MANIFESTATIONS DE LA COMPRÉHENSION DU CONCEPT DE NUMÉRATION POSITIONNELLE CHEZ DES ÉLÈVES 

MANIFESTATIONS DE LA COMPRÉHENSION DU CONCEPT DE NUMÉRATION POSITIONNELLE CHEZ DES ÉLÈVES 

Depuis plusieurs années, les élèves ayant des besoins éducatifs ou des conditions qui ne leur permettent pas d’évoluer dans des classes régulières sont un sujet dont il est régulièrement question dans notre société. Parmi ces élèves se retrouvent les enfants présentant une dysphasie mixte sévère. Ces derniers présentent une déficience du langage et de la parole qui a des conséquences importantes sur les apprentissages scolaires, entre autres. Dans les milieux scolaires et parascolaires, de nombreux intervenants poursuivent leur travail afin de proposer des moyens et des conditions favorisant les apprentissages de ces élèves, plus particulièrement en lecture et en écriture. Comme le mentionne Duquesne (2004), le fait que les difficultés d’apprentissage de la lecture pour les élèves dysphasiques représentent un enjeu prioritaire, «relativement peu de travaux s’intéressent à l’élaboration des notions mathématiques de base chez ces élèves» (p. 1). Elle fait remarquer aussi « qu’il y a de fortes chances pour qu’un enfant dysphasique présente également des troubles de l’apprentissage du nombre et du calcul» (Duquesne, 2004, p. 1). Dans le même ordre d’idées et à l’instar de Lacert et Camos (2003), il se peut que le temps pédagogique accordé à l’enseignement de la langue laisse peut-être une place insuffisante à l’acquisition des mathématiques; acquisition qui aurait peut-être été possible eu égard aux seules capacités d’apprentissage de ces enfants. Ces auteurs précisent également qu’il ne faudrait pas que des absences de compétences soient créées par une sous stimulation pédagogique. À cet égard, ils font d’ailleurs remarquer: «On sait les conséquences socio-scolaires des dysphasies de développement parmi lesquelles une réduction de l’appétence de l’enfant pour l’école ne doit pas être sous-estimée» (p. 116). Nous comprenons ainsi que ces constats sont suffisants pour susciter des interrogations importantes sur le plan de l’apprentissage des mathématiques chez les élèves dysphasiques.

Parmi les recherches sur l’apprentissage chez les élèves dysphasiques, certaines ont porté une attention particulière à l’apprentissage en mathématiques chez ces élèves et ont permis de dégager quelques constats sur les notions suivantes: la chaîne numérique verbale, la lecture et l’écriture des nombres et les opérations numériques. Bien que la base de ces apprentissages soit constituée de la compréhension du sens du nombre ainsi que du concept de numération positionnelle, peu d’études portent sur la compréhension du concept de numération positionnelle chez les élèves présentant une dysphasie mixte sévère. Pourtant, de nombreuses études en didactique des mathématiques (notamment: Bednarz et Janvier (1982) font état de l’importance de ce concept mathématique dans les apprentissages mathématiques et des nombreuses difficultés d’apprentissage en mathématiques reliées à la numération positionnelle. C’est pourquoi, dans le cadre de ce mémoire, nous nous sommes intéressés plus particulièrement à la compréhension du concept de numération positionnelle chez des élèves présentant une dysphasie mixte sévère au deuxième cycle du primaire.

L’intérêt porté à la compréhension de ce concept chez des élèves dysphasiques origine du croisement de diverses sources. La principale étant un stage de quatre semaines effectué, en 2008, dans une classe de langage 1• Nous avons réalisé ce stage dans le cadre de nos études de premier cycle en enseignement (baccalauréat en enseignement en adaptation scolaire et sociale au primaire). Lors de cette expérience, quelques observations informelles en lien avec le développement du concept de numération positionnelle chez les élèves de cette classe ont été effectuées. Ces observations ont suscité un questionnement, car les activités d’apprentissage reliées à ce concept s’avéraient, majoritairement, difficiles pour les élèves. La seconde raison justifiant cet intérêt pour la compréhension de la numération positionnelle est les contacts que nous avons eus avec des élèves ayant une dysphasie dans le cadre de notre travail quotidien à titre d’orthopédagogue au primaire. Ces élèves, dont un était en troisième année et un autre en sixième année, présentaient des difficultés importantes en mathématiques, entre autres, dans des activités de calculs avec retenues et emprunts et d’écriture des nombres pour lesquelles les bases en numération positionnelle doivent être acquises. Pour éviter de recourir à une perception personnelle, une expérimentation orthopédagogique comme travail de recherche sur la compréhension du concept de numération positionnelle chez des élèves ayant une dysphasie mixte sévère est devenue nécessaire pour mieux connaître ses manifestations. Enfin, les nombreuses lectures faites sur le sujet ont également contribué à valider la pertinence de la présente recherche.

Numération positionnelle 

L’apprentissage du nombre est un des concepts reliés à la compréhension de la numération. Dans ce mémoire, nous faisons d’ailleurs une distinction entre la compréhension du sens du nombre et la compréhension du concept de numération positionnelle, car notre étude s’adresse avant tout à des élèves du deuxième cycle du primaire. Or le sens du nombre, selon Poirier (200 1) fait référence à des concepts tels que la correspondance terme à terme, les principes de cardinalité et d’ordinalité, l’inclusion hiérarchique, les relations partie/tout, la compensation, le dénombrement en coordonnant le geste et le mot-nombre et le «compter à partir de» qui sont vus au premier cycle du primaire.

Concernant la numération, ce concept a été défini par plusieurs auteurs. Dans le cadre de ce travail, la définition de Poirier (2001) est retenue, car un langage clair et précis est utilisé et aussi, parce que cette définition a fréquemment été retenue dans les diverses recherches de Poirier effectuées en collaboration avec des enseignants dans des classes spéciales et ordinaires pour la numération propre aux nombres entiers. Poirier (2001) désigne donc la numération comme étant: un système de représentation des nombres qui permet de désigner les nombres et d’effectuer des opérations sur ceux-ci. TI y a des numérations figurées ou concrètes, des numérations orales (dites ou lues) et des numérations écrites ou symboliques faisant appel à des symboles pour représenter les nombres (p. 27).

La compréhension en mathématiques 

Dans cette étude, nous cherchons à décrire les manifestations de la compréhension du concept de numération positionnelle chez les élèves présentant une dysphasie mixte sévère. Mais que signifie « comprendre » en mathématiques? La question a intéressé de nombreux chercheurs, que l’on pense, à titre d’exemple, à Piaget (1974a, 1974b) pour qui la conceptualisation et la compréhension d’un concept étaient le résultat d’un jeu entre l’assimilation et l’accommodation, ou à Barth (2002) pour qui comprendre, c’est être capable de formuler une définition, de donner plusieurs exemples et contreexemples dans des contextes variés et d’effectuer correctement diverses opérations. Dionne (1995), pour sa part, définit la compréhension comme étant la structuration des connaissances et l’établissement de relations entre les divers éléments de cette connaissance. Afin de tenter de décrire la compréhension du concept de numération positionnelle, plusieurs modèles de la compréhension mathématique ont été scrutés.

Divers modèles de compréhension en mathématiques 

Plusieurs chercheurs ont essayé de décrire la compréhension mathématique à l’aide de divers modèles, lesquels sont répertoriés par Roy (1996). L’analyse effectuée par Sierpinska (1992), tirée de Roy (1996, p. 9-10) s’avère intéressante pour faire un choix en fonction des données qu’on veut obtenir, c’est-à-dire les données qui permettraient de répondre à nos questions de recherche. En effet, selon le type de recherche et selon les objectifs d’une recherche, il convient de retenir le modèle qui permettra de cibler des données et d’offrir un cadre d’analyse propre au type de données recueillies. Sierpinska (1992), tirée de Roy (1996), qui s’est intéressée à la compréhension en mathématiques, distingue quatre catégories de modèles de la compréhension. Elle les nomme et les décrit comme suit: structuraliste, par niveaux, dialectique et épistémologique. De la première catégorie, qui inclut le modèle de Vergnaud (1983), elle leur reproche d’être trop généraux. Pour la deuxième catégorie, elle nomme les modèles de Pirie et Kieren (1989) ainsi que celui de Van Hiele (1958) en spécifiant qu’elle les considère comme trop détaillés. Dans la troisième catégorie, elle inclut les modèles de Skemp (1976) et de Douady (1986), mais les qualifie de simplistes en raison de la subdivision des compréhensions. En ce qui concerne les modèles de la quatrième catégorie, elle considère, entre autres, qu’ils permettent de saisir la signification d’un concept donné à travers une analyse épistémologique approfondie. «Elle mentionne alors le modèle de la compréhension de Bergeron et Herscovics (1989) ou celui que l’on désigne aussi comme étant le modèle constructiviste « élargi » de la compréhension» (Roy, 1996, p.9-1O). Nous présentons maintenant plus en détail ce modèle.

Le modèle de compréhension de Bergeron et Herscovics 

Tout d’abord, il est important de préciser que le modèle de compréhension de Bergeron et Herscovics (1989) a évolué dans le temps. En effet, en 1982, Bergeron et Herscovics proposaient ce qu’ils appelaient un modèle « hybride ». Ce premier modèle constructiviste de la compréhension était formé de «quatre niveaux de compréhension: le premier, celui de l’intuition, le second impliquant des procédures, le troisième traitant de l’abstraction, et le dernier niveau, celui de la formalisation» (Bergeron et Herscovics, 1982, p.583). À l’époque, cette version, à quatre niveaux, du modèle a servi à ces auteurs dans une expérience visant à déterminer s’il pouvait être utilisé par des enseignants du primaire. Ces chercheurs ont poursuivi l’amélioration de leur modèle qui vise à décrire la construction de la compréhension d’un concept mathématique en présentant un outil qui puisse servir à la didactique des mathématiques en classe. «lis ont insisté sur la présence de compréhension de la part de l’enfant, bien avant que ce dernier ne sache utiliser les symboles mathématiques propres à un concept particulier, comme le nombre ou l’addition» (DeBlois, 1994, p. 19). li résulte de leur expérimentation l’apparition de deux paliers dans la seconde version du modèle: le palier du concept préliminaire et le palier du concept mathématique émergent .

Pour notre recherche, nous priorisons l’utilisation du modèle de compréhension de Bergeron et Herscovics (1989). Ce modèle est qualifié, par Bergeron et Herscovics euxmêmes, de modèle constructiviste de la compréhension, car son utilisation attribue une grande importance aux processus de pensée. « Ce modèle ne se contente pas de présenter des manières de comprendre, mais décrit aussi la croissance et la structuration de connaissances et de compétences» (Bende fa et Lafortune, 2010, p. 71). L’utilisation de ce modèle est apparue très pertinente pour l’expérimentation orthopédagogique de notre recherche, d’abord parce qu’il a été créé dans le but d’analyser les concepts  mathématiques enseignés au primaire, tels que les nombres et l’addition de petits nombres (Bendefa et Lafortune, 2010), parce qu’il a maintes fois été utilisé pour faciliter l’évaluation d’élèves en difficulté dans les écoles (DeBlois, 1996) et, enfin, parce que son utilisation, associée à un questionnement approprié, permet de découvrir le raisonnement de l’élève.

Les différentes composantes des deux paliers de compréhension 

La prochaine section décrira chaque palier de la compréhension du modèle de Bergeron et Herscovics (1989) ainsi que leurs composantes respectives.

Le palier de la compréhension des concepts physiques préliminaires et ses
composantes

Le premier palier traite de la compréhension du concept physique préliminaire. À ce palier, l’élève démontre ses différentes manifestations de compréhension à l’aide d’objets physiques Uetons, bâtonnets, macaronis, etc.). Ce palier aborde donc l’aspect logico-physique de la compréhension. Pour cette raison, dans le reste de ce mémoire, nous nommerons ce dernier, le palier de la compréhension logico-physique.

DeBlois (1996) stipule que, pour ce premier palier de compréhension, il faut retenir «l’idée de concept préliminaIre où les objets sont traités dans un contexte dominé par le temps et l’espace (il colle, il sépare, il place avant ou après … ) » (p. 79). Ce palier comporte trois composantes, soit: intuitive, procédurale logico-physique et abstraction logico-physique.

La compréhension intuitive concerne la perception globale du concept et elle est basée sur la perception visuelle. En résumé, cette composante de compréhension ne permet tout au plus que de vagues approximations.

La compréhension procédurale logico-physique est en lien avec l’acquisition de procédures logico-physiques (a trait aux objets physiques) que les élèves peuvent relier à leurs connaissances intuitives. L’objectif du développement d’une procédure (p. ex. : la procédure de compter) est de susciter des processus de pensées qui ne sont pas influencés par la perception visuelle.

L’abstraction logico-physique se rapporte au détachement de la procédure, à la construction d’invariants logico-physiques ainsi qu’à des généralisations sur des objets physiques. Par exemple, dans le cadre de ce travail, un élève qui est capable de constater l’équivalence de quantités organisées différemment ou encore de reconnaître la conservation d’une quantité à travers les différentes illustrations d’un nombre manifeste une compréhension abstraite du concept à l’étude.

Le palier logico-mathématique et ses composantes

Au second palier, qualifié de palier du concept mathématique émergent par Bergeron et Herscovics (1989), il apparaît des raisonnements que l’élève porte sur des actions comme le comptage et les opérations. À ce palier, l’élève démontre ses différentes manifestations de compréhension avec des nombres ou des représentations des nombres. Ce palier aborde donc l’aspect logico-mathématique de la compréhension. Dans la poursuite de ce mémoire, nous nommerons donc ce dernier, le palier de la compréhension logico mathématique. Pour ce second palier, on retrouve également trois composantes impliquées dans la construction de la compréhension de la numération positionnelle, soit: procédurale, abstraite et formelle.

La compréhension procédurale logico-mathématique: «En bref, le niveau de compréhension procédurale est mis en évidence par l’acquisition d’une procédure initiale (un savoir-faire) qui, en coordonnant les connaissances intuitives et certains prérequis, rend possible une systématisation (p. ex., quantification, organisation)>> (Bergeron et Herscovics, 1982, p. 584). L’objectif du développement d’une procédure (p. ex., la procédure de comptage) est de susciter des processus de pensées qui ne sont pas influencés par la perception visuelle. Lorsque l’élève démontre cette compréhension avec des nombres ou des représentations des nombres, sa compréhension se situe au palier logico-mathématique.

L’abstraction logico-mathématique commence à apparaître lorsque, graduellement, le concept de la numération positionnelle se précise et qu’il se différencie de la procédure. Selon Bergeron et Herscovics (1982), il commence alors à avoir une existence propre dans notre esprit, par exemple, la notion de nombre ne se confond plus avec la procédure de compter (p. 585). Dans un premier temps, l’élève manifeste une compréhension abstraite du concept à l’étude par « le détachement de la procédure et la construction d’invariants» (p. 585) et en second lieu, soit « par sa généralisation, soit par sa conservation, laquelle reflète l’invariance de l’objet mathématique, soit par la réversibilité et la composition des transformations mathématiques» (p. 586). Par exemple, dans le cadre de cette composante, un élève qui est capable de constater l’équivalence de quantités organisées différemment ou encore de reconnaître la conservation d’une quantité à travers les différentes illustrations d’un nombre manifeste une compréhension abstraite de concept à l’étude.

La compréhension formelle est décrite par Bergeron et Herscovics (1982) comme étant la composante qui « prend en considération la nature particulièrement symbolique de la mathématique» (p. 586). Cette composante de la compréhension de la numération positionnelle se manifeste donc lorsque l’élève utilise les différents symboles qui représentent les notions en cause ou il est capable de valider de façon logique des opérations. Bergeron et Herscovics (1982) présupposent qu’à ce niveau une certaine abstraction a été faite.

Les différents éléments retenus comme manifestations attendues de la compréhension pour chacune des composantes du modèle de compréhension du concept de numération positionnelle sont présentés à la section concernant la méthode de recherche. Ces critères ont été utilisés afin d’identifier les diverses manifestations des différentes composantes de la compréhension de la numération positionnelle chez les élèves.

Importance de la recherche 

Dans le cadre de cette recherche, portant sur les manifestations de la compréhension du concept de numération positionnelle chez des élèves dysphasiques du deuxième cycle du primaire, il est important de démontrer en quoi ce travail est pertinent.

Pertinence scientifique 

En 2004, Yessad-Blot a poursuivi ses travaux de recherche en lien avec les difficultés mathématiques de deux enfants, dont un de 12 ans, ayant une dysphasie. Ce sont les résultats obtenus avec cet enfant de 12 ans qui sont énoncés dans la présente section. TI est à noter que Yessad-Blot (2004) utilise, dans sa recherche, le terme enfant et non le terme élève. Les résultats des expérimentations réalisées avec l’enfant dysphasique de 12 ans font état de l’importance de l’utilisation de certaines représentations et modélisations mathématiques qui symbolisent mieux les concepts que l’enfant doit développer. Son expérimentation montre également qu’il est ainsi possible, par une analyse du savoir à enseigner, de réduire l’importance des obstacles linguistiques. En lien avec son expérimentation, cette dernière nous fait remarquer qu’il est possible d’agir sur la conceptualisation qui est en cours par l’agencement des différents modes de représentation avec les formes verbales qui leur sont associées, car certains signifiants ont des relations privilégiées avec le signifié impliqué dans l’apprentissage. En effet, Yessad-Blot (2004) fait remarquer que «certaines représentations mathématiques mettent mieux en scène certains aspects engagés au niveau du signifié mathématique» (p. 118). Celles-ci constituent un point d’appui pertinent pour permettre la conceptualisation à ces enfants pour lesquels le langage oral n’est pas nécessairement un médiateur efficace. Plusieurs types de représentations des nombres sont utilisés lors des activités scolaires, mais Yessad-Blot (2004) nous précise que certains de ces matériels représentent mieux l’idée de groupement (cubes, jetons), alors que pour d’autres, c’est la coexistence de plusieurs unités (boîte de 10 jetons, barres de 10 cubes … ). Le changement d’unités serait mieux représenté par la monnaie scolaire et l’importance de la position des chiffres dans la numération positionnelle écrite par les abaques. C’est pour ces raisons qu’elle précise « qu’un travail guidé sur ces équivalences peut permettre aux enfants de mettre en évidence les invariants (objets, propriétés et surtout relations) indispensables à l’appropriation de la numération décimale de position» (p. 118).

CONCLUSION 

La conclusion représente une synthèse de l’ensemble de ce mémoire de maîtrise. Les éléments les plus représentatifs et significatifs en lien avec notre question de recherche et les objectifs associés sont relevés et soulignés. Dans ce qui suit, nous présentons d’abord un résumé de chaque chapitre. Nous divulguons ensuite des retombées et des pistes orthopédagogiques que nous considérons pouvant être utiles pour soutenir la construction du concept de numération positionnelle auprès d’élèves dysphasiques mixte sévère. Nous précisons également les limites de cette étude de cas. Enfin, nous indiquons des perspectives de recherche qui pourraient être suivies dans de futures recherches en orthodidactie des mathématiques pour approfondir l’intervention orthopédagogique offerte à des élèves dysphasiques en regard de la compréhension du concept de numération positionnelle.

Table des matières

INTRODUCTION 
CHAPITRE 1 
PROBLÉMATIQUE
CHAPITRE II
LE CADRE DE RÉFÉRENCE
CHAPITRE III 
MÉTHODE DE RECHERCHE
CHAPITRE IV 
ANALYSE DES DONNÉES
CHAPITRE V 
DISCUSSION
CONCLUSION

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