MATERIAUX A GRADIENT FONCTIONNEL FGM

MATERIAUX A GRADIENT FONCTIONNEL FGM

VERSION-p DE LA MEF

Introduction

La modélisation physique des systèmes mécaniques résulte généralement des équations différentielles partielles qui ne peuvent pas être résolues analytiquement ou qui n’ont pas une solution exacte, pour raisons de complexité du domaine discrétisé du problème ou des conditions aux limites. Ainsi, une méthode numérique doit être employée pour la solution approchée du problème physique. La Méthode des Éléments Finis (MEF) est souvent considérée comme la méthode la plus appropriée pour des études de cette nature.
L’objectif du calcul numérique est de combiner les techniques d’évaluation et d’amélioration de la qualité de la solution. La méthode-p désigne une stratégie de contrôle de l’erreur qui consiste à faire varier le degré d’interpolation des éléments tout en conservant leur taille. Elle s’oppose à la méthode-h qui consiste à faire varier la taille des éléments tout en conservant leur degré d’interpolation. On parlera également de version-h ou -p de la méthode des éléments finis. Le but de ce chapitre est d’étudier les particularités de la version-p de la méthode des éléments finis afin de les utiliser pour contrôler l’erreur sur la solution et ainsi automatiser les calculs. Cette procédure a deux objectifs : réduire les temps de calcul et minimiser l’intervention de l’utilisateur qui ne doit réaliser que les tâches où il est indispensable (modélisation du problème physique, définition d’une discrétisation de base et interprétation des résultats).

Domaines d’application

La méthode des éléments finis est appliquée dans la majorité des domaines de la physique figure 3.1. Cela va de la mécanique à l’électronique, en passant par la thermique et la météorologie. Dans tous ces cas, la formulation reste quasiment identique, mais la nature des champs et les lois de comportement sont adaptées au domaine d’application.

Types de problèmes MEF

La méthode des éléments finis permet la résolution de trois types de problèmes principaux :  Problèmes d’équilibre stationnaire Dans ce type de problèmes, le comportement est défini en fonction de l’état du système, de la géométrie, du chargement et des conditions aux limites, sous forme d’un système d’équations linéaires en fonction des variables nodales. On trouve dans cette catégorie, l’équilibre statique et les régimes stationnaires d’écoulement, de transfert de chaleur et d’électromagnétisme.  Problèmes aux valeurs propres Il s’agit des phénomènes de vibration ou d’instabilité d’un état stationnaire. Les modes propres de vibration, le flambage des structures ou l’instabilité des flux laminaires font partie de cette catégorie.  Problèmes dépendant du temps Lorsque l’état du système dépend de son histoire ou bien des paramètres de sortie, le système devient interdépendant et la résolution directe n’est plus possibles. Ce cas inclus le comportement non linéaire (matériaux et géométrie), la dynamique non linéaire (amortissement, rigidité,…), les régimes transitoires et la fissuration des pièces.

Fondements de la méthode-p

Dès l’apparition de la méthode des éléments finis, beaucoup de chercheurs ont testé des éléments finis de degré d’approximation élevé. Ces éléments sont de formulation totale, c’est-à-dire que chaque fonction de forme est physiquement rattachée à un nœud, ce qui ne permet pas d’en tirer un profit maximum [Beckers 1970] & [Fraeijs de Veubeke & al.1972]. Il faut attendre l’introduction de la formulation hiérarchique [Peano 1975] pour réellement voir la naissance d’une méthode-p efficace. Une approximation par éléments finis est dite hiérarchique si le passage de n à n+1 n’altère pas les fonctions de forme Ni (i = 1 à n). Cette formulation présente certains avantages [Zienkiewicz & al. 1983].  La génération d’une discrétisation initiale peut être mise à profit pour le calcul des solutions raffinées;  Le système d’équations est mieux conditionné;  Les solutions obtenues sont moins sensibles aux imprécisions numériques.

Avantages de la méthode-p

La méthode-p présente de nombreux attraits [Babuska & Szabo 1982], [Babuska & Suri 1990], [Szabo & Babuska 1991] & [Szabo 1991]. 1. Elle est plus précise et sa convergence est plus rapide que celle de la méthode-h. En effet, pour différentes catégories de problèmes, on observe les caractéristiques suivantes. Lorsque la solution exacte est partout analytique (problèmes de Catégorie A), le taux de convergence est exponentiel, alors que celui de la méthode-h n’est qu’algébrique. Pour des problèmes dont la solution exacte contient un nombre fini de points singuliers (problèmes de Catégorie B), le taux de convergence est algébrique, mais il est deux fois plus élevé que celui de la méthode-h lorsque ces points singuliers sont aussi des nœuds-sommets du maillage. Notons que la plupart des problèmes de statique linéaire rencontrés dans la pratique appartiennent à cette catégorie. La qualité des solutions est peu sensible aux distorsions des éléments, ce qui permet l’utilisation d’éléments aplatis ou de grand rapport de côtés sans trop pénaliser la précision.
Aucun verrouillage numérique dû au quasi incompressibilité de certains matériaux n’est observé. Cependant, lorsque le coefficient de Poisson est plus proche de 0.5, la convergence asymptotique de la méthode-p s’obtient à partir d’un degré plus élevé. 2. Comme une formulation hiérarchique est adoptée pour la représentation des déplacements, la matrice de raideur relative à un degré donné imbrique celles de degrés inférieurs. Ceci permet d’obtenir de manière économique une séquence de solutions au lieu d’une seule solution comme c’est le cas de la méthode-h. Il est donc possible d’utiliser des techniques d’extrapolation pour le contrôle de la qualité des analyses : les solutions convergent de manière strictement monotone, ce qui permet d’estimer l’énergie potentielle totale exacte du problème à partir de trois solutions consécutives en utilisant une procédure d’extrapolation de Richardson. L’erreur globale peut ainsi être estimée.
Il est également possible d’observer la convergence de toute grandeur physique autre que l’énergie, ce qui permet d’évaluer la qualité locale des solutions obtenues et d’éventuellement détecter certaines erreurs liées aux données de modélisation en vérifiant si les solutions convergent ou non. La géométrie peut être représentée de manière exacte, ce qui évite les erreurs liées à sa modélisation.
3. La tâche de modélisation est réduit car le maillage contient peu d’éléments et peut être directement obtenu par division des volumes, définis par les outils de la C.A.O., en macroéléments (maillages structurés).

Inconvénients de la méthode-p

La méthode-p présente toutefois certaines limitations. 1. Tout d’abord, la méthode-p convient bien pour une analyse détaillée des composantes d’une structure complexe. En effet, dans ce cas le nombre de points singuliers est souvent réduit et l’on bénéfice pleinement de la vitesse de convergence élevée de la méthode. Un champ de contrainte de qualité supérieure est obtenu avec peu de degrés de liberté, ce qui permet une analyse locale précise. Par contre, la méthode-h semble plus adéquate pour obtenir une solution globale car le maillage structuré d’une pièce mécanique comportant plusieurs niveaux de détails est très difficile à réaliser et aboutit souvent à un grand nombre d’éléments. 2. Pour des problèmes dont la solution contient un nombre infini de points singuliers (problèmes de Catégorie C), la méthode-p n’est pas meilleure que la méthode-h du point de vue de la convergence. A noter que les structures composées de plusieurs matériaux et les structures en régime élasto-plastique font partie des problèmes de la Catégorie C.

Table des matières

Titre Page
Sommaire
Liste des figures
Liste des tableaux
Liste des symboles
Introduction Générale bibliographique 
CHAPITRE 1 MATERIAUX A GRADIENT FONCTIONNEL FGM
1.1- Introduction 
1.1- Concept des matériaux FGM
1.2- Idée générale
1.3- Propriétés effectives des matériaux à gradient fonctionnel
1.4- Analyse thermique
CHAPITRE 2 THEORIES DES PLAQUES
2.1- Introduction 
2.2- Historique
2.3- Définitions et Hypothèses
2.3-1. Théorie de Kirchhoff
2.3-2. Théorie de Reissner-Mindlin
2.4- Relations cinématiques
2.4-1. Le champ de déplacements
2.4-2. Relations déformations-déplacements
2.4-3. Efforts résultants et moments
2.4-4. Facteur de correction transversal
2.4-5. Relations contraintes-déformations
2.5- Energie de déformation
2.6- Energie cinétique
2.7- Plaque circulaire
2.7-1. Relations cinématiques d’une plaque circulaire
2.7-2. Relations déformations-déplacements
2.8- Effet de la température sur les relations constitutives et constantes matérielles
2.9- Plaque à gradient fonctionnel
2.9.1- Energie de déformation d’une plaque à gradient fonctionnel
2.9.1- Energie de déformation d’une plaque à gradient fonctionnel
2.10- Equations du mouvement
CHAPITRE 3 VERSION-p DE LA MEF
3.1- Introduction 
3.2- Domaines d’application
3.3- Types de problèmes MEF
3.4- Fondements de la méthode-p
3.5- Avantages de la méthode-p
3.6- Inconvénients de la méthode-p
3.7- Mise en œuvre de la méthode-p
3.5-1. Polynômes de Legendre
3.5-1.1. Propriétés des polynômes de Legendre
3.5-1.2. Polynômes de Legendre déplacés
3.5-2. Fonctions de formes hiérarchiques
3.5-2.1. Elément unidimensionnel
3.5-2.2. Elément bidimensionnel
3.5-2.2.1. Espaces polynômiaux
3.5-2.2.2. Elément 2-D quadrangulaires
CHAPITRE 4 MODELISATION PAR LA VERSION-P DE LA MEF
4.1- Formulation par élément-p
4.2- L’énergie de déformation
4.2-1. L’énergie de déformation due aux efforts vibratoires
4.2-2. L’énergie de déformation de flambement du à la température
4.3- L’énergie de cinétique
4.4- Equations du mouvement
CHAPITRE 5 TECHNIQUES DE PROGRAMMATION
5.1- Introduction 
5.2- Logiciels et matériel utilisés
5.3- Organigramme du programme principal
5.4- Description des sous – programme
5.4-1. S/P INPUT
5.4-1.1. Paramètre des éléments
5.4-1.2. Paramètre physiques
5.4-1.3. Paramètre géométriques
5.4-2. S/P GAUSS
5.4-3. S/P INTEG
5.4-4. S/P CONSTS
5.4-5. S/P BOUNDC
5.4-6. Construction des matrices linéaires
5.4-7. S/P STIFF4
5.4-8. S/P JACOBI
5.4-9. S/P MAXAMP
5.4-10. S/P MODE
5.4-11. Construction des matrices non linéaires
5.4-12. S/P STIFF7
5.4-13. S/P STIFF
5.4-14. S/P SORT
CHAPITRE 6 RESULTATS ET VALIDATION NUMERIQUE
6.1. Introduction 
6.2. Plaque isotrope
6.2.1. Convergence et validation
6.3. Plaque à gradient fonctionnel
6.3.1 Etude des vibrations linéaires
6.3.1.1 Validation
6.3.2. Etude paramétrique
6.3.2.1 Influence du rapport a/b
6.3.2.2 Influence de l’angle de secteur
6.3.2.3 Influence des conditions aux limites
6.3.2.4 Influence de nuance FGM
6.3.2.5 Influence de la température
6.3.3. Etude de vibration non linéaire
6.3.3.1. Influence des conditions aux limites
6.3.3.2. Influence du rapport de rayons
6.3.3.3. Influence de l’angle de secteur
6.3.3.4. Influence de nuance
6.3.3.5. Influence de la température
Conclusion  
références
Annexes

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