Mécanismes de dissipation dans les micro-résonateurs 

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Vitesse de rotation

Le gyroscope est un appareil qui mesure l’écart d’angle par apport à une direction de référence dans un référentiel inertiel tandis que le gyromètre mesure la vitesse angulaire qu’il subit. En fonction des applications, l’information délivrée par le capteur peut treê dérivée ou intégrée par rapport au temps afin d’obtenir une information supplémentaire ; par exemple le contrôle d’attitude d’un mobile (orientation dans un repère) nécessite généralement de connaître à la fois son angle d’attitude et sa vitesse de rotation.
Les premiers systèmes de navigation inertielle se nomment plates-formes inertielles [9] (figure 1.2) : ils utilisent des gyroscopes mécaniques afin de conserver l’orientation du trièdre d’accélération. Leur attitude est ainsi fixe dans le temps et le positionnement se f ait simplement par double intégration des accélérations. Pour conserver une attitude fixe dans le temps, deux solutions sont possibles. La première se base sur l’effet gyroscopique d’une masse en mouvement. Celle-ci va permettre le maintien d’une direction fixe. Une autre solution est de compenser, par une r otation inverse effectuée par un moteur, les mouvements de rotations détectés par des gyroscopes. Ces systèmes mécaniques sont malheureusement complexes, coûteux et encombrants.

Conditions initiales et propagation d’erreur

Prenons le cas de la plate-forme inertielle, c’est à dire que l’on considère le cas simple du trièdre accélérométrique dont la rotation instantanée absolue estnulle. Une première intégration de ce trièdre, portant sur l’accélération absolueγ a fournit une estimation de la vitesse absolue : t Va(t) = Va (t0 ) + γ a (t)dt (1.2).
Une seconde intégration dans ce même trièdre, portant cettefois sur Va, fournit la position absolue estimée : t Ma(t) = Ma(t0 ) +Va(t)dt (1.3).
Ces équations mettent en évidence l’importance des conditions initiales (Va(t0 ), Ma(t0 )) qui doivent obligatoirement être connues avec précision afin de pouvoirdéterminer correctement la trajectoire du véhicule. La navigation inertielle calcule donc la position du mobile relativement à son point initial. Ces équations mettent également en évidence le rôle joué par deux intégrations successives et la propagation d’erreur sur la mesure d’accélération. Prenons par exemplele cas simple d’un avion de ligne qui possède un mouvement rectiligne uniforme de vitesse V0=1000 km/h et de position initiale M0=0. L’accéléra-tion absolue mesurée suivant la direction considérée seraoncd nulle à une erreur constante δγa près. Cette imprécision sur la mesure est également appelée erreude biais pour un capteur accélérométrique puisqu’il s’agit de la sortie du capteur en absence d’accélération.
Cette erreur de biais va entraîner via la première intégration, une erreur à l’instant T sur la vitesse absolue de l’avion, telle que : T Vt = V0 +δγadt = V0 + δγaT (1.4).
De même, la seconde intégration va propager cette erreur de iaisb sur le calcul de sa position abso-lue : T δγaT 2 Mt = M0 +(V0 + δγaT )dt = V0 T + (1.5).
Ainsi l’erreur de biais va se propager de manière quadratique avec le temps pour conduire à une erreur de position. Une erreur de biais accélérométrique del’ordre de 1 × 10−3 m.s−2 induira donc une erreur de position de l’avion de ligne de 1, 8 m au bout d’une minute, 180 m au bout de 10 minutes et 6, 5 km en une heure de trajet.
Ces deux résultats concernant l’importance des conditionsintiales et de la propagation des erreurs de mesure soulignent les principaux inconvénients de la navigation inertielle : la position d’un véhicule est calculée relativement à ses conditions initiales via une double intégration de l’accélération et de son erreur qui bien que très faible mène à une forte dérive. Ainsicette technique ne sera performante que sur de courtes missions (typiquement quelques dizaines de minutes). Au delà, il est usuel de faire appel à des systèmes dits hybrides composés d’un système inertiel ted’un système de radio-navigation (GPS), autrement dit combiner la précision court terme avec celle à plus long terme.

Conservation du moment cinétique : gyroscope à toupie

Le gyroscope à toupie fut inventé en 1852 par Léon Foucault etrepose sur le principe de la conser-vation du moment cinétique d’un corps en mouvement autour d’un axe. Ainsi, si ce corps est libre, la direction de son axe de rotation restera invariante dans le repère stellaire. Un gyroscope à toupie se com-pose d’une toupie pouvant tourner autour d’un axe monté dansune structure à double cardan (figure 1.5 à gauche). Lorsque la toupie est mise en rotation, sa directi on semble évoluer pour décrire un cône. En réalité son axe de rotation reste fixe dans le repère stellair et c’est la terre qui imprime son mouvement de rotation au support de la toupie (figure 1.5 à droite). L’expérience de Léon Foucault ne durait pas plus que quelques minutes car les frottements du dispositif finissaient par stopper la toupie qui perdait alors sa capacité à rester pointée dans la même direction.
Cette invention fut à l’origine de toute une série d’applications pour la navigation inertielle : com-pas gyroscopique, stabilisateur de plate-formes inertielles, etc. Ces appareils possèdent une très grande précision pouvant atteindre10−3 à 10−4 ◦/h. Cela implique qu’à la différence du gyroscope de Fou-cault, les forces de frottements sont extrêmement faibles.Cependant leur réalisation et leur maintenance restent complexes et coûteuses.

Effet Sagnac : gyromètre optique

Le principe des gyromètres optiques est basé sur l’effet Sagnac découvert en 1913 (figure 1.6 à gauche) : deux faisceaux optiques (1) et (2) issus de la même ources sont introduits via une lamelle sé-paratrice dans l’interféromètre et suivent le même chemin aism en sens inverse. A la sortie, les faisceaux (1) et (2) produisent des motifs d’interférences qui se décalent en présence d’une rotationΩ autour d’un axe perpendiculaire au chemin optique.
La longueur effective du chemin d’un des faisceaux augmente tandis que l’autre diminue. La diffé-rence de chemin optique entre les deux ondes lumineuses s’écrit [10] : ΔL = cΔt = 4AΩ (1.26)
Où A représente l’aire interne au chemin optique etc la vitesse de la lumière. Cette relation montre que la forme du chemin optique n’a pas d’influence sur le décalage temporel et d’après cette équation, il apparaît qu’un interféromètre optique classique n’est pas un appareil très sensible pour cette appli-cation : pour une aire A=1 m2 et une vitesse de rotation Ω=10 ◦/h, la différence de chemin optique correspondante entre les deux faisceaux est ΔL≈7.10−13 m. Il a fallu attendre le développement des lasers et des fibres optiques pour rendre ces appareils très p erformants avec l’apparition des gyromètres laser et à fibre optique.
– Le gyromètre laser (RLG pour « Ring Laser Gyro ») est un oscillateur double mettant en oeuvre un laser à gaz. Sa cavité résonnante, triangulaire ou carrée, tedont les sommets sont matérialisés par des miroirs, contient un plasma hélium-néon 11[]. Trois électrodes (deux anodes et une cathode) excitent ce milieu et provoquent l’émission de deux ondes dont la longueur d’onde est un sous-multiple du chemin optique et qui parcourent la cavité selonle même trajet, mais en sens contraire. La mesure est effectuée à l’aide un prisme qui restitue une onde correspondant à la différence de fréquence des deux ondes dans la cavité. Lorsque la cavité sonnanteré est soumise à une vitesse de rotation Ω, l’effet Sagnac crée une différence de chemin optique entreles 2 ondes, et donc une différence de fréquence proportionnelle à la vitesse de rotation appliquée. Les recherches sur les gyromètres laser ont débuté dans les années1960 − 1970 et les différents développements indus-triels (Honeywell [12], Kearfoot [13], Sagem [14], Thales [5]) ont permis d’exploiter les pleines possibilités de cette technique : les stabilités à long term atteintes actuellement sont de l’ordre de 10−3 ◦/h. Un exemple de trièdre gyrométrique laser est montré sur la gurefi 1.6 à droite.
– Le gyromètre à fibre optique (FOG pour « Fiber Optic Gyro ») re pose sur les développements technologiques réalisés en fibre optique qui ont permis d’augmenter considérablement la longueur du chemin optique tout en réduisant l’encombrement du dispositif grâce à un enroulement de la fibre optique. Ainsi des chemins optiques de plusieurs kil omètres sur 10 000 tours peuvent être réalisés. De plus, les miroirs sont supprimés, ce quicroîtac la robustesse du dispositif. Les performances des gyromètres à fibre optique industriels (Ho neywell [15], Northrop Grumman [16], IXSEA [17]) peuvent atteindre aujourd’hui 10−3 ◦/h.

Effet Coriolis : gyromètre vibrant

En mécanique newtonienne, la force de Coriolis est qualifiée de force inertielle, en vertu du fait qu’elle n’existe que parce que l’observateur se trouve dans un référentiel en rotation alors qu’aucune force ne s’exerce pour un observateur au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Ce principe est schématisé sur la figure1.7 à gauche. Soit une balle qui est lancée à l’instant T0 en direction du centre du plateau immobile. Son mouvement est perçu de la même façon par les observateurs (1) (au dessus du plateau) et (2) (sur le plateau) : c’est à dire comme une tra jectoire rectiligne. Maintenant le plateau tourne à la vitesse Ω et l’expérience est renouvelée. Les résultats sont cette fois différents. Ainsi pour l’observateur (1), il n’y a pas de modification dans la trajec toire de la balle qui reste rectiligne. Par contre pour l’observateur (2), la balle semble déviée de sa trajectoire initiale vers la droite par une force. En effet la balle a toujours parcouru la même trajectoire (1) mais l’observateur aura tourné autour de cette trajectoire, ce qu’il voit correspond alors à la trajectoir e (2).
Dans son référentiel, la balle est soumise à une force qui la dévie de sa trajectoire : c’est la force de Coriolis introduite la première fois par Gustave-Gaspard Coriolis en 1835. La terre étant un référentiel tournant, tous les corps se déplaçant à sa surface sont de not re point de vue déviés par cette force. L’établissement de cette force découle de la loi de composiont des vitesses et s’exprime [18] : Fc = −2mΩ ∧v (1.27).
Où m etv sont respectivement la masse et la vitesse du mobile en mouvement dans le référentiel tournant à la vitesse Ω par rapport à un référentiel inertiel. D’après cette expression, la force de Coriolis est proportionnelle à la vitesse de rotation. Si un capteur p eut mesurer cette déviation, alors il pourra déterminer la vitesse de rotation appliquée : c’est un gyromètre. Soit une masse m pouvant osciller selon deux axes de vibration orthogonaux Ox et Oy (figure 1.7 à droite). Lorsque cette masse oscille suivant l’axe Ox (mode pilote) alors toute rotation du repère(Ox, Oy) autour de l’axe Oz entraîne une vibration de la masse m suivant l’axe Oy (mode détecteur) par le biais de la force de Coriolis. L’amplitude de cette vibration induite est proportionnelle à la vitesse de rotat ion.

Le micro-gyromètre VIG (Vibrating Integrated Gyro)

La structure vibrante du VIG [29] en cours de développement à l’ONERA met en oeuvre un diapa-son en quartz représenté sur la figure1.9. Le mode pilote (mode de flexion) du diapason est maintenu à la résonance par effet piézoélectrique au moyen d’électrodes et d’un circuit électronique oscillateur ; lorsque le diapason tourne avec une vitesse de rotation Ω autour de son axe longitudinal, la force de Coriolis entraîne une vibration forcée (mode détecteur) à al fréquence du mode pilote, et l’amplitude Y de cette vibration est proportionnelle à Ω, définissant un facteur d’échelle égal à :X/Δω où X est l’amplitude du mode pilote et Δω l’écart de fréquence propre entre les modes pilote et détecteur. L’am-plitude du mode détecteur est détectée par effet piézoélectrique.
La structure du VIG bénéficie d’un matériau, le quartz, possédant un coefficient de qualité intrin-sèque élevé et dont le caractère piézoélectrique autoriseneuexcitation/détection aisée des vibrations utiles. Dans le but d’obtenir un excellent découplage des vibrations du mode détecteur, un dispositif de découplage original présenté sur la figure1.9 a été breveté par l’ONERA en 199930[]. L’élément vibrant est le diapason situé au centre de la structure ; le pied de ce diapason est solidaire d’une première partie massive reliée à une seconde au moyen de deux bras souples. Cette seconde partie massive est elle-même reliée au support au moyen de deux autres bras souples. Chaque ensemble (partie massive + bras souples) constitue un dispositif de type suspension fi ltrante, qui contribue à réduire les fuites de l’énergie vibratoire du diapason vers les zones de fixation. Ce dispositif permet de réduire théoriquement les fuites d’énergie à 10−6 fois l’énergie vibratoire du mode détecteur. Dans ces condit ons, la qualité de la vibration n’est pratiquement pas altérée par la fixation de la structure sur son support. Concernant le mode pilote, les suspensions filtrantes complètent le découplage inhérent au diapason et permettent ainsi de limiter les pertes d’énergie à seulement 10−8 fois l’énergie contenue dans le résonateur. La résolution de mesure du VIG est actuellement de l’ordre de 0, 05 ◦/s dans la bande passante de 100 H z.

Accéléromètres

Principe de la mesure d’accélération

Les accéléromètres classiques peuvent être généralementtre êassimilés à un système masse-ressort de masse m et de raideur K. Une accélération absolueγa en référence à la relation1.1 entraîne un déplacement x de la masse d’épreuve créant une force de rappel F=ϕ = −K x.i exercée par le ressort. Ainsi le principe fondamental de la dynamique appliqué à cette masse, assimilée à un point M de masse m, s’écrit : mγ a = F=ϕ + mϕ (1.28)
La mesure est donc effectuée par la connaissance du déplacement x : F=ϕ = −K x.i = mγ( a −ϕ ) = mA(M ) (1.29)
où A(M ) est la « lecture accéléromètrique » (équation1.1) directement liée au déplacementx de la masse d’épreuve : A(M) = F=ϕ = −K x.i (1.30).
Les techniques de détection mises en oeuvre pour mesurer ce déplacement sont multiples, les plus courants sont la détection capacitive, piézorésistive ou iézoélectriquep. La grandeur de sortie propor-tionnelle à l’accélération est dans ce cas analogique (tension ou intensité électrique). La sensibilité d’un accéléromètre en boucle ouverte est d’autant plus grande que la raideur K du ressort est faible, ce qui malheureusement s’obtient au détriment de sa fréquence propre ωp et donc de sa bande passante. Un compromis doit donc être trouvé entre sensibilité et bandeassantep. La masse d’épreuve se déplace selon les cas en translation ou en rotation. Dans ce dernier cas, les accéléromètres sont nommés pen-dulaires. Une masse d’épreuve en forme de plaque, ou pendule, est fixée à un bâti par l’intermédiaire de charnières. Sous l’action d’une accélération suivant axel’ sensible, le pendule tourne d’un angle α proportionnel à l’accélération appliquée. Les exemples industriels de ces accéléromètres sont nombreux (Endevco, Sensorex, Sagem, etc) mais leur précision reste ropt faible (> 0, 1% de la pleine échelle) pour prétendre à la navigation inertielle. Leurs applications restent plutôt orientées vers la mesure de vibrations, de chocs, etc.
Comme il a été précisé précédemment, les accéléromètrestinésdes à la navigation inertielle ou au guidage-pilotage doivent répondre à des exigences particulières de précision, stabilité et linéarité. Les accéléromètres qui aujourd’hui répondent à ces besoins sont :
– Les accéléromètres analogiques asservis qui maintiennen la masse d’épreuve autour d’une po-sition dite « zéro » ce qui permet d’obtenir des capteurs à plus hautes performances en terme de stabilité de biais et de réduire les non-linéarités.
– Les accéléromètres à lame vibrante qui constituent une classe à part puisque par leur principe de fonctionnement, ils mesurent directement la force inertielle (et non le déplacement) appliquée à la masse d’épreuve grâce la variation de fréquence induite sur la fréquence de résonance d’un résonateur. Ces accéléromètres parviennent à égaler les meilleurs accéléromètres pendulaires as-servis, notamment en terme de facteur d’échelle.
Les caractéristiques de ces deux catégories d’accéléromètres seront détaillées par la suite afin de déterminer quelles sont les solutions adaptées à une miniaturisation poussée du capteur. De plus certains accéléromètres en cours de développement méritent de parurleoriginalité et les performances attendues une analyse spécifique : ce sont les accéléromètres optiques, thermiques et à ondes de matière.

Accéléromètres asservis

Dans les accéléromètres pendulaires asservis, la force inertielle à laquelle est soumise la masse sis-mique est compensée par une force égale et opposée créée parn systèmeu moteur dont la commande constitue la mesure de l’accélération. Le gain de la boucle lectroniqueé liant le détecteur à l’actionneur conditionne la fréquence propre (et donc la bande passante)ainsi que la sensibilité du capteur. Le ré-glage du gain peut donc permettre d’adapter les caractéristiques du capteur au besoin de l’utilisateur, notamment en terme de dynamique (ou étendue de mesure).
Le détecteur de position peut être capacitif ou inductif, demême le système moteur peut être électro-statique ou électromagnétique. L’accéléromètre asservirésentep beaucoup moins de non-linéarité que l’accéléromètre non-asservi puisque la masse d’épreuve stre quasi-immobile. Il présente également l’avantage de moins solliciter la charnière, ce qui est favorable à la stabilité du biais ainsi qu’à la fia-bilité. Enfin les problèmes liés aux couplages d’axes (influence de l’accélération appliquée sur les axes transverses à l’axe sensible) sont quasiment éliminés.

Accéléromètres à lame vibrante

Lorsqu’une corde de guitare est plus ou moins tendue, la note produite s’en trouve plus ou moins aiguë. C’est sur cette idée simple que repose le principe des accéléromètres à lame vibrante. Considé-rons une poutre (ou lame) maintenue en vibration à sa fréquence propre par des circuits électroniques associés et encastrée d’un côté à un support fixe et de l’autre à une masse d’épreuve (figure 1.11). L’ac-célération subie par la masse d’épreuve crée alors une forceaxiale de compression ou d’extension dans le résonateur en vibration, directement convertie en variation de la fréquence de résonance. C’est la fréquence de la lame qui constitue le signal de sortie de l’accéléromètre vibrant et ses variations sont représentatives de l’accélération appliquée.
Les avantages de ces capteurs sont nombreux : ils présententtout d’abord une très bonne définition du facteur d’échelle (quelquesppm) à condition d’utiliser un matériau d’excellente qualité mécanique (ex : quartz ou silicium). Ceci est dû à la traduction directe de l’accélération en une variation de fré-quence qui ne fait intervenir que les dimensions de la poutre et les caractéristiques du matériau consti-tutif. De plus, bien que la masse d’épreuve n’est pas asservie en position, ses déplacements sont limités du fait de la forte raideur axiale de la poutre, ce qui réduit esl problèmes de non-linéarité et de couplages d’axes.

Exemples d’accéléromètres vibrants

La performance des accéléromètres vibrants est directemenliée à la stabilité de fréquence intrin-sèque du résonateur puisque toute variation de fréquence sera assimilée à une mesure d’accélération. En général une configuration différentielle à deux résonateurs, identiques mais soumis à des forces axiales opposées, est utilisée (figure1.12). Ce principe d’accéléromètre (développé par Kearfott35[]) présente deux résonateurs à poutre unique et deux masses d’épreuves distinctes. Ainsi sous l’effet d’une accélé-ration γ, la fréquencef1 d’un résonateur diminue tandis que la fréquencef2 du second augmente (l’un des deux « voit » +γ et l’autre −γ), autrement dit, l’un est tendu et l’autre est comprimé. Ceci à pour intérêt premier de réduire l’influence des grandeurs physiques parasites agissant en mode commun sur les deux résonateurs, comme la température et la pression (pour simplifier la présentation, la sortie de l’accéléromètre sera désormais exprimée comme une fréquence et non plus comme une accélération) :
f1 = f10 + K1γ + K2γ2 + h(T , P, ..) (1.32)
f2 = f20 − K1γ + K2γ2 + h(T , P, ..) (1.33)
⇒ (f1 − f2) ≈ (f10 − f20 ) + 2K1γ (1.34)
L’utilisation du quartz monocristallin a ouvert la voie aux premiers prototypes performants [36]. En effet ce matériau est particulièrement intéressant de part l’excellente stabilité de ses propriétés phy-siques couplée à son caractère piézoélectrique qui permetneu excitation/détection aisée des vibrations utiles. Ainsi l’accéléromètre Accelerex RBA500 à lame vibrante développé par Sundstrand et produit aujourd’hui par Honeywell utilise le quartz [37, 38]. Sa configuration est illustrée sur la figure 1.13

Table des matières

I Introduction 
II Etat de l’art et approche théorique : Accéléromètres et micro-résonateurs 
1 Navigation inertielle et accélérométrie 
1.1 Navigation et centrales inertielles
1.1.1 Accélération
1.1.2 Vitesse de rotation
1.1.3 Conditions initiales et propagation d’erreur
1.1.4 Ordres de grandeur des exigences en précision
1.1.4.1 Conditions portant sur la vitesse initiale
1.1.4.2 Conditions portant sur les accéléromètres
1.1.4.3 Conditions portant sur les gyromètres
1.1.4.4 Conclusion
1.2 Gyroscopes / Gyromètres
1.2.1 Conservation du moment cinétique : gyroscope à toupie
1.2.2 Effet Sagnac : gyromètre optique
1.2.3 Effet Coriolis : gyromètre vibrant
1.2.3.1 Exemples de gyromètres vibrants
1.2.3.2 Le micro-gyromètre VIG (Vibrating Integrated Gyro)
1.3 Accéléromètres
1.3.1 Principe de la mesure d’accélération
1.3.2 Accéléromètres asservis
1.3.3 Accéléromètres à lame vibrante
1.3.3.1 Exemples d’accéléromètres vibrants
1.3.3.2 L’accéléromètre à lame vibrante VIA
1.3.4 Nouveaux principes d’accéléromètres
1.3.4.1 Accéléromètres optiques
1.3.4.2 Accéléromètres thermiques
1.3.4.3 Accéléromètres à ondes de matière
1.4 Miniaturisation et performance
2 Accéléromètre à lame vibrante : miniaturisation et performance 
2.1 Fonctionnement de l’accéléromètre à lame vibrante
2.1.1 Méthode de Rayleigh
2.1.2 Expression de la fréquence de résonance
2.2 Etendue de mesure
2.3 Sensibilité thermique
2.4 Oscillateur et stabilité
2.5 Stabilité de fréquence à long terme : stabilité de biais
2.6 Stabilité de fréquence à court terme : résolution
2.6.1 Stabilité de fréquence
2.6.1.1 Densité spectrale de bruit de phase
2.6.1.2 Variance d’Allan
2.6.2 Bruit de l’amplificateur
2.6.3 Bruit de phase de l’oscillateur : effet Leeson
2.7 Limites de la miniaturisation : non-linéarités mécaniques
2.7.1 Non-linéarité mécanique due aux flexions fortes
2.7.2 Résonance dans les oscillations non-linéaires : oscillateur anharmonique
2.7.3 Amplitude de vibration critique pour un micro-résonateur
2.8 Expression de la résolution de micro-accéléromètres
2.9 Conclusion
3 Mécanismes de dissipation dans les micro-résonateurs 
3.1 Définition du facteur de qualité
3.2 Pertes extrinsèques
3.2.1 Pertes par le support
3.2.2 Etat de surface
3.2.3 Amortissement gazeux
3.2.3.1 Influence de la pression
3.2.3.2 Amortissement gazeux dans le cas de faibles gaps
3.2.3.3 Estimation du niveau de vide nécessaire pour atteindre le régime intrinsèque
3.2.3.4 Conclusion sur l’amortissement gazeux
3.3 Pertes intrinsèques
3.3.1 Défauts
3.3.2 Viscosité intinsèque du matériau
3.3.3 Dissipation par relaxation de phonons
3.3.4 Effet thermoélastique
3.3.4.1 Phénomène
3.3.4.2 Modèle de Zener
3.3.5 Intérêt du silicium par rapport au quartz
3.4 Conclusion
III Approche expérimentale : micro-résonateurs en silicium et facteurs de qualité 
4 Mise en place expérimentale 
4.1 Définition des structures de test
4.1.1 Suspension filtrante
4.1.2 Structures de test
4.1.3 Simulations par éléments finis
4.2 Réalisation des structures
4.2.1 Réalisation par gravure « tout DRIE »
4.2.1.1 Les limites de la gravure RIE « conventionnelle »
4.2.1.2 La gravure DRIE
4.2.1.3 Réalisation des structures de test « tout DRIE »
4.2.2 Réalisation par combinaison de gravure « DRIE/KOH »
4.3 Méthode ex-situ de caractérisation dynamique des résonateurs
4.3.1 Systèmes expérimentaux
4.3.1.1 Excitation des vibrations
4.3.1.2 Enceintes de mesure
4.3.1.3 Systèmes optiques
4.3.2 Méthodes de mesure
4.3.2.1 Microscopie optique avec traitement d’images
4.3.2.2 Mesure de la vibration dans le plan par la technique du foucaultage
4.3.2.3 Mesure de vibrations hors plan par vibrométrie laser Doppler
4.3.2.4 Microscopie à balayage électronique
5 Mesure du facteur de qualité de micro-résonateurs en silicium 
5.1 Evolution du facteur de qualité en fonction des dimensions du résonateur
5.1.1 Structures DRIE
5.1.1.1 Vibrations dans le plan
5.1.1.2 Vibrations hors plan
5.1.2 Structures DRIE/KOH
5.2 Influence de la pression résiduelle sur le facteur de qualité
5.3 Influence du dopage sur le facteur de qualité
5.4 Influence de la température
5.5 Résonateurs de type « pont »
5.5.1 Mesures du facteur de qualité sur les structures de type « pont »
5.5.2 Mesure de non-linéarités mécaniques
5.6 Conclusion
IV Etude d’une structure d’accéléromètre vibrant en silicium 
6 Etude d’une structure d’accéléromètre vibrant miniature en silicium : ISA 
6.1 Estimation des performances d’accéléromètres à lame vibrante miniatures en silicium
6.2 Critères de dimensionnement
6.3 Choix du système d’excitation et de détection des vibrations
6.3.1 Excitation électrostatique
6.3.2 Détection capacitive
6.3.3 Limitations des transducteurs électrostatiques
6.4 Définition des structures d’accéléromètres ISA
6.4.1 Concept
6.4.2 Dimensionnement
6.4.3 Modélisation du matériau troué
6.4.4 Résultats de simulations du transducteur
6.4.4.1 Comportement en accélération
6.4.4.2 Analyse dynamique du transducteur
6.4.4.3 Sensibilité aux contraintes d’origine thermique
6.4.5 Implémentation d’un système d’excitation/détection électrostatique
6.4.5.1 Disposition des électrodes
6.4.5.2 Estimation des performances
6.5 Conclusion
V Conclusion 
VI Annexes 
A Développement du modèle masse-ressort 
B Méthode de Rayleigh : termes energétiques 
B.1 Energie potentielle
B.1.1 Energie potentielle de flexion
B.1.2 Energie potentielle de tension
B.1.3 Energie potentielle de non-linéarité mécanique
B.2 Energie cinétique
C Modes de vibrations et déformées 
C.1 Poutre encastrée à ses deux extrémités
C.2 Poutre encastrée libre
D Bruit de phase 
D.1 Lien entre domaine temporel et domaine fréquentiel
D.2 Effet leeson : expression de la variance d’Allan
E Equivalence entre résonateur et système masse-ressort 
F Matrice d’élasticité silicium troué 

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