Matériaux anisotropes 

Matériaux anisotropes 

Vibration des plaques composites

L’analyse des vibrations libres des plaques et coques composites joue un rôle de plus en plus important dans la conception des structures dans plusieurs applications. Une étude approfondie de comportement dynamique de ces structures est essentielle pour évaluer leur plein potentiel. Par conséquent, il est nécessaire de développer des modèles appropriés capables de prédire avec précision leurs caractéristiques dynamiques.
De grands progrès ont été réalisés au cours des dernières décennies vers une meilleure compréhension des caractéristiques de vibration des plaques et coques composites.
En raison de la disponibilité limitée des solutions analytiques pour des applications pratiques, les méthodes approximatives numériques sont devenues des outils les plus efficaces. La méthode des éléments finis est considérée comme une approche très efficace et polyvalent pour ces problèmes.
Il est rare de trouver une théorie qui serait applicable à tous les cas possibles (matériau composite, anisotrope, isotrope, grand nombre de couches, stratification sandwich etc…) et aux différents domaines (statique, dynamique et flambage), et qui de plus serait simple et facile et ne coûte pas chère en temps de calcul.
La première étude mathématique des problèmes de plaque, a probablement été faite par Euler qui a effectué une analyse de vibration libre des plaques.

Vibration des coques composites

Love  été le premier à présenter une théorie des coques basée sur l’élasticité linéaire classique. Pour simplifier les relations contrainte-déplacement et, par conséquent, les relations constitutives, Love a appliqué les hypothèses de Kirchhoff développées à l’origine pour la théorie de la flexion des plaques. Cet ensemble d’hypothèses est communément appelé les hypothèses de Kirchhoff-Love. La théorie de Love des coques minces est également appelée théorie d’approximation de premier ordre.
Reissner a développé la théorie linéaire des coques minces (également la théorie d’approximation de premier ordre) où certaines insuffisances de la théorie de Love ont été éliminées. Il a dérivé les équations d’équilibre, les relations contrainte-déplacement, et les expressions résultantes de contrainte pour les coques minces directement de la théorie tridimensionnelle de l’élasticité, en appliquant les hypothèses de Love-Kirchhoff.
Sanders  a également développé la théorie des coques de premier ordre à partir du principe du travail virtuel et en appliquant les hypothèses de Kirchhoff-Love. La théorie de Sanders pour les coques minces a supprimé avec succès les incohérences de la théorie de Love. Koiter a développé une version qui conserve des termes de magnitude compatibles avec ceux retenus par Reissner et résout l’incohérence dans l’expression pour la torsion.

Méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis utilisée aujourd’hui a été développée jusqu’à présent dans son état actuel. Selon Zienkiewicz , le développement s’est déroulé selon deux voies principales: l’une en mathématiques et l’autre en ingénierie. Quelque part entre ces deux extrêmes sont les méthodes résiduelles variationnelles et pondérées, qui nécessitent l’utilisation de fonctions d’essai pour effectuer une solution. L’utilisation de ces fonctions remonte à près de 200 ans.
Une fonction d’essai est une fonction mathématique supposée qui est habituellement basée sur l’intuition physique, qui est appliquée globalement à la région analysée et qui se rapproche du comportement attendu de la région par rapport à certaines forces externes. Ces fonctions sont utilisées dans divers types de formulations intégrales .
La méthode des éléments finis est basée sur les mêmes principes avec une exception importante: les fonctions d’essai ne sont pas appliquées globalement à l’ensemble de la région analysée mais localement (c’est-à-dire sur un élément).

Comportement des milieux anisotropes

L’analyse des structures en matériaux composites nécessite une connaissance de l’élasticité anisotrope. Les traditionnelles techniques des matériaux isotropes, par exemple les métaux, ne sont ni fiables ni appropriées pour analyser cette nouvelle classe de systèmes de matériau.
Si le comportement d’un milieu anisotrope est hétérogène, nous devons avoir une théorie structurelle adéquate pour modéliser correctement la rigidité, prédire les champs de contrainte.
Un matériau est dit isotrope si toutes les propriétés matérielles en un point sont indépendantes de la direction. Autrement dit, si l’on se réfère à un point dans un milieu anisotrope avec un système de coordonnées, les propriétés physiques de ce point resteront invariantes pour toute rotation arbitraire des axes. Un matériau anisotrope est un matériau qui présente des propriétés de matériau qui dépendent de la direction, c’est-à-dire qu’une propriété de matériau donnée peut avoir différentes valeurs dans différentes directions.

Structures composites stratifiées

Les structures composites stratifiées sont constituées de couches successives de renforts imprégnés de résines. Les couches sont également nommées plis. Les structures stratifiées réalisées à partir de matériaux composites sont constituées d’empilements de nappes unidirectionnelles ou bidirectionnelles. Ces nappes sont formées de renforts en fibres longues liées par de la résine. Le rôle du renfort est d’assurer la fonction de résistance mécanique aux efforts. La résine assure quant à elle la cohésion entre les renforts de manière à répartir les sollicitations mécaniques. Les pièces structurelles sont réalisées par empilement de nappes en optimisant les directions des renforts en fonction des charges qu’elles doivent subir.
Les matériaux composites sont modélisés à une échelle intermédiaire entre l’échelle microscopique associée aux constituants de base du composite (le renfort et la matrice) et l’échelle macroscopique liée à la structure. À cette échelle, appelée méso-échelle, une structure stratifiée est schématisée par un empilement de monocouches homogènes dans l’épaisseur et d’interfaces inter-laminaires.

Structures composites tissées multidirectionnelles

Il est possible de créer des pièces en matériaux composites de type tridimensionnelles massives ou des formes de révolution. Des tissages volumiques de type 2D (deux directions de renfort), 3D–Evolutif (deux directions de renfort et un piquage dans la troisième direction), 3D (trois directions de renfort), 4D (quatre directions de renfort), ou plus sont élaborés dans l’industrie aérospatiale. Il est également possible de tisser des cylindres ou des cônes afin de réaliser des réservoirs ou des tuyères. Dans ces derniers cas, les fils de renforts s’entrecroisent en hélice. Quelques exemples de matériaux composites multidirectionnels sont maintenant présentés. Les structures massives sont principalement utilisées dans le domaine aéronautique et restent très marginales en raison de leur coût de production très élevé.

Table des matières

Introduction générale
Objectifs et contenu de la thèse
CHAPITRE I : Revue bibliographique 
1.1. Vibration des plaques composites
1.2. Vibration des coques composites
1.3. Méthode des éléments finis
CHAPITRE II : Matériaux anisotropes 
2.1. Généralités
2.1.1. Constituants des matériaux composites
2.1.1.1. Les différentes matrices
2.1.1.2. Les différentes fibres
2.1.1.3. Adhésion renforts / matrice
2.1.2 Avantages des matériaux composites
2.2. Comportement des milieux anisotropes
2.2.1. Introduction
2.2.2. Relations déformations-déplacement
2.2.3. Equations de compatibilité des contraintes
2.2.4. Loi de Hooke généralisée
2.2.5. Matrice de souplesse
2.2.6. Symétrie matérielle
2.2.6.1. Matériaux monocliniques
2.2.6.2. Matériaux orthotropes
2.2.6.3. Matériaux isotropes transverses
2.2.6.4 Matériaux isotropes
CHAPITRE III : Théorie de plaques composites 
3.1. Introduction
3.2. Hypothèses
3.3. Relations constitutives
3.4. Champs de déplacement
3.5. Relations déformations déplacements
3.6.Relations contraintes déformations
3.7.Critère de changement de base
3.8. Énergie de déformation
3.9. Énergie cinétique
3.10. Équation de mouvement
3.11. Structures composites stratifiée
3.11.1. Désignation des structures stratifiées
3.11.2. Désignation des structures sandwiches
3.11.3. Structures composites tissées multidirectionnelles
3.12. Formulation des stratifiés
3.12.1. Comportement en contraintes planes
3.12.2 Champ des contraintes
CHAPITRE IV: Formulation des plaques composites par éléments finis 
4.1. Introduction
4.2. Modèle élément fini
4.2.1. Transformation des coordonnées
4.2.2. Dérivées partielles
4.3. Fonctions de forme hiérarchiques
4.3.1. Fonctions de forme nodales
4.3.2. Fonctions de forme des côtés
4.3.3. Fonctions de forme internes
4.4. Matrice de rigidité de flexion
4.5. La matrice rigidité due au cisaillement transversal
4.6. La matrice masse
CHAPITRE V : Théorie des coques composites 
5.1. Introduction
5.2. Champ de déplacement
5.3. Relations déformations-déplacements
5.4. Conditions de compatibilité
5.5. Relations contraintes-déformations
5.6. Loi de comportement dans la base hors axes d’orthotropie
5.7. Théorie des coques de Reissner-Mindlin
5.7.1 Relations déformations déplacement
5.7.2 Relations contraintes-déformations
5.7.3 Energie cinétique
5.7.4 Energie de déformations
CHAPITRE VI : Formulation des coques composites par éléments finis 
6.1. Introduction
6.2. Discrétisation en éléments triangulaires
6.3. Repère locale et repère globale
6.4. Elément fini triangulaire type hp
6.5. Équation de mouvement
CHAPITRE VII : Programmation et résultats 
7.1. Plaque composites
7.1.1. Etude de convergence
7.1.2. Validation
7.1.3. Plaque orthotrope triangulaire
7.1.4. Plaque orthotrope rectangulaire
7.1.5. Plaque orthotrope triangulaire avec fissure au niveau de l’encastrement
7.1.6. Plaque orthotrope triangulaire avec fissure interne
7.1.7. Plaque orthotrope rectangulaire avec fissure au niveau de l’encastrement
7.1.8. Plaque orthotrope trapézoïdale
7.1.9. Plaque trapézoïdale avec fissure
7.1.10. Plaque rectangulaire à deux couches
7.2. Coques composites
7.2.1 Etude de convergence
7.2.2 Validation
7.2.3 Variation des fréquences en fonction de l’orientation des fibres
7.2.4 Fissures au niveau de l’encastrement
7.2.5 Fissures internes
7.2.6 Effet de l’orientation des fibres sur une coque composite fissurée
7.2.7 Coque combiné
Conclusion est perspectives

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