L’utilisation des relations d’entrelacement dans l’étude des générateurs de Markov auto-adjoints

Opérateurs de diffusion

Aspects historiques

Les considérations autour des opérateurs de diffusion prennent leur source, comme c’est le cas de nombreux opérateurs différentiels, dans la physique. Le point de départ est l’introduction de l’équation de la chaleur par Joseph Fourier en 1822 [40], suivie de la mise en évidence du mouvement brownien par Robert Brown en 1827.

Il faudra néanmoins attendre le début du vingtième siècle pour que le lien avec le mouvement brownien soit compris, avec Albert Einstein en 1905 [32], puis Marian Smoluchowski en 1906 [85]. Les outils mathématiques manquent encore néanmoins dans le traitement de ces problèmes, malgré les définitions successives de Louis Bachelier en 1901 [4], Einstein en 1905 [32] ou Paul Langevin en 1908 [57]. Ces premiers tâtonnement théoriques permettront néanmoins des avancées spectaculaires en physique des particules, avec notamment Jean Perrin en 1909 [70], qui obtiendra le prix Nobel en 1923 pour sa confirmation empirique de l’hypothèse atomiste de la matière. Le formalisme mathématique permettant enfin l’étude de tels processus sera introduit par Norbert Wiener en 1923, qui donnera le premier une description de la mesure du même nom et une définition de l’intégrale brownienne [89]. Son caractère martingale et sa caractérisation en terme de variation quadratique seront établis par Paul Lévy, à partir de 1933 [60], et l’étude précise des équations différentielles stochastiques sera enfin rendue possible en 1944 avec l’introduction par Kiyoshi Ito du calcul stochastique. ¯ La théorie a depuis connu de nombreux développements, comme l’intégrale de Stratonovich, ou le calcul de Malliavin et l’intégrale de Skorokhod (voir par exemple [68] à ce sujet).

En parallèle des avancées autour des processus de diffusion, les idées de Max Planck amènent Louis de Broglie à proposer en 1924 les équations qui poseront les fondements de la dualité onde-corpuscule de la lumière [28].

L’étude de telles équations poussera Richard Feynman et Mark Kac à proposer leur célèbre formule en 1949 (d’abord proposée de façon formelle par Feynman dans le cas complexe, puis formulée rigoureusement par Kac dans le cas réel), qui relie la solution d’équations aux dérivées partielles (incluant celle de Schrödinger) à l’espérance de fonctionnelles de certains processus de diffusion [53]. Cette thèse ne s’intéresse pas du tout aux tribulations physiciennes autour de ces théories, mais plutôt à l’étude mathématique des opérateurs de diffusion sous plusieurs aspects, ainsi qu’à celle des semi-groupes de Feynman-Kac. Le but de cette introduction est de donner le contexte mathématique et les outils nécessaires à la compréhension du travail effectué. La présente section se concentre sur les opérateurs, semi-groupes et processus de diffusion, la deuxième est dédiée aux inégalités fonctionnelles d’intérêt avant de terminer par les relations d’entrelacement, le point de départ technique des résultats obtenus.

Cadre formel

Nombres réels et algèbre linéaire Dans toute cette thèse, nous nous focaliserons sur des espaces vectoriels réels. Le corps des nombres réels sera noté R, et Rd désignera, pour d un entier positif non nul, le produit cartésien usuel de d copies de R. Les entiers naturels seront désignés par N, les entiers relatifs par Z. On notera de même Nd et Zd les multi-indices de taille d à valeurs entières. Si α est un multi indice, on notera |α| sa norme 1 (la somme des valeurs absolues de ses composantes). Si K est l’un des ensembles ci-dessus, K∗ , K+ et K− désigneront respectivement les éléments non nuls, positifs (ou nuls) ou négatifs (ou nuls) de K.

Si E et F sont deux espaces vectoriels réels, L(E, F) désignera l’ensemble des applications linéaires de E vers F. Si E = F = Rd , cet espace est représenté par Md(R), l’ensemble des matrices d × d à coefficients réels. On notera GLd(R) le sous-groupe des matrices inversibles de Md(R).

Si u et M sont respectivement un vecteur de Rd et une matrice de Md(R), on notera Mu le produit matrice-vecteur classique, u T et MT les transposés de u et M. Pour une norme || · || sur Rd , on notera de même la norme subordonnée sur Md(R). Si N est une autre matrice de Md(R), on notera hM, NiHS le produit scalaire de Hilbert-Schmidt entre M et N (la somme des éléments du produit terme à terme de M et N), et k · kHS la norme associée.

Si M ∈ Md(R) est une matrice symétrique, on notera respectivement ρ+(M) et ρ−(M) sa plus grande et plus petite valeur propre (en valeur absolue). Cette définition peut s’étendre à des matrices non symétriques dont le spectre est complexe, mais on ne rencontrera pas cette situation dans la suite.

Enfin, pour M et N deux matrices symétriques, on dira que M ≥ N si M − N est semi-définie positive. Cet ordre n’est pas total, et n’est valable que pour deux matrices symétriques. la définition reste valide si M et N sont deux opérateurs auto-adjoints.

La théorie de Bakry-Émery

Cette théorie, d’essence géométrique et énoncée originellement dans un cadre riemannien par Dominique Bakry et Michel Émery en 1985 [10], se base sur l’introduction de deux opérateurs : le carré du champ Γ et le carré du champ itéré Γ2. Ce dernier est si important dans l’établissement du critère de Bakry-Émery qu’il est parfois appelé « critère Γ2 ». Nous introduirons donc dans un premier temps ces deux opérateurs, avant d’énoncer le critère dans la plus grande généralité.

Présentation générale 

Dans cette première section, nous considérons un opérateur de diffusion général L= div ◦ ∇. Cet opérateur peut être défini sur un espace (topologique) mesuré assez général, moyennant une structure différentielle.

On considère donc ici un espace topologique mesuré (X, B(X), µ), muni d’une structure différentielle, dont la différentielle sera toujours notée ∇. La forme de l’opérateur L implique en particulier qu’il est symétrique sur C∞(X, R).

Inégalité de Sobolev logarithmique

D’abord introduites dans le contexte de la théorie de l’information par Adriaan Stam en 1959 [81] puis conceptualisées par Leonard Gross en 1975 [42], les inégalités de Sobolev logarithmiques (ISL) ont depuis été abondamment utilisées en analyse infiniedimensionnelle. Initialement pensées pour établir des propriétés des semi groupes (autour notamment des travaux de Nelsen [67], Faris [35] ou Federbush [36]), on a depuis retrouvé leurs traces dans de nombreux domaines (y compris en topologie algébrique, pour la preuve de la conjecture de Poincaré [69]). Comme son nom le laisse penser, elle présente des liens avec les plongements de Sobolev, mais aussi avec l’inégalité de Poincaré ou la condition de courbure dimension. Comme pour le paragraphe précédent, nous commencerons par une présentation générale de l’inégalité, avant donner des critères d’établissement et de discuter enfin des liens entre inégalités de Sobolev logarithmiques et de Poincaré.

Généralités
Les inégalités de Sobolev classiques font apparaître, à l’instar des inégalités de Hölder, des exposants conjugués reliés entre eux par la dimension de l’espace sous-jacent. Le but des inégalités de Sobolev logarithmiques est de s’affranchir de cette dépendance. Elles restent de même nature que les inégalités classiques (contrôle d’une fonctionnelle par une énergie), mais font intervenir une notion d’entropie.

Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Opérateurs de diffusion
1.1.1 Aspects historiques
1.1.2 Cadre formel
1.1.3 La théorie de Bakry-Émery
1.1.4 Hypothèses techniques
1.2 Inégalités fonctionnelles
1.2.1 Inégalité de Poincaré
1.2.2 Inégalité de Sobolev logarithmique
1.3 Contexte de la thèse et présentation des résultats
1.3.1 Relations d’entrelacement
1.3.2 Présentation de quelques résultats et plan de la thèse
2 Représentation des semi-groupes de Feynman-Kac, application aux inégalités de Sobolev logarithmiques
2.1 Représentation des semi-groupes de Feynman-Kac
2.1.1 Éléments de calcul stochastique
2.1.2 Heuristique scalaire
2.1.3 Régularité du processus et flot tangent
2.1.4 Approche perturbative
2.2 Inégalité de Sobolev logarithmique
2.2.1 Critère général
2.2.2 Fonctions monotones
2.2.3 Exemples
2.3 Perspectives
3 Une approche algébrique et géométrique à l’étude spectrale des générateurs
3.1 Éléments d’analyse spectrale
3.1.1 Décomposition du spectre
3.1.2 Cas du générateur d’Ornstein-Uhlenbeck
3.1.3 Trou spectral et caractérisation de Courant-Fischer
3.2 Contexte algébrique
3.2.1 Algèbre tensorielle
3.2.2 Opérateurs de diffusion et Schrödinger sur l’algèbre tensorielle et estimations préliminaires
3.2.3 Transformations de Riesz
3.3 Estimations spectrales pour −L
3.3.1 Résultat principal
3.3.2 Optimalité dans le cas gaussien
3.3.3 Perspectives
4 Aspects numériques des inégalités de Poincaré et application à l’analyse de sensibilité
4.1 Contexte général
4.1.1 Modèle physique
4.1.2 Modélisation probabiliste
4.2 Analyse de sensibilité
4.2.1 Principes de base
4.2.2 Indices globaux et liens avec l’inégalité de Poincaré
4.3 Aspects numériques de l’inégalité de Poincaré
4.3.1 Principe général
4.3.2 Généralités sur les éléments finis en dimension deux
4.3.3 Domaine et maillage
4.3.4 Validation de la méthode
4.3.5 Implémentation
4.3.6 Conclusion et perspectives
5 Conclusion
Bibliographie

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