Soutenance mémoire
Méthode des éléments finis appliquée à l’électromagnétisme
Modélisation des phénomènes électromagnétiques
Equations de Maxwell
Régime dynamique
La modélisation des phénomènes électromagnétiques, en milieux conducteurs ou non, est basée sur la résolution des équations de Maxwell. Ces dernières rendent, notamment, compte des liens entre phénomènes électriques et phénomènes magnétiques. L’expression de ces équations en domaine temporel s’écrit comme :
rot H = J + ∂t D, (théorème d’Ampère-Maxwell) (1.1)
rot E = − ∂t B, (loi de Faraday) (1.2)
div B = 0, (loi de conservation du flux magnétique) (1.3)
div D = ρ, (théorème de Gauss) (1.4)
dans lesquelles H représente le champ magnétique (A/m), E le champ électrique (V/m), B l’induction magnétique (T), D l’induction électrique (C/m2), J la densité de courant (A/m2) et enfin ρ la densité volumique de charges (C/m3).
Régime magnétodynamique
Pour des configurations où la taille du domaine géométrique est très petite devant la longueur d’onde du champ électrique et où les champs de déplacement sont négligés, l’équation (1.1) devient alors :
rot H = J (1.5)
Cette nouvelle formulation du théorème d’Ampère-Maxwell admet une équation supplémentaire, relative à la conservation de densité de courant J, exprimée par :
div J = 0 (1.6)
Désormais l’ensemble des équations (1.2)-(1.3)-(1.5)-(1.6) régit un problème dit magnétodynamique des équations de Maxwell (appelé aussi problème quasi statique).
Régime harmonique
Dans le cas de problèmes où le courant d’excitation est sinusoïdal de pulsation ω≠0, la dérivée en temps est équivalente, dans le domaine complexe, au produit par iω ce qui donne E(x, t) = |E(x)| exp(iωt) et H(x, t) = |H(x)| exp(iωt). L’équation (1.2) devient alors dans le domaine complexe :
rot E = −iωB (1.7)
De ce fait, l’ensemble des équations de Maxwell en régime harmonique est défini par les équations (1.3)-(1.5)-(1.6)-(1.7). Si ω = 0, le problème global est ramené à un problème magnétostatique dépendant uniquement de (1.5) et (1.3).
Lois de comportement
Soit la décomposition du courant de conduction J suivante :
J = J0 + Ji (1.8)
avec J0 la densité de courant source dans un inducteur (une bobine par exemple) et Ji la densité de courant induite dans le milieu conducteur. Afin de tenir compte, des caractéristiques des matériaux rencontrés lors des modélisations magnétodynamiques. Il convient de définir des relations constitutives, dites lois de comportement définies, pour un matériau linéaire et isotrope, par :
B = µH, (1.9)
Ji = σE, (1.10)
où µ est la perméabilité magnétique (Hm−1) et σ la conductivité électrique (Ω−1m−1). De manière plus précise on a :
µ = µ0µr
où µ0 désigne la perméabilité du vide, alors que µr est la perméabilité relative du milieu considéré. Dans le cas d’un matériau isolant, on a σ = 0. La résolution d’un problème en régime quasi-statique fait uniquement appel aux relations (1.9) et (1.10).
Conditions de transmission
Soient deux milieux distincts (Ωi)i=1,2 admettant deux systèmes propres d’équations de Maxwell régis par les champs (Hi, Bi, Ei, Di)i=1,2. On note Γ la surface continue qui sépare ces deux milieux. Il y a donc nécessité de savoir comment réagissent les champs lors du passage d’un milieu à un autre. Pour ce faire, les conditions de transmission des champs à l’interface Γ sont données par les équations suivantes :
n × (H1 − H2) = Js, (1.11)
n · (B1 − B2) = 0, (1.12)
n × (E1 − E2) = 0, (1.13)
n · (J1 − J2) = 0 (1.14)
où Js est la densité surfacique de courant. Ces relations traduisent la continuité des composantes tangentielles de E et normales de B et J à l’interface Γ. La composante tangentielle de H n’est continue que si la surface de séparation ne possède pas de densité surfacique de courant.
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Table des matières
Introduction
1 Méthode des éléments finis appliquée à l’électromagnétisme
1.1 Modélisation des phénomènes électromagnétiques
1.1.1 Equations de Maxwell
1.1.2 Lois de comportement
1.1.3 Conditions de transmission
1.1.4 Conditions aux limites
1.1.5 Formulations
1.1.6 Espaces fonctionnels et opérateurs différentiels
1.1.7 Complexes de Whitney
1.2 Approximation numérique en espace – méthode des éléments finis
1.2.1 Formulations
1.2.2 Mise en œuvre
1.2.3 Validations
1.3 Conclusion
2 Méthodes de décomposition de domaine
2.1 Overlapping
2.2 Interpolation
2.3 Multiplicateurs de Lagrange
2.4 Méthode des éléments finis avec joints
2.5 Arlequin
2.6 Schwarz
2.7 Comparaison des méthodes
2.8 Conclusion
3 Méthodes des éléments avec joints avec recouvrement
3.1 Avant propos
3.2 Cadre de l’étude
3.3 Décomposition de domaine
3.4 Décomposition de domaine – Formulations
3.4.1 Formulations fortes
3.4.2 Formulations variationnelles
3.4.3 Problèmes discrets
3.5 Décomposition de domaine – MEM
3.5.1 Projections L2
3.5.2 Estimation d’erreur
3.6 Conclusion
4 Mise en oeuvre et validations numériques
4.1 Construction des matrices de couplage
4.1.1 Cas scalaire
4.1.2 Cas vectoriel
4.2 Système matriciel global
4.3 Validations numériques
4.3.1 Cas scalaire
4.3.2 Cas vectoriel
4.4 Conclusion
5 Applications
5.1 Le CND par CF
5.1.1 Objectifs du CND
5.1.2 CND par CF
5.2 Modélisation du CND par CF
5.2.1 Intérêt de la modélisation
5.2.2 Cadre de la modélisation
5.2.3 Problématiques relatives à la modélisation
5.3 Application de la MEM avec recouvrement
5.4 Résultats
5.4.1 En absence de défaut
5.4.2 En présence de défaut
5.4.3 En présence d’une géométrie complexe
5.5 Conclusion
Conclusions
