Méthode de transformation différentielle

Diagramme de Campbell :

Les graphes qui suivent donnent la variation du paramètre de fréquence en fonction de la variation de la vitesse de rotation, appelés diagramme de Campbell. Différentes conditions aux limites sont considérées pour deux types de sections : circulaire et rectangulaire. Les figures (4.1), (4.2) et (4.3) montrent respectivement la variation du paramètre de fréquence ω* en fonction du paramètre de vitesse de rotation Ω* (diagramme de Campbell) dans le cas des poutres avec les conditions aux limites E-L, et A-A en prenant en compote deux sections différentes : une circulaire et l’autre rectangulaire. Ces figures montrent l’influence de la vitesse de rotation sur les fréquences propres d’un arbre tournant. Dans le cas où nous avons I୷୷ = I୸୸, on remarque que pour chaque vitesse de rotation, il existe deux fréquences , il y a des valeurs croissantes en fonction de la vitesse de rotation appelées modes en précession directe ; et d’autres décroissantes appelées modes rétrogrades.

Ce phénomène est provoqué par l’effet gyroscopique. En effet, on remarque aussi qu’il existe une variation proportionnelle entre la vitesse de rotation et la fréquence propre provoquée par la rigidification centrifuge. On constate aussi qu’il existe une vitesse critique une à Ω∗ = 3.5 dans le cas E-L et une autre à Ω∗ = 10.1 dans le cas A-A. Dans le cas où nous avons I୷୷ = 100I୸୸, on remarque que le comportement est completement différent du premier cas. La premiere, la deuxieme et la quatrieme fréquence diminue avec la vitesse de rotation, par contre la troisième fréquence augmente avec cette dernière. Et ceci est du au faite que les rigidités de la poutre suivant les deux axes sont différentes (I୷୷ est largement superieure à I୸୸). On constate qu’il existe deux vitesses critiques une à Ω∗ = 1.1 et l’autre à Ω∗ = 7.1.

Conclusion

Le travail réalisé est une étude sur la prédiction des fréquences propres d’un arbre tournant soumis à un gradient thermique. Une étude théorique a permis la détermination des équations de mouvement de l’arbre. La méthode de transformation différentielle a été utilisée pour déterminer les fréquences propres du système en faisant varier la vitesse de rotation, les conditions aux limites, ainsi que le gradient thermique. Cette étude nous à permis d’aboutir aux conclusions suivantes :

– Pour différentes conditions aux limites, dans le cas stationnaire et en rotation, la convergence de la solution est assurée en faisant augmenter N le nombre de terme de la série. Les résultats sont en concordance avec les solutions exactes dans le cas stationnaire et en rotation.

– L’effet gyroscopique provoque un couplage des déplacements orthogonaux ce qui a pour conséquence de séparer les fréquences propres en deux branches : mode en précession directe et mode rétrograde.

– La variation de la vitesse de rotation provoque une rigidification de l’arbre dans le cas des modes en précession directe qui se traduit par une croissance de la fréquence avec la vitesse de rotation.

– Les arbres tournants traversent plusieurs vitesses critiques en mode rétrograde.

– L’effet de température a un effet rigidifiant, la fréquence propre du système augmente avec le gradient thermique.

Les perspectives d’études qui peuvent être menée à la suite de ce travail sont: intégration d’un matériau composite, prise en compte des supports élastiques et leurs mouvements dans le cas d’un rotor embarqué comme le cas des réacteurs d’avion, analyse des vibrations forcées, etc.…

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Table des matières

Résumé
Sommaire
Liste des figures
Liste des tableaux
Principales notations
Introduction générale
Chapitre I : Equations de mouvement d’un arbre tournant soumis à l’effet d’un gradient thermique
I-1Introduction
I-2 L’énergie de déformation de la poutre
I-3 Energie de déformation due a gradient thermique
I-4 Energie cinétique de la poutre
I- 5Equations de mouvement
CAHPITRE II : Méthode de transformation différentielle
II-1 Introduction
II-2Méthode de transformation différentielle
II-2.1 Définition
II-3 Propriétés d’opérations de la transformation différentielle
II-4 Application de la DTM dans le cas d’un arbre tournant
II-5 Conditions aux limites
CHAPITRE III : Organisation et programmation
III-1 Introduction
III-2 Organigramme
III-3Programme principale
III-4 Description du programme
IV-7 CHAPITRE IV : Validations, comparaisons et analyse de cas
IV-1Inroduction
IV-2 Validation et comparaison des résultats dans le cas stationnaire
IV-2.1 Arbre sans l’effet du gradient de température à section circulaire
IV-2.2Arbre sans l’effet du gradient de température à section rectangulaire
(ܫ௬௬ = 100ܫ௭௭)
IV 2 Diagramme de Campbell
IV-3 Arbre avec l’effet du gradient de température
Conclusion générale
Références bibliographie