Méthode de sous-structuration/multiéchelle en dynamique

La modélisation/simulation est plus que jamais au centre des activités de l’ingénieur, tout particulièrement en calcul de structures. Des progrès considérables ont été effectués ce dernier quart de siècle grâce à la recherche ; les prototypes virtuels exploités lors de la conception sont de plus en plus complexes et surtout représentent de mieux en mieux la réalité. De part l’augmentation toujours croissante de la puissance des ordinateurs, les calculs incluent aujourd’hui plus de détails sur les structures, tant du point de vue de la description de la géométrie que sur la complexité du matériau (métallique, béton, composite…). Le seul réel point noir, encore relativement peu étudié, est celui des conditions aux limites, et plus généralement des liaisons entre les pièces et l’environnement extérieur. Pourtant, ces liaisons jouent un rôle majeur dans le dimensionnement, car elles sont le lieu de phénomènes locaux fortement non linéaires : contact, frottement, plasticité… De plus, contrairement aux informations géométriques et matérielles associées aux structures, les grandeurs physiques associées à ces liaisons (valeurs de coefficient de frottement, précision sur le serrage) sont entachées d’une grande méconnaissance. On peut légitimement se demander quelle influence a la variation d’un paramètre physique de la liaison sur la réponse d’un assemblage.

Aujourd’hui, un objectif industriel majeur est de faire un pas supplémentaire dans ces simulations complexes en prenant en compte la variabilité, en particulier aux liaisons entre les pièces (contact, frottement…) ou avec l’extérieur (charges par exemple). Que ce soit pour réaliser une étude de sensibilité, mettre en oeuvre une méthode d’optimisation, effectuer le recalage d’un modèle, mener une étude de fiabilité, obtenir des grandeurs statistiques à partir de technique de type Monte Carlo ou encore identifier des paramètres à partir de surfaces de réponses lorsque ceux-ci varient, l’étude d’une structure passe nécessairement par la réalisation de plusieurs calculs, leur nombre pouvant être très important. Si ces études sont envisageables en statique, même si elles ne sont pas sans poser certaines difficultés, la réalisation de ces même études paramétriques en dynamique avec des codes industriels est à ce jour impossible en des temps de calcul raisonnables. En effet, la simulation d’un assemblage en dynamique pour un seul jeu de paramètres conduit déjà bien souvent à des temps de calculs importants voir très importants suivant le nombre d’interfaces de contact et la taille du problème considéré. Une étude paramétrique portant sur les propriétés des liaisons entre les pièces d’un assemblage complexe en dynamique n’est alors pas envisageable et constitue à ce jour un réel verrou scientifique.

Méthode de décomposition de domaine

Les méthodes de décomposition de domaine ont été initialement introduites pour la résolution d’équations aux dérivées partielles par H.A. Schwarz [Schwarz 1869]. Elles se sont ensuite avérées très adaptées au calcul parallèle haute performance, notamment en mécanique des fluides, puis en calcul de structure. Elles ont été appliquées à la résolution d’équations aux dérivées partielles elliptiques, paraboliques ou hyperboliques discrétisées par éléments finis, différence finie et méthodes spectrales. Ces techniques ont en commun la manière de traiter les problèmes de taille importante. En calcul de structure, il s’agit de diviser la structure à étudier et donc des équations associées. Ces méthodes se sont avérées très intéressantes pour traiter les problèmes de contact [Alart et al. 2000, Barboteu et al. 2001] ainsi que les problèmes de dynamique [Barboteu 2005]. Les différentes méthodes se caractérisent par le choix des inconnues aux interfaces et la nature de l’interface. On peut citer quatre familles principales de méthodes de décomposition de domaines :

• avec recouvrement éventuel des sous-domaines
– méthodes de Schwarz [Schwarz 1869], [Lions 1990]
• sans recouvrement des sous-domaines
– méthodes de Schur primale [Przemieniecki 1963], [Mandel 1993]
– méthodes de Schur duale [Farhat et Roux 1994], [Roux 1990]
– méthode mixtes [Le Tallec 1994], [Glowinski et Le Tallec 1990], [Ladevèze 1985a] .

L’utilisation d’une méthode de décomposition de domaine en dynamique transitoire ne pose pas de difficulté majeure supplémentaire par rapport à la version en statique. En effet, l’utilisation d’un schéma d’intégration temporel permet de se ramener à la résolution de problèmes à chaque piquet de temps du même type que ceux rencontrés en statique. Que ce soit pour un problème de statique ou de dynamique, on se ramène toujours à la résolution d’un problème linéaire du type :

A x = b

La méthode de Schwarz
Dans cette approche, il y a recouvrement partiel des sous-domaines. Autrement dit, la dimension physique des interfaces est la même que celle des sous-domaines. De nombreux résultats mathématiques portent sur cette méthode [Lions 1990] et on trouve des applications en mécanique des structures notamment dans [Roux 1990, L.Badea 1991]. Cependant, les méthodes avec recouvrement restent à ce jour marginales. Elles sont beaucoup moins utilisées que les méthodes de Schur où la taille du problème d’interface est de dimension physique égale à 2 pour un problème 3D.

➤ La méthode BDD : L’inversion des matrice KE et KE′ étant prohibitive, la résolution du problème nécessite un traitement spécifique des termes KbEKE −1KEb et KbE′ T KE′ −1KE′b. Ainsi, même si la résolution directe du problème offre une grande robustesse et est aisément parallélisable, des méthodes de résolution itératives du type gradient conjugué sont employées pour éviter ces inversions coûteuses de matrice. La convergence des algorithmes de gradients conjugué est directement liée au conditionnement du problème à résoudre. Elle peut être fortement améliorée par l’utilisation d’un préconditionneur qui permet de diminuer le conditionnement du système. Il existe de multiples préconditionneurs efficaces dédiés à la méthode deSchur primale. On peut citer les travaux de [De Roek et Le Tallec 1990] ou encore les préconditionneurs de type « Neumann » [Le Tallec 1994]. L’approche « Balanced Domain Decomposition » (BDD [Mandel 1993]) propose une amélioration de la méthode. Cette méthode utilise d’une part un préconditionneur qui peut s’apparenter à celui de Neumann. D’autre part un problème global/grossier sur toute la structure est introduit dans la stratégie, ce problème permet de rendre la méthode extensible.

➤ Remarques : Il faut noter que cette méthode repose sur le fait que les noeuds d’interface sont communs aux sous-domaines en vis-à-vis ; ainsi, on se place d’emblée dans un formalisme qui impose des liaisons parfaites et des maillages compatibles. La généralisation à des maillages incompatibles ou à des interfaces de contact nécessite de découpler les noeuds d’interface et d’introduire explicitement dans la formulation les équations des interfaces. Dans le cadre d’une formulation de Schur primale, deux sous-domaines connectés par un coin ou une arête en 3D sont considérés comme voisins. Ainsi, si on utilise cet algorithme pour un calcul parallèle, le nombre de communications entre sous-domaines peut être important [Roux 1990].

➤ La méthode FETI pour Finite Element Tearing and Interconnecting [Farhat et Roux 1991 – 1994] est une méthode de décomposition de domaine basée sur la méthode du complément de Schur duale. Le problème condensé y est résolu par une méthode itérative du type gradient conjugué projeté. En présence de sous-domaine flottant, les matrices de rigidité associées ne sont pas inversibles. Une étape de projection permet alors d’obtenir les mouvements de solide rigide des sous domaines flottants ainsi qu’un résidu du gradient conjugué dont les mouvements de corps rigides ont été supprimés. La méthode FETI peut être alors vue comme une méthode à deux échelles. L’opérateur de changement d’échelle est RE, opérateur contenant les mouvements de solide rigides des sous-domaines flottants. Cette approche à deux échelles qui pouvait être considérée comme un surcoût de calcul au départ est, en fait, à l’origine des excellentes performances de la méthode FETI en statique. De plus cette méthode utilise un préconditionneur pour améliorer la performance du gradient conjugué : préconditionneur de type Dirichlet (ou préconditionneur primal). Dans [Dostal et al. 2000, Dureisseix et Farhat 2001], on trouve des exemples d’applications de cette méthode aux problèmes de contact avec frottement.

Dans le cas de la dynamique, la formulation de Schur duale présente une différence fondamentale avec la formulation de schur primale : les champs discrétisés de déplacement, de vitesse et d’accélération sont généralement dépendants les uns des autres du fait de la discrétisation en temps. Ainsi pour une formulation discrétisée de Schur duale, on peut imposer arbitrairement aux interfaces la continuité de l’une de ces trois quantités. Dans [Farhat et al. 1993 – 1994 – 1995], on trouve une première étude de ce problème ainsi que l’extension de la méthode FETI à la dynamique. En dynamique le concept de sous-domaine flottant n’existe plus, la résolution de l’équilibre d’un sous-domaine est donc toujours possible, et l’aspect à deux échelles de la méthode FETI n’est plus indispensable. Des préconditionneurs spécifiques à la dynamique ont été développés afin de retrouver les performances de la méthode.

➤ Remarques : Utiliser une méthode duale impose de prendre en compte le cas particulier des points communs à plusieurs sous-domaines, ou cross-points. L’écriture systématique des relations de couplage en ces points génère des redondances et conduit à un opérateur d’interface singulier. Un solveur capable de lever cette singularité est donc indispensable.

Approches mixtes

L’idée de ces méthodes est de ne plus privilégier une quantité (cinématique ou statique) par rapport à une autre mais de les traiter à égalité par l’intermédiaire d’une dualité adaptée au problème à résoudre. Ces méthodes de décomposition de domaine mixte [Le Tallec 1994, Glowinski et Le Tallec 1990] s’appuient sur la méthode du Lagrangien augmenté [Fortin et Glowinski 1982]. Ici les inconnues sont une combinaison linéaire des inconnues cinématiques ub et statiques λb des bords des sous-domaines :

µb = λb + k ub

avec k un opérateur symétrique défini positif appelé parfois raideur d’interface. Les conditions d’interface entre les sous-domaines ne sont pas a priori vérifiées. Le point de départ de ces méthodes consiste en une ré-écriture de ces conditions d’interfaces.

Stratégies de calcul multiéchelle

La méthode Arlequin

La méthode Arlequin, introduite par H. Ben Dhia [Ben Dhia 1998, Ben Dhia et Rateau 2001], s’adresse à des problèmes de la mécanique dont le domaine d’étude peut être partagé suivant plusieurs zones distinctes. L’objectif de cette approche est de proposer une stratégie permettant de réaliser des niveaux d’analyses différents dans ces différentes zones. Cette approche permet ainsi de faire dialoguer des modèles différents tant au niveau de la discrétisation que de la nature des équations qui les régissent. Le raccord entre ces problèmes s’écrit de manière faible dans le volume des zones de jonction et non pas sur des interfaces comme cela se fait classiquement. Dans ces zones de raccord, chacun des travaux virtuels associés aux différents modèles est pondéré par des fonctions, dites fonctions de pondération ou de mélange de telle sorte que l’énergie totale du système global est conservée.

Table des matières

Introduction
1 Méthode de sous-structuration/multiéchelle en dynamique
1 Problème de référence
2 Méthode de décomposition de domaine
2.1 La méthode de Schwarz
2.2 La méthode de Schur primale
2.3 La méthode de Schur duale
2.4 Approches mixtes
3 Stratégies de calcul multiéchelle
3.1 La méthode Arlequin
3.2 Méthodes multi-pas de temps
2 La méthode LaTIn multiéchelle dédiée à la dynamique
1 Problème de référence sous-structuré
1.1 Partitionnement en sous-structures et interfaces
1.2 Problème sous-structuré
2 Description multiéchelle introduite au niveau des interfaces
2.1 Définition des quantités macroscopiques
2.2 Choix des quantités macroscopiques
2.3 Admissibilité des quantités macroscopiques
3 Algorithme de résolution : la méthode LaTIn
3.1 Séparations des difficultés
3.2 Algorithme itératif à deux étapes
3.3 Ecriture des problèmes à résoudre
3 Mise en oeuvre numérique et informatique
1 Discrétisation
1.1 En espace
1.2 En temps
2 Traitement du schéma itératif
2.1 Etape locale
2.2 Etape linéaire
2.3 Algorithme de la stratégie
3 Une stratégie de calcul parallèle
3.1 Un code de calcul éléments finis
3.2 Parallélisation de la stratégie
4 Comportement de la stratégie
4.1 Comparaison entre les méthodes mono/multiéchelle
4.2 Extensibilité de la stratégie
4.3 Performance, Speed-up
4.4 Traitement du contact
4 Une stratégie de calcul dédiée aux études paramétriques
1 Etat de l’art : stratégie de calcul multirésolution
1.1 Préambule
1.2 Méthode de perturbation
1.3 Méthode de Neumann
1.4 Méthode spectrale
2 Stratégie multirésolution basée sur la méthode LaTIn
2.1 Principe
2.2 Application à la dynamique transitoire
2.3 Comportement de la stratégie
5 Exemples de simulation et d’application
1 Exemple d’étude paramétrique sur un cas académique
2 Exemple d’assemblage – liaison « SSS »
2.1 Etude paramétrique
2.2 Calcul haute performance
3 Matériau fortement hétérogène
3.1 Etude paramétrique
3.2 Calcul haute performance
Conclusion

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