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Magnétohydrodynamique en géométrie de Kerr
Description de l’espace-temps près d’un trou noir en rotation
Introduisons la métrique décrivant l’espace-temps autour du trou noir. Des solutions exactes aux équations d’Einstein ne sont connues que pour des cas symétriques : la métrique de Schwarzschild, solution statique à symétrie sphérique, et la métrique de Kerr, solution stationnaire à symétrie axiale. La conservation du moment cinétique lors d’un effondrement gravitationnel aboutit généralement à un objet en rotation relativiste. Le trou noir de Kerr est donc plus proche d’une réalité physique que celui de Schwarszchild bien que des singularités apparaissent dans les deux modèles. La métrique de Schwarzschild peut cependant être utile pour décrire le champ gravitationnel d’un trou noir en rotation faible.
L’espace-temps autour d’un trou noir de Kerr est entraîné dans un mouvement de rotation car le champ de gravité n’est pas statique (comme c’est le cas en Schwarzschild). Cet effet peut être observé autour de tout corps massif en rotation sur lui-même ; c’est l’effet Lense-Thirring, appelé frame-dragging en anglais, car il fait tourner le référentiel d’inertie local par rapport aux étoiles lointaines. L’entraînement est de plus en plus important à mesure que l’on se rapproche de l’horizon du trou noir. Tout observateur local possède donc une vitesse angulaire ω et est donc en mouvement par rapport à un observateur lointain. A la limite statique, la vitesse d’entraînement ω est celle de la lumière. En dehors de l’ergosphère, l’espace-temps est toujours entraîné mais à une vitesse inférieure. Un observateur se trouvant hors de l’ergosphère du trou noir peut donc contrer ce mouvement en se déplaçant lui-même, alors que dans l’ergosphère, il est entraîné par la rotation quelle que soit sa vitesse et ne peut donc pas être au repos dans le référentiel des étoiles lointaines. Le terme ergosphère vient du grec ergon, qui veut dire travail : puisqu’il est possible de s’échapper de l’ergosphère du trou noir, il est donc théoriquement possible d’extraire de l’énergie cinétique de ce dernier. Ce paradigme est utilisé dans les modèles de Penrose (1969) et de Blandford et Znajek (1977).
Système de coordonnées et repères orthonormés
Un système de coordonnées globales comme celui de Boyer-Lindquist (ct, r, θ, ϕ) est adapté lorsqu’il s’agit de définir les quantitées conservées. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont particulièrement naturelles car loin du trou noir, elles se réduisent au système de coordonnées sphériques de l’espace-temps de Minkowski. Ainsi, elles représentent la façon dont serait vu un trou noir pour un observateur lointain. Elles ne sont pas très utiles pour la compréhension des processus physiques puisque elles ne sont pas orthonormales, ni même orthogonales (à cause de la courbure de l’espacetemps).
Description de la magnétosphère
Les champs électriques et magnétiques ne sont pas nuls près d’un trou noir. L’espace est toujours rempli de plasma raréfié et ces charges et courants constituent les termes sources des équations de Maxwell. On considère une magnétosphère axisymétrique et stationnaire de conductivité infinie. Les lignes de champ magnétique sont ancrées dans l’horizon et les particules constituant la magnétosphère du trou noir se déplacent le long des lignes de champ magnétique. Les charges pour ces courants traversant le trou noir doivent constamment être remplacées car elles tombent dans le trou noir et ne peuvent en ressortir. Des mécanismes de création de charges doivent donc exister au voisinage du trou noir. Ces mécanismes ont été analysés par Blandford et Znajek (1977), Beskin, Istomin et Parev (1992). Remarquons que ces mécanismes requièrent une petite composante du champ électrique parallèle au champ magnétique. Cette composante est si petite qu’on peut considérer E.B = 0 en première approximation. Les modèles de création de magnétosphère invoqués dans le cas des pulsars sont inutilisables pour les trous noirs car si on peut arracher des particules de la surface d’une étoile à neutrons, l’horizon des événements quant à lui ne peut qu’absorber de particules. Blandford et Znajek (1977) ont proposé le mécanisme suivant : une particule se trouvant au voisinage du trou noir est accélérée par le champ électrique et transfère une partie importante de son énergie à un photon par diffusion Compton inverse. Si l’énergie du photon atteint une valeur suffisante, celui-ci peut produire une paire d’électron-positron par interaction soit avec avec un photon réel, ou soit avec un photon « virtuel » si le champ magnétique ambiant est suffisament intense. Un trou noir est entouré d’un disque d’accrétion dont la partie interne rayonne dans le domaine des X. Des photons de haute énergie sont donc présents dans l’environnement immédiat du trou noir et un tel processus est donc envisageable.
Modèle autosimilaire méridien en métrique de Kerr
Modèles semi-analytiques et modèles numériques
La théorie des vents magnétisés commença avec l’étude du vent solaire. Weber et Davis (1967) ont étudié des solutions de vents magnétisés polytropiques à une dimension et ont montré l’existence de trois points critiques, qui correspondent aux endroits où l’écoulement atteint les vitesses caractéristiques des différentes ondes se propageant dans un plasma magnétisé (vitesse d’Alfvén, vitesses magnétosoniques lente et rapide).
Sakurai (1985) a réalisé des simulations numériques en généralisant le modèle de Weber et Davis à deux dimensions. Ces simulations montrent que l’écoulement converge asymptotiquement vers l’axe de rotation, et représente donc une solution de vent collimatée. L’étude de la collimation des vents en jets a été traitée par Heyvaerts et Norman (1989). Ils établirent un théorème général sur la collimation : tout écoulement axisymétrique stationnaire converge vers l’axe de rotation pour atteindre soit un régime parabolique soit un régime cylindrique. Des simulations numériques (donc dépendantes du temps) en MHD idéale relativiste ont également montré que les vents de disque axisymétriques évoluent vers des jets collimatés (Porth et Fendt 2010). La MHD stationnaire axisymétrique a été présentée pour la première fois par Chandrasekhar (1956) dans le contexte des vents astrophysiques. Elle constitue une mise en forme intéressante du problème car les propriétés de l’écoulement dérivent simplement des équations sous la forme d’intégrales premières. Les solutions stationnaires existent seulement dans le cas axisymétrique pour lequel le système d’équations MHD se réduit à deux équations couplées, l’équation de Bernoulli et l’équation de Grad-Shafranov. La première représente la conservation de l’énergie le long des lignes d’écoulement ; la seconde décrit la dynamique du vent perpendiculairement aux lignes d’écoulement, et de ce fait elle est également appelée équation transfield.
Les équations de la MHD forment un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Les hypothèses d’axisymétrie et de stationnarité ne sont pas suffisantes pour résoudre de façon semi-analytique le système et trouver des solutions. On simplifie alors le problème en faisant une hypothèse supplémentaire sur la géométrie de l’écoulement, l’hypothèse d’autosimilarité : on suppose l’existence d’une loi d’échelle selon une coordonnée afin de pouvoir séparer les variables. La forme de la surface d’Alfvén est liée à la variable d’autosimilarité choisie (Vlahakis et Tsinganos 1998). Un autre problème réside dans la présence de points critiques où les équations deviennent singulières. Les solutions physiquement acceptables sont celles qui traversent les points critiques, ce qui rend difficile une étude systématique car tout changement de valeur des paramètres entraîne une déviation par rapport à ces points critiques.
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Table des matières
1 Introduction
2 Magnétohydrodynamique en géométrie de Kerr
2.1 Description de l’espace-temps près d’un trou noir en rotation
2.2 Système de coordonnées et repères orthonormés
2.3 Description de la magnétosphère
2.4 Extraction de l’énergie d’un trou noir en rotation
2.5 Equations de la magnétohydrodynamique
2.6 Intégrales premières en régime axisymétrique stationnaire
2.7 Des jets à l’horizon ?
3 Modèle autosimilaire méridien en métrique de Kerr
3.1 Modèles semi-analytiques et modèles numériques
3.2 Construction du modèle
3.3 Hypothèses sur la géométrie de l’écoulement
3.4 Hypothèses sur les grandeurs physiques
3.5 Equations du modèle
3.6 La résolution des équations GRMHD
3.7 Correspondances avec les modèles précédents
4 Solutions de jets d’étoiles jeunes
4.1 Contexte général
4.2 Des observations à la modélisation
4.3 Solution non oscillante
4.4 Une solution présentant une recollimation
4.5 Discussion
4.6 Perspectives
5 Solutions de jets relativistes
5.1 Présentation des jets relativistes
5.2 Etude de la collimation
5.3 Modélisation du jet relativistes de M87
6 Les jets relativistes, sources du rayonnement cosmique de ultra haute énergie ?
6.1 Brève présentation du rayonnement cosmique
6.2 Quelles sources pour le rayonnement cosmique de ultra haute énergie ?
6.3 L’émission gamma comme signature du choc dans un jet relativiste
7 Le cycle infernal des rayons cosmiques 1
7.1 Les ondes magnétohydrodynamiques comme centres diffuseurs
7.2 Principe de l’accélération de Fermi relativiste
7.3 Les processus de perte d’énergie sur le fond de rayonnement gamma
7.4 Résultats préliminaires obtenus
7.5 Perspectives
8 Conclusion
