de courant : Comme le test l’a montré, le bilan obtenu par la méthode des lignes de courant est très sensible au nombre de lignes de courant tracées dans le bassin. Batycky dans sa thèse ([10]) propose une augmentation du nombre de lignes de courant tracées dans le réservoir. Bien que l’effet de ce choix sur le bilan ne soit pas très clair, cela reste une idée à tester. On peut signaler qu’en contrepartie on aura une augmentation du temps de calcul.
B- Changer la formule de passage : La formule qu’on utilise pour faire la moyenne de la saturation dans une maille (en fonction des lignes de courant qui traversent cette maille) est basée sur le temps de vol mis par chaque ligne de courant pour traverser complètement la maille.
C- Combiner les deux méthodes Volume fini et lignes de courant. La durée de modélisation du bassin est divisée en plusieurs périodes géologiques appelées événements. Notre idée est de faire la simulation sur certains événements par la méthode des lignes de courant, et sur les autres par une méthode volume fini (le code Visco3d). Ceci peut réduire la perte de la conservativité. Bien entendu le but est d’utiliser la méthode des lignes de courant pour traiter les événements qui demandent le plus de calculs. Pour cela il faut définir des critères pour déterminer ces événements, par exemple : La durée de l’événement, le taux de génération des HC (terme source), la compaction.

Application à l’estimation des incertitudes

Une des raisons principales de l’utilisation de la modélisation de bassins est sa capacité à tester et formaliser des scénarios géologiques qui permettent de quantifier certaines hypothèses faites sur des prospects pétroliers tout en rendant compte des données observées. Puisqu’elle traite un sujet à risque, l’exploration pétrolière est une science probabiliste et tout résultat d’une modélisation devrait prendre en compte l’incertitude sur les paramètres du modèle et sur les hypothèses géologiques faites dans le modèle. Ceci est particulièrement crucial dans le cas d’une exploration intensive qui cherche à trouver des réserves additionnelles dans des bassins bien explorés où une grande base de données de puits existe déjà qui permet de contraindre le modèle. En revanche pour l’exploration en zones vierges où les risques et les incertitudes sont beaucoup plus élevés car peu ou pas de données sont disponibles, une modélisation ne sert souvent qu’à tester des idées géologiques. L’exploration intensive présente le moindre risque pour les compagnies où la modélisation de la migration des hydrocarbures donne la plus grande valeur ajoutée. L’approche classique pour quantifier les incertitudes passe par un échantillonnage aléatoire des paramètres d’entrée du modèle, suivi d’une simulation répétitive afin de disposer d’un nombre suffisamment représentatif de sorties du modèle. Ceci demande plusieurs centaines à milliers de réalisations du problème direct. Les méthodes numériques utilisées classiquement dans la modélisation de bassins ne permettent pas d’effectuer un tel calcul car elles sont trop gourmandes en temps de calcul même sur des ordinateurs très performants. Il faut donc une méthode rapide de résolution du problème direct qui permet de faire de nombreuses réalisations sans pour autant perdre trop de précision sur les résultats. Les résultats de la méthode des lignes de courant obtenus dans cette thèse nous rendent optimistes quant à une future utilisation de cette méthode pour un calcul des incertitudes, car nous avons montré qu’elle permet de réduire significativement la durée d’une simulation individuelle, tout en gardant une solution robuste et physiquement acceptable. Les tests effectués ne concernent que le 2D et ce gain sera encore plus important en 3D.

Utilisation des machines multi-processeurs

Parmi les avantages de la méthode des lignes de courant on compte la possibilité d’une parallèlisation du code plus facile que dans les autres méthodes, car chaque ligne peut être calculée indépendamment. Une parallèlisation sera alors directement implantable. Etant donné le développement actuel des ordinateurs qui sont de plus en plus disponibles avec plusieurs p

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Introduction
1.1.1 Formation et évolution géométrique du bassin
1.1.2 Evolution thermique de bassin
1.1.3 Formation et migration des hydrocarbures
1.2 Modélisation des bassins sédimentaires
1.3 Objectif de la thèse
1.3.1 Application de la méthode des lignes de courant au cas bassin
1.3.2 Etude théorique de la méthode des lignes de courant
1.4 Plan du mémoire
2 Méthode des lignes de courant. Application à un problème de conservation
2.1 Introduction
2.1.1 Définitions
2.1.2 Quelques résultats
2.2 La méthode des lignes de courant appliquée à une équation de conservation
2.2.1 Présentation du problème
2.2.2 Résultats théoriques
2.2.3 Le problème 1-D vérifié sur une ligne de courant
2.3 Problème discret
2.3.1 Notation du maillage de Ω
2.3.2 Maillage sur les lignes de courant
2.3.3 Discrétisation en temps, double maillage en temps
2.4 Passage entre les lignes de courant et les mailles
2.4.1 Définitions des espaces El, EL et EM
2.4.2 Définitions des applications de passage entre EM et EL
2.4.3 Projection de C (Ω, R) dans EM et EL
2.5 Algorithme pour la méthode des lignes de courant
2.5.1 Solution approchée du problème (P) sur une ligne de courant
2.5.2 L’algorithme
2.6 Stabilité L∞ et résultat de convergence
2.6.1 Stabilité L∞
2.6.2 Résultat de convergence
2.7 Vitesse non stationnaire
2.7.1 Le problème modifié
2.7.2 L’algorithme
2.7.3 Estimation de l’erreur
2.8 La méthode volume fini
2.8.1 Le schéma numérique volume fini
2.9 Tests numériques
2.9.1 Vitesse stationnaire
2.9.2 Vitesse non stationnaire
2.10 Vitesse avec divergence non nulle
2.10.1 Test numérique, Test 6
2.11 Remarques générales
2.11.1 Le cas où u est BV
2.11.2 Schéma non conservatif
3 Vers la modélisation des bassins
3.1 Introduction
3.1.1 Notations
3.1.2 Modèle mathématique
3.1.3 Vitesse totale
3.1.4 Conditions initiales et conditions aux limites
3.1.5 Résultats théoriques
3.2 Méthodes numériques
3.2.1 Résolution de l’équation de la pression. Schéma à 9 points
3.2.2 Résolution numérique-Méthode IMPES
3.2.3 Résolution numérique-Méthode des lignes de courants
3.3 Résumé et quelques remarques
3.3.1 Le test du pas du temps
3.3.2 Raffinement du maillage sur les lignes de courants
3.3.3 Algorithme
3.4 Tests numériques
3.4.1 Données communes entre les tests
3.4.2 Milieu homogène
3.4.3 Milieu non homogène
3.4.4 Test avec terme source
3.5 Remarques sur les tests numériques
4 Application de la méthode des lignes de courant à un cas plus complet
4.1 Introduction
4.2 Les équations mathématiques du modèle
4.2.1 Lois de conservation dans le bassin
4.2.2 Loi de Darcy
4.2.3 Transferts thermiques
4.2.4 Perméabilités intrinsèques
4.2.5 Perméabilités relatives
4.2.6 Pression capillaire
4.2.7 Viscosités
4.2.8 Compaction
4.2.9 Génération des hydrocarbures
4.2.10 Conditions aux limites
4.2.11 Conditions initiales
4.3 Discrétisation des équations
4.3.1 Notions du maillage
4.3.2 Discrétisation de l’équation de conservation de la phase α
4.3.3 Equation de l’équilibre mécanique
4.3.4 Compaction
4.4 Calcul des saturations, schéma IMPES
4.4.1 Equation de la pression
4.4.2 Calcul des saturations
4.4.3 Gestion du pas de temps
4.5 Méthode des lignes de courants
4.5.1 Résolution numérique de l’équation de la saturation
4.5.2 Equation sur une ligne de courant
4.5.3 Résolution numérique de l’équation (4.31)
4.6 Conservation des bilans des fluides
4.7 Test numérique
4.7.1 Données du test
4.7.2 Nombre de resolutions de l’équation de pression
4.7.3 Bilan
4.7.4 Les figures
4.7.5 Principe retenu pour tracer les lignes de courants
Conclusions
5 Conclusions
Annexes
A Méthodes numériques pour les traçages des lignes de courants
A.1 Introduction
A.2 Maillages Cartésiens
A.3 Maillage triangulaire
A.4 Cas D’un Trapèze
A.4.1 Première méthode
A.4.2 Seconde méthode
A.5 Tests numériques
A.6 Trajectoires particulières
B Démonstration du lemme (2.5.3)
C Unités physiques
Bibliographie