Lois de probabilité multidimensionnelles

Lois de probabilité multidimensionnelles

Théorie des copules

Pour étudier un phénomène impliquant deux ou plusieurs variables aléatoires, un élément important à prendre en compte est la dépendance qui peut exister entre les variables. À titre d’exemples, on peut ment ionner les crues annuelles en plusieurs endroits sur un même cours d’eau ou le comportement de plusieurs titres boursiers. Classiquement, les méthodes employées pour modéliser plusieurs variables aléatoires sont basées sur la Loi Normale dimensionnelle ou quelques-unes de ses généralisations, par exemple la famille des distribut ions ellipt iques. Ces méthodes ont le désavantage d’imposer une structure à la fois aux marges et à la forme de la dépendance. Depuis quelques années, la théorie des copules s’est imposée comme étant un outil puissant pour étudier la dépendance. Cette méthode est t rès flexible car elle permet de choisir la forme de la dépendance indépendamment des lois 4. COPULES À VALEURS EXTRÊMES 25 marginales. Cette approche est donc souvent plus adéquate que les approches classiques. Dans cette section, les principaux résultats concernant les copules et plusieurs de leurs propriétés sont énoncés.

Le Théorème de Sklar (1959) est un résultat fondamental dans l’étude des copules. En fait, c’est le point de départ de l’analyse de la dépendance sous l’angle des copules. Il permet d’isoler la dépendance qui existe entre deux ou plusieurs variables aléatoires. La version présentée ici concerne le cas bivarié; la sous-section 4.2.2 considère la version générale à d 2: 2 variables.

Paramèt res de la simulation

Dans un premier temps, on va étudier la capacité des tests à conserver leur seuil nominal de Q’ = 0.05 sous la copule extrême de Gumbel- Hougaard. Ensuite, la puissance des tests, c’est-à-dire la probabilité qu’ils ont à rejeter l’hypothèse nulle lorsqu’elle est fausse sera évaluée sous les modèles de Clayton, Frank et Normale. Ces estimations de probabilité seront basées sur 6. SUR DE NOUVEAUX TESTS DE DÉPENDANCE EXTRÊME 71 1 000 répétitions. Dans la suite, on écrira S~ pour référer à la statistique de test construite avec la fonction de poids dQ(t) = e-« ‘t2 . Dans les études de simulation qui suivent, on comparera S;.05, S;.l, S;.25 , S;.5 et S~. Les tailles d’échantillons considérées dans notre étude sont n = 50,100, 200. Pour le calcul des valeurs critiques, on utilisera M = 1 000 échantillons multiplicateur. Enfin, l’approximation de la fonction wTn se fera avec N = 1 000.

Aptitude à conserver le seuil nominal

On déduit de l’Exemple 4.6 que la copule extrême de Gumbel-Hougaard dans le cas d = 2 est de la forme CO (u, v) = exp [- { ( – ln u) 0+ (- ln v) O}1/0] , (6.9) où () E [0, 1 J. En simulant des observations de cette copule, on peut ainsi évaluer la capacité des tests à conserver leur seuil nomimal de 5% sous l’hypothèse nulle. Les résultats obtenus sont présentés au Tableau 6.1. En général, les test conservent assez bien leur seuil de 5%, sauf peut-être pour les statistiques S;.05 et S;.l quand n = 50. Les tests ont généralement un peu plus de problèmes lorsque T = 1/4, bien que ce ne soit pas dramatique pour n = 200. En résumé, les statistiques S:;5, S; et S~ tiennent très bien leur seuil et ce, peu importe la taille de l’échantillon.

CONCLUSION

Dans ce mémoire, de nouveaux tests pour détecter de la dépendance extrême ont été développés. L’idée maîtresse a consisté à travailler avec la fonction caractéristique associée à la transformation intégrale de probabilité d’une copule. Dans le cas des copules à valeurs extrêmes, cette fonction possède la propriété particulière, et utile, d ‘être de la même forme peu importe le type de copule extrême. Une estimation non-paramétrique de cette fonction caractéristique fondée sur les rangs des observations a été proposée. Des statistiques de test basées sur la comparaison de cette version empirique avec la version attendue sous l’hypothèse nulle ont ainsi pu être proposées. Le calcul des valeurs critiques, ou de façon équivalente des valeurs critiques, a été abordé via la méthode de ré-échantillonnage du multiplicateur. Grâce à une adaptation judicieuse de cette technique de type bootstmp, on a développé une façon valide de recréer le comportement des statistiques de test sous l’hypothèse nulle. Les simulations effectuées tendent à démontrer que la méthode est aussi valide pour des tailles d’échantillons relativement petites.

L’idée de traiter les problèmes d’inférence dans les modèles de copules en utilisant une fonction caractéristique semble porteuse. À notre connaissance, personne n’avait eu l’idée d’ut iliser ces fonctions avec les copules. Pourtant , la t héorie est bien développée dans le cas à une variable et les procédures statistiques qui en découlent ont généralement de belles propriétés. Il serait intéressant de démont rer rigoureusement la validité de nos tests. D’abord, il faudrait démontrer que le processus ‘lin converge dans un espace de fonctions complexes. Pour ce faire, il faudrait faire appel aux outils de la t héorie des processus empiriques telle que développée dans les ouvrages de van der Vaart & Wellner (1996) et de Kosorok (2008). Il faudrait également établir formellement la validité de la méthode de ré-échant illonnage qui nous a permis d ‘obtenir les valeurs critiques. Finalement, il serait intéressant d ‘étudier une version fonction caractéristique de la populaire copule empirique, qui est ut ilisée à outrance dans l’inférence de copules.

Table des matières

Liste des tableaux
Liste des figures
Chapitre 1. Introduction
Chapitre 2. Fonction caractéristique
2.1 Définition
2.2 Théorème d ‘inversion
2.3 Extension multivariée.
2.4 Preuve du Théorème central limite
Chapitre 3. Méthodes d’inférence basées sur la fonction caractéristique
3.1 Fonction caractéristique empirique
3.2 Tests d’adéquation
3.2.1 Méthodologie de Epps & Pulley (1983)
3.2.2 Méthodologie de ~atsui & Takemura (2005)
3.2.3 Méthodologie de Towhidi & Salmanpour (2007)
3.2.4 Méthodologie de Jiménez-Gamero et al. (2009)
3.3 Test de Alba Fernandez et al. (2008)
Chapitre 4. Copules & copules à valeurs extrêmes
4.1 Lois de probabilité multidimensionnelles
4.1.1 Densités & fonctions de répartition
4.1.2 Lois marginales
4.1.3 Loi normale multidimensionnelle.
4.1.4 Lois de Farlie-Gumbel- Morgenstern
4.2 Théorie des copules
4.2.1 Théorème de Sklar
4.2.2 Théorème de Sklar multidimensionnel
4.2.3 Présentation de quelques copules
4.3 Transformation intégrale de probabilité
4.3.1 Définition et propriétés
4.3.2 Version empirique
4.4 Copules à valeurs extrêmes
Chapitre 5. Revue de littérature sur les tests de dépendance extrême
5.1 Description générale de la problématique
5.2 Méthode du multiplicateur
5.3 Test de Ben Ghorbal et al. (2009)
5.4 Test de Quessy (2012)
5.5 Test de Kojadinovic & Yan (2010)
Chapitre 6. Sur de nouveaux tests de dépendance extrême
6.1 Fonction caractéristique de la transformation intégrale de probabilité.
6.2 U ne fonction caractéristique empirique scmi-paramétrique
6.3 Statistiques de test
6.4 Versions multiplicateurs du processus Wn
6.4.1 Processus An
6.4.2 Processus En
6.4.3 Processus Wn
6.5 Versions multiplicateurs de la statistique de test
6.6 Étude de l’efficacité des tests
6.6.1 Paramètres de la simulation
6.6.2 Aptitude à conserver le seuil nominal
6.6.3 Puissance sous la copule de Clay ton .
6.6.4 Puissance sous la copule de Frank
6.6.5 Puissance sous la copule Normale
Chapitre 7. Conclusion
Bibliographie
Annexe A. Programmes en Matlab
A.l Programmes utilitaires
A.1.1 Transformation d’1!-n vecteur de données en rangs
A.1.2 Simulation de paires selon un modèle de copule choisi.
A.1.3 Calcul du tau de Kendall empirique
A.2 Tests d ‘extrêmes bivariées
A.2.1 Statistique de test et valeur critique
A.2.2 Évaluation de la puissance du nouveau test
A.2.3 Création d ‘un tableau avec les résultats de puissance
A.2.4 Évaluation de la fonction KT au point ‘W
A.2.5 Simulation de données de la loi KT

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