MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LA MODELISATION DU SYSTEME GPS

INTRODUCTION

              Comme le disent les saintes écritures « Large est l’entrée et spacieux le chemin qui conduit à la perdition et nombreux sont ceux qui s’y engagent mais étroite est l’entrée et resserré le chemin qui conduit à la vie et peu sont ceux qui l’empruntent.» [Saint Matthieu, chap.7, v.13], il est plus facile pour une personne de se perdre que de trouver son chemin. De nombreuses expériences vécues démontrent la véracité de ce fait. Tous ceux qui ont été capables d’aller de l’avant ont tous, à un instant, ressenti un besoin naturel de savoir où ils étaient. Vous êtes-vous déjà perdu et avez-vous souhaité qu’il existe un moyen facile de trouver votre chemin ? Avez-vous déjà trouvé un endroit paisible que vous aimez tant, sans être capable ensuite d’y retourner facilement ? Et êtes-vous parti(e) en randonnée, sans plus savoir, à un certain moment, la direction à prendre pour retourner à votre camp ou à votre voiture ? Avezvous déjà, en vol, eu besoin de localiser l’aérodrome le plus proche ou d’identifier l’espace aérien dans lequel vous vous trouviez ? Peut-être vous êtes-vous déjà trouvé dans le cas où il était temps de s’arrêter et de demander votre chemin à quelqu’un ? D’anciens navigateurs, sans l’aide des instruments de navigation, ont pu explorer de nombreux continents. Cependant, tant d’expéditions se firent au prix de nombreux naufrages. Les meilleurs d’entre ces navigateurs savaient reconnaître leur route et l’évolution du temps à l’aide de divers signes tels que l’aspect du ciel, la position des astres, le comportement des animaux et bien d’autres. Mais ce savoir a généralement disparu, sauf chez certains peuples du Pacifique qui savent encore, avec une simple pirogue, rejoindre une île située à des centaines de kilomètres. Des recherches ont été alors entreprises par de nombreux scientifiques afin de trouver des moyens permettant de faciliter la navigation. Ce fut alors l’avènement des instruments de navigation dès le début du Xème siècle [1]. Certains sont relativement simples à utiliser alors que d’autres nécessitent un apprentissage particulier. Les progrès de l’électronique ont fait de ces instruments des systèmes pouvant supporter des applications aussi diversifiées tels que les radars, les radiogoniomètres, les radiobalises, le système Omnirange, les radioaltimètres et le système Loran [2]. Ces systèmes ont permis d’améliorer la sûreté de la navigation en fournissant en permanence des informations capitales quelles que soient les conditions et contraintes auxquelles ils sont soumis. De jour comme de nuit, sur terre, sur mer ou dans les airs, le GPS (Global Positioning System) permet de déterminer la position d’une personne, d’un objet, d’un mobile, d’un appareil et tant d’autres n’importe où sur la surface de la Terre. Aussi surprenant que cela puisse paraître, ce système a précédé l’introduction des ordinateurs de poche. Ses concepteurs n’avaient peut être pas prévu qu’un jour un récepteur GPS ne se limiterait pas à donner ses coordonnées mais afficherait aussi sa position sur une carte électronique avec les villes et les rues. Système de navigation par satellites à l’échelle mondiale, le GPS a été conçu et développé par le Ministère de la Défense américaine depuis 1973 [3]. Ce ministère assure également son entretien. Ses concepteurs avaient, à l’origine, une application militaire à l’esprit. En effet, les récepteurs GPS devaient faciliter le déploiement des troupes américaines, les tirs d’artilleries, la navigation maritime et aérienne. Le niveau de précision (16 m) étant supérieur à ceux fournis par tous les autres systèmes de navigation, le GPS a été d’une grande aide pour l’armée américaine. Avant 1995, les militaires américains étaient les seuls bénéficiaires des services fournis par ce système aussi performant et précis [3]. Suite aux innombrables demandes d’aide à la navigation émanant de nombreux civils, le Ministère de la Défense américaine a mis à la disposition de la communauté civile, le 28 Mars 1996, un service de positionnement standard, sans pour autant imposer de redevances directes aux utilisateurs [4]. Dès lors, chacun peut apprécier les avantages du GPS. Ce travail de mémoire est axé sur une étude spécifique de ce système. Il s’intitule « Mathématiques appliquées à la modélisation du système GPS ». Pour ce faire, ce rapport est décomposé en trois chapitres. Le premier mettra en exergue les aspects extérieurs dudit système. Le second chapitre exposera ses aspects techniques suivis de la modélisation des signaux et récepteurs GPS. Quant au dernier chapitre, il sera consacré au développement d’une théorie sur la résolution du système d’équations permettant de déterminer les coordonnées d’un récepteur ainsi que l’heure indiquée par le système de référence de temps associé au GPS

SERVICES FOURNIS PAR LE GPS

            Etant un système de positionnement universel, le GPS a été créé afin de réduire la prolifération des aides à la navigation. Il permet la « localisation en mode absolu » et la « détermination de l’heure exacte ». Le GPS fournit aux utilisateurs civils et militaires deux types de services :
– le SPS (Standard Positioning Service)
– le PPS (Precise Positioning Service).
a) Standard Positioning Service : Le SPS est un service de positionnement qui a été mis à la disposition de la communauté civile à des fins pacifiques d’utilisation civile, commerciale et scientifique à l’échelle mondiale. L’accès à ce service n’impose aucune redevance directe aux utilisateurs. A l’origine, ce type de service avait été spécifié pour fournir une précision sur la localisation absolue de 100 m en horizontal, de 156 m en vertical [8].
b) Precise Positioning Service : Le PPS est une version plus précise du SPS. Seuls des civils habilités et des militaires ont accès à ce service. Ce service a été destiné, à priori, pour des applications militaires. En effet, l’accès à ce service est contrôlé par le Ministère de la Défense américaine. Son utilisation n’est donc légale que lorsqu’elle est relative à des exigences internes de ce ministère. Cependant, une priorité a été accordée aux cas d’incidents internationaux ayant recours à l’emploi du GPS. L’accès au PPS est protégé par deux systèmes cryptographiques : la SA et l’AS (Anti – Spoofing). D’un côté, la SA a été utilisée par le DoD pour fausser la précision sur la position, la vitesse et l’UTC fournies aux utilisateurs non privilégiés. Cette technique consiste à falsifier une partie des informations émises par les satellites GPS. Les données reçues par les récepteurs sont alors moins précises. D’un autre côté, l’AS est activé sur chaque satellite pour bloquer les tentatives de spoofing. Le MCS peut modifier la trajectoire d’un satellite ainsi que les données qu’il émet en lui envoyant des signaux. Le spoofing consiste à émettre des signaux de ce type, en se faisant passer pour le MCS afin d’exploiter le GPS à des fins personnelles. Une encryption des données est alors mise en œuvre. Le PPS fournissait auparavant une précision 3D d’environ seize mètres. Mais après quelques améliorations, le PPS est arrivé à une précision 3D d’environ cinq mètres. Il offre également une plus grande résistance aux brouillages [5].
c) Remarque : La SA qui faussait la précision fournie par le GPS, en introduisant des erreurs sur les paramètres d’horloges et d’éphémérides diffusés par les satellites, a été désactivée par décision des autorités américaines le 02 Mai 2000 à 00 heure. Depuis, on considère alors que la précision est de cinq mètres, même si les caractéristiques officielles du service SPS sont restées inchangées. Une mise à jour est à l’étude aux Etats-Unis [9].

Retards dus aux horloges des satellites GPS

          Quoique les horloges à bord de chaque satellite soient extrêmement précises et stables, et malgré la vérification régulière de leur précision, de légères dérives existent. Or, un retard ne serait-ce que quelques ns (C D% ., induit une erreur non négligeable C 5 9 dans la mesure de la distance entre le satellite et le récepteur.

Mesures réalisées par un récepteur GPS

           Pour déterminer le temps de trajet du signal reçu, un récepteur GPS peut utiliser soit l’information temporelle véhiculée par le C/A code ou le P(Y) code, soit directement la phase de la porteuse. La fréquence du signal reçu étant affectée par l’effet Doppler, le récepteur utilise les almanachs des satellites qui sont des prévisions à long terme pour calculer les fréquences reçues et déterminer la bande de fréquences utilisée par chaque satellite au moment de la mesure. Pour un satellite donné, les mesures sur le code et la phase sont réalisées par deux boucles d’accrochage et de suivi :
– la « boucle de code » ou DLL (Delay Lock Loop) pour la mesure sur le code pseudo aléatoire,
– la « boucle de phase » ou PLL (Phase Lock Loop) pour la mesure sur la phase de la porteuse.
La figure 2.15 décrit le schéma de principe du système de tracking à bord d’un récepteur GPS. Les deux boucles permettent de faire coïncider le signal provenant d’un satellite avec sa réplique générée en interne par le récepteur. Pour cela, le corrélateur retarde le signal généré en interne jusqu’à ce qu’il obtienne le maximum de corrélation entre les deux signaux.

Notions d’« échelle de temps » et d’« unité de temps »

          Lorsqu’on envisage la mesure du temps, deux notions différentes, mais complémentaires apparaissent. La première consiste en le repérage de la date d’un évènement d’où la définition d’une « échelle de temps ». Puis, afin d’uniformiser la mesure de durées, ladéfinition d’une « unité de temps » s’impose. Les notions d’ « échelle » et d’ « unité de temps » sont reliées par le fait que l’unité de temps correspond à l’intervalle séparant deux évènements particuliers dans l’échelle de temps. L’échelle de temps, quant à elle s’obtient par cumul des unités de temps par rapport à une origine. Un système de référence de temps est donc défini dès lors que l’on a fixé les propriétés que doivent vérifier une « unité » ou une « échelle de temps » idéale. Une échelle de temps idéale doit être universelle, sans interruption, très précise et uniforme.

Table des matières

INTRODUCTION
Chapitre 1 PRESENTATION DU GPS
1.1 DESCRIPTION DU SYSTEME GPS
a) Secteur spatial
i) Constellation GPS
ii) Configuration de la constellation GPS
iii) Caractéristiques d’un satellite GPS
iv) Signaux GPS
b) Secteur de contrôle
i) Stations de surveillance
ii) Centre de calcul et de maintenance
iii) Antennes terrestres
iv) Station de simulation
v) Communications entre secteur de contrôle et satellites GPS
v) Remarque
c) Secteur utilisateur
i) Temps de transit théorique des signaux GPS
ii) Temps de transit réel des signaux GPS
iii) Condition sur le nombre de satellites visibles à partir d’un récepteur
iv) Détermination des coordonnées géographiques
1.2 FONCTIONS BASIQUES DU GPS
a) Coordonnées géographiques
b) Heure exacte
c) Autres fonctions
1.3 SERVICES FOURNIS PAR LE GPS
a) Standard Positioning Service
b) Precise Positioning Service
c) Remarque
1.4 SOURCES D’ERREURS DANS LA LOCALISATION PAR GPS
a) Configuration de la constellation GPS
i) Nombre de satellites visibles
ii) Erreurs liées à la configuration spatiale des satellites intervenant lors de la localisation
b) Côté satellites
i) Retards dus aux horloges des satellites GPS
ii) Erreurs d’éphémérides
c) Côté récepteurs
i) Erreur d’horloge du récepteur
ii) Erreur relative à la détermination du temps de transit
d) Côté milieux de transit des signaux GPS
i) Délais dus à l’ionosphère et à la troposphère
ii) Erreur due au multitrajet
Chapitre 2 MODELISATION DES SIGNAUX ET RECEPTEURS GPS
2.1 PRESENTATION DES SIGNAUX GPS
a) Génération de porteuses et codes
b) Porteuses
i) Fréquences des porteuses
ii) Equations d’ondes
c) Codes
i) C/A code
ii) P code et P(Y) code
d) Message de navigation
i) Structure d’une trame
ii) Structure d’une sous trame
2.2 MODELISATION DES SIGNAUX GPS
a) Modulateur BPSK
b) Génération de signaux par un satellite GPS
c) Modulation d’un signal PPS
i) Equation d’onde
ii) Exemple de chronogramme d’un signal PPS
d) Modulation d’un signal SPS
ii) Exemple de chronogramme d’un signal SPS
2.3 ETUDE DES SPECTRES DES SIGNAUX GPS
a) Equation d’onde approchée
b) Transformée de Fourier des signaux GPS
c) Représentations spectrales
2.4 MODELISATION DES RECEPTEURS GPS
a) Schéma général d’un récepteur GPS
b) Mesures réalisées par un récepteur GPS
i) Mesure sur le code pseudo aléatoire
ii) Mesure sur la phase de la porteuse
c) Synchronisation entre satellite et récepteur
i) Synchronisation en phase
ii) Synchronisation en fréquence
iii) Maintien de la synchronisation
Chapitre 3 APPLICATION DE L’APPROXIMATION DE TAYLOR A LA LOCALISATION PAR GPS 
3.1 SYSTEMES DE REFERENCES ASSOCIES AU GPS
a) Système de référence de temps
i) Notions d’« échelle de temps » et d’« unité de temps »
ii) Temps Atomique International
iii) Universal Time Coordinated
iv) GPST
b) Système de référence d’espace
i) WGS et WGS 84
ii) Ellipsoïde de référence
iii) Système de coordonnées cartésiennes associé au WGS84
iv) Système de coordonnées ellipsoïdales associé au WGS84
3.2 DETERMINATION DE LA POSITION D’UN RECEPTEUR
a) Mesures de distances
b) Approximation de Taylor
i) Justification de la linéarisation
ii) Définition
c) Détermination des erreurs
d) Coordonnées et correction de l’horloge du récepteur
i) Coordonnées du récepteur
ii) Correction de l’horloge du récepteur
3.3 CONVERSIONS DE COORDONNEES
a) Coordonnées cartésiennes en coordonnées géographiques
b) Coordonnées géographiques en coordonnées cartésiennes
3.4 CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE

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